Координатный метод решения задач

Тема:

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учитель математики

МАОУ СОШ №30

Безверхняя Е.А,

2017 г

План

1.Координатный метод

2.Примеры решения задач:

1.Задачи на доказательство

2.Задачи на вычисление

3.Задачи на отыскание геометрических мест точек

3.Заключение

4.Список использованная литература

Координатный метод

Хорошо известно, что как бы ни строился курс школьной геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства, решения задач. Среди таких методов важное место занимает координатный метод.

Область приложения данного метода весьма обширна. Координатный метод сводит геометрические задачи к алгебраическим, которые по своей природе легче алгоритмируются, т.е. приводятся к последовательности вычислений. Используя этот метод, можно решить большое число различных геометрических и физико-технических задач.

Решение задач по математике имеет большое общеобразовательное и воспитательное значение. Поиск решения нестандартной задачи развивает инициативу, настойчивость и сообразительность. Если к тому же задачи достаточно разнообразны, то их решение является перспективным средством развития логического мышления, строгости суждений и математического вкуса.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма (1601-1665) и Рене Декартом (1596-1650). В их формулировках расстояния координатных осей могли быть только положительными числами или нулем. Важная идея в том, что одно или оба эти расстояния можно также считать и отрицательными, принадлежит Исааку Ньютону (1643-1727). Г.В. Лейбниц (1646-1716) первым назвал эти расстояния «координатными».

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Декарт построил аналитическую геометрию. Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй.

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи

Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач.

В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучем, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры 8 класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функций. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от двух точек – для прямой, от одной точки – для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.

Но не следует принимать координатный метод за основной метод решения задач и доказательств теорем. Можно сказать о вреде метода координат, как для сильных, так и для слабых учеников. Что касается слабых учеников, то «большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложиться на них дополнительным грузом… Координатный метод оставляет в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнительность, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая, и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю», что в свою очередь составляет опасность для сильных учеников.

В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они могли бы дать, оставаясь раздельными.

В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач в процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях является следующие умения:

1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2. строить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. оптимально выбирать систему координат;

6. составлять уравнения заданных фигур;

7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8. выполнять преобразования алгебраических соотношений.

Данные умении можно отобразить на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1. задачи на построение точки по ее координатам;

2. задачи на нахождение координат заданных точек;

3. задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4. задачи на оптимальный выбор системы координат;

5. задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6. задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7. задачи на преобразование алгебраических равенств.

В связи с усилием роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становится проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих двух типов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.

Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативах.

1.Задачи на доказательство

№1

Докажите, что три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – высоты ∆АВС, точка С₁ начало координат. Тогда вершины ∆АВС имеют координаты:

где

Координаты точки Н удовлетворяют уравнению ВВ₁:

Следовательно, .

Ч.т.д.

№2

Докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть в ∆АВС, . Точка С – начало координат. Вершины ∆АВС имеют координаты:

где

Ч.т.д.

2.Задачи на вычисление

№3

Вычислите расстояние между прямыми, содержащими противоположные стороны ромба, если длины его диагоналей равны .

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть ABCD – ромб. . Точка О – начало координат. Вершины ромба имеют координаты:

.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно:

.

Ответ:

№4

Решите уравнение :

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть .

Ответ:

3.Задачи на отыскание геометрических мест точек

№5

Найдите множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний от двух точек А и В есть постоянная величина λ, не равная единице.

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точка В – начало координат и точка А лежит на оси х. Тогда .

Для того чтобы точка принадлежала искомому множеству, необходимо и достаточно, чтобы

Т.к. то разделим на

Этим уравнением определяется окружность радиуса с центром в точке. Точка С лежит на прямой АВ. Эта окружность называется окружностью Аполлония.

№6

Дана окружность радиуса r и на ней точка А. Найдите множество точек Ω, делящих все возможные хорды, проходящие через точку А, в одном и том же отношении , где .

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат, чтобы центр данной окружности совпадал с началом координат, а точка А имела координаты . Пусть АВ – произвольная хорда, проходящая через точку А, а М точка множества Ω, т.е.

,

где

(1)

Отсюда, учитывая, что , получаем:

(2)

Т.к. точка лежит на данной окружности, то , поэтому

(3)

(4)

Итак, доказано, что если - произвольная точка искомого множества Ω, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4).

Обратно, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (4), то они удовлетворяют также уравнению (3). Отсюда следует, что точка , координаты которой определяются равенствами (2), лежат на одной окружности . С другой стороны, из равенства (3) получаем равенство (1), т.е. точка М делит отрезок АВ в отношении и , следовательно, .

Заключение

Исследовав координатный метод, можно сказать, что он не является универсальным методом, такого метода не существует, каждый из методов, по-своему, наиболее применим к той или иной задаче. Следует отметить, что рассмотренные примеры задач показывают, что координатный метод является средством решения задач на доказательство теорем, на вычисление и на отыскание геометрических мест точек.

Решение задач по математике имеет большое общеобразовательное и воспитательное значение. Поиск решения нестандартной задачи развивает инициативу, настойчивость и сообразительность. Если к тому же задачи достаточно разнообразны, то их решение является прекрасным средством развития логического мышления, строгости суждений и математического вкуса.

Координатный метод представляет собой мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов алгебраические методы.

Хорошо известны те трудности, которые испытывают учащиеся при решении геометрических задач, поэтому рассмотрение вопросов, связанных с координатным методом решения задач, имеет важное значение в математике.

Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия в двух частях. Часть 1. Москва «Просвещение» 2015

1. Буфеев С.В. Расстояние от точки до плоскости // Журнал «Математика в школе» 8/2008

1. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Москва «Просвещение» 1979

1. Лященко Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Москва «Просвещение» 1988

1. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Москва «Просвещение» 1987

1. Смирнова И.М. Координаты и векторы в пространстве // Журнал «Математика в школе» 6/2005

1. Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск «Высшая школа» 1974