"Координатный метод решения задач"

« Наука без практики похожа на стоячую воду, а ум человека, не находя себе применения, чахнет»

Леонардо да Винчи

Координат ный метод решения задач.

Цель урока:

• Показать применение и преимущество координатного метода при решении стереометрических задач.

Задачи:

• Раскрыть содержание метода;
• Повторить и закрепить основные формулы;
• Развитие умения применять метод при решении задач;
• Способствовать воспитанию умения работать в команде.

Текст из кейса «Тяжкое бремя ЕГЭ»

• Усилия всей семьи усердной ученицы 11 класса Натальи, гуманитарного склада ума направлены на внедрение её в число студенток любого, но желательно очень престижного вуза. В настоящий момент выявилась одна из жестких проблем: зачастую, на экзаменах появляются задания, связанные со знанием очень многих формул, понятий, определений, признаков различных геометрических фигур.
• Ситуация усугубляется тем, что встреча с такими заданиями приводит Наташу в состояние стойкого оцепенения (ну не получается у неё полюбить математику). Просмотрев задания первой части ЕГЭ для выпускников 11 класса, Наташа сразу узнала своего "противника" - задание В5, В8, В10, В13. Наташе нельзя отказать в здравом смысле, но ей показалось сложным эти задания.

Но ведь встречаются в ЕГЭ и худшие монстры: это задания С2. Просмотрев учебник математики, Наташа поняла, что там столько теоретического материала, что она просто не в силах всё это усвоить, и тем более применять при решении. Она боится большого количества формул и правил. К счастью, Наташа - неисправимая оптимистка. И как у любого оптимиста у неё много друзей и почему бы не сосредоточить их интеллектуальные ресурсы на выработку подхода к этой мини ситуации: как одолеть такие задания? Может, кто-то уже их победил? Может у кого-то есть верный способ, как обойти проблему? И как понять, нужно ли ей вообще волноваться по данному поводу?

• Итак - цель полезного использования нашего кейса: разработать рекомендации к системе подготовки решения подобных задач и убедить Наташу в преимуществах выбранного способа решения.

Расстояние от точки до прямой

Метод координат при решении заданий С-2

3

2

Угол между прямой и плоскостью

1

2

3

1

Угол между плоскостями

3

2

1

Расстояние от точки до плоскости

3

1

2

Пример 1 (Угол между прямой и плоскостью)

В кубе найти угол между прямой АВ1 и плоскостью (АВС1).

30

Пример 1 (Угол между плоскостями):

В правильной четырѐхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что AE: EA1=3:2. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (BED1).

arccos 2 /√ 17

Пример 1(Расстояние от точки до плоскости):

В правильной четырѐхугольной пирамиде

S ABCD стороны основания равны 2, а боковое ребро SA =√5. Найти расстояние от точки В до плоскости (А D М), где М-середина ребра S С.

1

Пример 1 (Расстояние от точки до прямой):

В правильной треугольной призме сторона основания равна 2, высота призмы равна 1.Найти расстояние от вершины А1 до прямой ВС1.

d=4/√5

Пример 2 (Угол между прямой и плоскостью)

В правильной треугольной призме все рёбра равны 1.Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью (А1С1С).

arcsin√6/4

Пример 2 (Угол между плоскостями):

В правильной четырѐхугольной пирамиде S ABCD точка S -вершина, М-середина ребра S А, К-середина ребра S С.Найти косинус угла между плоскостями (ВМК) И (АВС), если АВ=8, а S С=10.

(2√ 2)/5

Пример 2(Расстояние от точки до плоскости):

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (ВА1С).

d=√3/√7

Пример 2 (Расстояние от точки до прямой):

Дан тетраэдр D АВС , все рёбра которого равны 1.Найти расстояние от вершины А до прямой ВЕ, где Е-середина ребра С D .

d=√ 2 /3

Пример 3 (Угол между прямой и плоскостью)

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е-середина ребра А1В1.Найти синус угла между АЕ и плоскостью (В DD 1).

√ 10/10

Пример 3 (Угол между плоскостями):

В правильной треугольной призме все стороны равны 1. Найдите косинус угла между плоскостями (АВ1С) и (А1В1С).

5 / 7

Пример 3(Расстояние от точки до плоскости):

В единичном кубе найдите расстояние от точки В до плоскости (АСВ1).

d=√3/3

Пример 3(Расстояние от точки до прямой):

Длины ребер AB , AA 1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A 1 до прямой BD 1.

d=12

1.Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

то научиться оформлять свои выкладки — дело пяти минут.

Рекомендации.

2. координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить геометрическое место точек .

3. очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки.

4. полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний.

5. когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

6.Если освоить метод координат, то научиться оформлять свои выкладки — дело пяти минут.

Полезные замечания:

• Любую задачу С2 можно решить методом координат.
• Метод координат – не единственный метод решения задач С2
• Метод координат универсален, потому что есть алгоритм решения для любого типа заданий С2.
• Целесообразно задавать систему координат специальным способом для разных объектов.
• Целесообразно изображать плоскость Оху и основание геометрического тела в ней отдельно.

Задание на дом: найти в вариантах ЕГЭ две задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.