Исследовательская работа "От задачи к теореме"

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

Направление Научно-техническое

Секция Математика и информатика

От задачи к теореме

Исполнитель: ученик 7 класса: Баратов Станислав

Руководитель: Колмагорова Е. Е.

Екатеринбург

2014

Оглавление

1. ОСНОВЫЕ ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 4

2. РЕАЛИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ИССЛЕДОВАНИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ 6

2.1. Постановка проблемы 6

2.2. Выдвижение гипотезы 6

2.3. Проверка гипотезы 7

2.4. Вывод 10

2.5. Применение полученных результатов 10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 14

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 15

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний момент осуществляется переход от индустриального общества к постиндустриальному. В постиндустриальном обществе стату синдивида определяется множеством факторов, среди которых главенствующую роль  играют образование,  уровень культуры, профессионализм, обучаемость, креативность. Учение, точнее, способность к самообучению и осуществлению исследовательской деятельности становятся необходимыми условиями самореализации человека.

Именно в процессе исследования каких-либо процессов или явлений наиболее полно проявляются оригинальность мышления и творческие способности личности.

Поэтому целью нашей работы является получение опыта исследовательской деятельности.

Для достижения цели нами были поставлены следующие задачи:

1. дать определение понятия исследовательская деятельность, выделить этапы учебного исследования;

2. найти задачу по математике исследовательского характера;

3. осуществить решение найденной задачи, следуя выявленным структурным элементам процесса исследования;

4. обобщить результаты решения, сделать практически-значимые выводы.

Работа состоит из двух пунктов, введения, заключения и списка использованной литературы.

1. ОСНОВЫЕ ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В общественном сознании существуют представления об исследовании как установлении, обнаружении, понимании действительности. Исследовать – означает восстановить некоторый порядок вещей по косвенным признакам, отпечаткам общего закона в конкретных, случайных предметах.

Исследование – это специфический вид деятельности. Источником исследовательской деятельности является свойственное человеку стремление к познанию [1, с. 7].

Б. А. Викол определяет исследовательскую деятельность, как всякую деятельность, которая направлена на получение нового знания и осуществляется не по строгому предписанию, а на основе самоорганизации, понимая под последней способность рационально планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль, регулирование, перестройку своих действий, способность пересмотреть и изменить свои представления об объектах, включенных в деятельность [2, с.8].

Приобщение к исследовательской деятельности позволяет создать благоприятные условия для самообразования и личностно-профессионального развития человека. В процессе исследовательской деятельности формируется не только мышление, но и специфические способности и качества личности: целеустремленность, любознательность, научная фантазия.

Далингер В. А. считает, что учебное исследование обязательно должно включать четыре основных этапа[3]:

1. постановка проблемы;

2. выдвижение гипотезы;

3. проверка гипотезы;

4. вывод.

Расширим предложенную структуризацию, добавив еще один этап – применение полученных результатов.

Осуществим учебное исследование по математике, следуя выделенным этапам.

2. РЕАЛИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

2.1. Постановка проблемы

На данном этапе нами была найдена следующая исследовательская задача по математике: «Площадь прямоугольника равна a². Найти наименьшее значение периметра этого прямоугольника» [4].

2.2. Выдвижение гипотезы

Для решения данной задачи обозначим периметр P, стороны прямоугольника буквами x и y. Рассмотрим некоторые случаи и для каждого случая найдем возможные значения периметра по формуле: P=2(a+b).

S=25

S=36

S=169

S=144

S=256

Реализуем подобные расчеты в Microsoft Office Excel.

Кроме того, построим график зависимости периметра прямоугольника от длины одной из его сторон (Приложение 1). По графику видно, что наименьшее значение периметр достигает в выделенной точке; это значение составляет 64 условных единицы. Из таблицы расчетов (Приложение 2) следует, что значения длины и ширины прямоугольника совпадают и равны 16.

На основе полученных результатов сформулируем гипотезу исследования.

Гипотеза: Периметр прямоугольника будет наименьшим, если значения переменных, выражающих длины сторон, совпадают, то есть .

2.3. Проверка гипотезы

Осуществим доказательство высказанного предположения четырьмя способами.

Способ 1

Обозначим длины сторон через x и y, полупериметр через p. Тогда .

Запишем формулировку задачи символически:

Рассмотрим выражение:

По условию . Тогда . Более того .

Из полученных соотношений следует, что значение (значит и)будет наименьшим, если . Отсюда следует, что .

Таким образом, .

Наименьшее значение достигается при .

Способ 2

Пусть x – одна из сторон прямоугольника, p – полупериметр. Тогда длина второй стороны . Получим: , , .

Выделим полный квадрат разности:

, .

Вынесем за скобки общий множитель:.

Так как , , то из последнего равенства следует, что , то есть .

Получаем, что наименьшее значение.

Способ 3

Рассмотрим квадрат со стороной a. Тогда площадь равна a², полупериметр . Если мы уменьши длину стороны квадрата на m (m≥0, ma), тогда другую сторону нужно увеличить на n (n≥0).