Эффективное развитие математических способностей учащихся, формирование познавательного интереса и самостоятельности невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.
Рассмотрение на уроке математического софизма, для разгадки которого недостаточно известного учащимся материала, вызовет естественный интерес к новой теме, осознание необходимости ее изучения и соответствующий настрой к преодолению предстоящих на пути приобретения новых знаний трудностей.
Предлагаемые математические софизмы можно использовать на уроках алгебры по разным темам: деление на выражение с переменной; вынесение общего множителя; решение квадратных уравнений; свойства квадратного корня; свойства неравенств; логарифмы, а также при изучении признаков равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника на уроках геометрии.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Математические софизмы »
Софизмы
Это последовательность высказываний, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неправдоподобный вывод. Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или нарушаются условия применения правил или теорем. Задача заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.
1. Докажем, что 5 = 4.
Пусть х = 1/3, тогда 3х = 1. представим 3х как 15х – 12х, и 1 – как 5 – 4, тогда вместо равенства 3х = 1 можно записать
15х – 12х = 5 – 4.
Решим это уравнение:
15х – 5 = 12х – 4, 5(3х – 1) = 4(3х – 1).
Разделим обе части равенства на (3х – 1) и получим 5 = 4. Где в рассуждениях допущена ошибка?
(Поделили на выражение 3х – 1 , которое при х = 1/3 равно нулю).
2. Рассмотрим очевидное равенство:
.
Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:
.
Прибавляя к обеим частям этого равенства по 5/2, получаем, что 2 = 3. Где ошибка? (При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).
3. Возьмем тождество 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:
5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).
Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7 + 2 – 9), получим, что 5 = 6. Где ошибка?
(Поделили верное равенство на выражение (7 + 2 – 9), равное нулю. Деление на нуль не имеет смысла).
4. Напишем тождество 4 : 4 = 5 : 5.
Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получим:
(Ошибка заключается в том, что из истинного равенства следует равенство , вместо истинного равенства ).
6. Прибавим к обеим частям очевидного неравенства 7 5 число – 8, имеем: 7 – 8 5 – 8, то есть – 1 – 3. Умножим теперь это неравенство на (- 4) и получим: (- 1) (-4) (-3) (-4), то есть 4 12. Где ошибка?
(При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (– 4) надо было знак неравенства изменить на противоположный).
7. Существует софизм: все числа равны между собой.
Пусть aи b – два числа. Обозначим выражение (a+ b) черезs. Тогда: a = s – b
a – s = -b
Перемножим эти равенства:
a (a – s)= -b(s – b)
a2 – as = b2 – bs
Прибавим к обеим частям равенства
a2 – as + = b2 – bs + ,
(a – )2 = (b – )2
Откуда a – = b – , то есть a = b. Где ошибка?
(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).
8. Докажем, что любое число равно нулю.
Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение:
3x2 – 3ax + a2 = 0
3x2 – 3ax = - a2
Умножая обе части его на - a, получим:
-3x2a + 3a2x = a3
Прибавляя к обеим частям этого уравнения x3 – a3, получаем:
x3 – 3x2 a + 3a2x – a3 = x3
(x – a)3 = x3
Откуда следует:
x – a = x; a = 0. Где ошибка?
(При a ≠ 0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3x2 – 3ax + a2 = 0. Это следует из того, что дискриминант этого уравнения D = - 3a2 приa ≠ 0. Следовательно, нельзя прибавлять к обеим частям уравнения несуществующее число x3 – a3.)
9. Рассмотри очевидное неравенство:
Логарифмируя по основанию 10 обе части этого неравенства, получим:
Сокращая обе части неравенства на , имеем 2 4. Где ошибка?
(Число – отрицательное, поэтому при сокращении на него знак неравенства надо было изменить на противоположный).
10. Докажем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат неравные углы.
Возьмем произвольную прямую АВ и при точке А построим произвольный угол ВАС:
О
В
A
E
D
F
C
При точке В строим угол ABD, больший угла ВАС, и, откладывая отрезок BD, равный АС, соединим точки С и D. Разделим отрезки АВ и СD пополам точками Е и F, восстановим в этих точках перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Соединим затем точку О с точками А, В, С и D. Заметив, что АС = ВD (по построению), АО = ОВ, как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра ОЕ, и аналогично ОС = ОD, находим, что три стороны треугольника АОС, соответственно равны трем сторонам треугольника ВО. Но так как ЕАО = ЕВО (из равенства треугольников АЕО и ВЕО), а DВЕ САВ, то DВЕ + ЕВО САЕ + ЕАО.
Следовательно, DВО САО, то есть против равных сторон ОС и ОD в равных треугольниках АОС и ВОD лежат неравные угла. Где ошибка?
(Точка О пересечения перпендикуляров построена неправильно. При правильном выполнении чертежа прямая ОD пересечет не отрезок АВ, а его продолжение за точку В, и DВО, безусловно, будет равен САО).
