Инновационная деятельность в преподавании математики

Инновационная деятельность

в преподавании математики

(из опыта работы)

Учитель математики

КГУ « СШ № 17»

Жгун М.Н.

г. Риддер

Использование прикладных задач

на уроках математики

Известно, что эффективным обучением следует считать обучение, которое наряду с изложением знаний обеспечивает активизацию мыслительной деятельности всех обучающихся, побуждает у них потребность в знаниях и вызывает интерес к предмету.

Прикладная направленность обучения математике – это ориентация содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках; в профессиональной деятельности; в народном хозяйстве и в быту.

Прикладная направленность обучения математики включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с курсами физики, химии, географии, черчения; широкое использование ЭВМ, формирование математического стиля мышления и деятельности.

Эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием и прикладных задач.

Прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими методами. При решении любой прикладной задачи можно выделить три этапа:

1. создание математической модели, то есть перевод фактического содержания на язык математических формул;

2. решение собственно математической задачи внутри построенной модели;

3. перенос полученных результатов в практику (этап интерпретации)

Большое применение прикладные задачи имеют в теме «Тела вращения».

При введении понятия «тело вращения» следует сказать обучающимся, что большинство деталей, вытачиваемых из дерева или металла на токарных станках, - тела вращения. И посуда, изготавливаемая на гончарных кругах, и стеклянные банки, стаканы, пробирки, валы, шайбы, заклепки, линзы, патроны, снаряды, спортивные диски, мячи, - все это материальные тела, имеющие форму тел вращения.

Цилиндрические резервуары воды и цистерны, хоккейные шайбы, графитные стержни, электроды для электросварки, круглые карандаши – все они имеют форму прямого кругового цилиндра. И шахтный ствол, буровая неглубокая скважина, отверстие, просверленное в доске, перпендикулярно ее поверхности, цилиндр внутреннего сгорания или поршневого насоса – тоже цилиндры.

Переходя к изучению конусов, обучающимся желательно сказать, что естественно насыпанные на горизонтальной поверхности кучи песка, зерна, угля, породы имею форму конусов. При этом каждому сыпучему материалу соответствует определенный угол естественного откоса (угол наклона образующей к плоскости основания конуса). Так например, песку соответствует угол откоса в 25^о , глине – 30^о, щебню – 33^о, углю – 42^о.

Другие примеры материальных конусов: нижняя часть углубления, сделанная сверлом в металле, верхние части многих нефтехранилищ. Верхняя часть домкрата имеет форму усеченного конуса, шлифовальный станок тоже представляет собой усеченный конус.

Примеры материальных шаров – шарики подшипников, шары в дробилках, резервуары на нефтеперерабатывающих заводах, конфеты, мячи, бильярдные шары.

Запальная свеча в двигателях внутреннего сгорания состоит из цилиндрических, винтовых и конических поверхностей, клапан двигателя внутреннего сгорания состоит из цилиндрических, конических и других поверхностей вращения, искроуловитель содержит коническую, цилиндрическую и шаровую поверхности.

Особое внимание при изучении темы «Тела вращения» следует обратить на решение задач, чтобы обучающиеся имели возможность самостоятельно моделировать, а не только анализировать уже готовые математические модели. Желательны при этом и такие задач, которые требуют для своего решения, кроме вычислений и преобразований, еще и измерений.

Вот некоторые примеры прикладных задач по теме «Цилиндр»:

1. Сколько медной проволоки диаметром 5 мм можно прокатать из слитка объемом 0,5 м³?

2. Найдите объем шахтного ствола диаметром 8м, если его глубина 800 м.

3. Внешний и внутренний диаметры кольца для колодца соответственно 1,3 м и 1,1 м, а высота 0,9 м. Сколько кубометров бетона нужно для изготовления 8 таких колец?

4. Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота и радиусы которого соответственно 85 см, 45 см и 2 см, если толщина бумаги 0, 1 мм?

5. Провод кругового сечения площадью 5,03мм² и длиной 28,6м сделан из меди (плотность меди равна 7,8 г/см³). Найти массу провода.

6. Опора электрической воздушной линии сделана из бревна диаметром 17 см и высотой 5 м. Какова масса такой опоры, если плотность древесины равна 800 кг/м³?

По теме «Конус» можно предложить обучающимся следующие задачи:

1. Куча песка имеет форму конуса, длина окружности основания которого 31,4 м, а образующая 5, 4 м. Сколько трехтонных машин потребуется для вывозки песка, если масса 1 м³ песка составляет 2 тонны?

2. Сколько тонн породы в терриконе высотой 90 м, если известно, что угол естественного укоса породы 46^о, а ее плотность 2т/м³?

3. Определить угол уклона конуса, если больший диаметр 94 мм, меньший диаметр 67 мм, длина конуса 125 мм.

4. Усеченный стальной конус с диаметрами 30мм и 26мм и высотой 50мм вытачивается из цилиндрической заготовки d=35 мм и h=60мм. Найти массу готовой детали и процент отхода стружки (ρ= 7,8г/см³.)

Немало прикладных задач можно решить при изучении шара, сферы и их частей. Полезно, дав ученику в руки мяч, глобус или какой-нибудь другой материальный шар, предложить найти его объем или площадь поверхности. Задача не из трудных, но, оказывается, некоторые обучающиеся не могут измерить радиус шара. Следует показать, как это делать, поместив шар между двумя параллельными плоскостями. Полезно также показать, как можно измерить диметр шара с помощью штангенциркуля или кронциркуля.

Материал для составления прикладных задач можно использовать из различных отраслей народного хозяйства, в результате знакомства с технической литературой.

Например, будущим автомеханикам можно предложить следующие задачи:

1. Баки для трансформаторов с масляным охлаждением сваривают из листовой стали. Толщина стенок бака 10 мм, дна – 30 мм. Найти внутренний объем бака (считать, что бак имеет приближенную форму прямого кругового цилиндра), если площадь внешней поверхности бака (с дном, но без крышки) равна 34, 54 м², а внешний диаметр дна 2 м.

2. Диаметр цилиндрической заготовки 60мм, длина 100мм. Требуется обточить заготовку до диаметра 50мм. Определить, сколько металла пойдет в стружку, если ρ= 7,8г/см³.

3. Автомобиль расходует Q л. бензина на 100 км пути, что можно рассчитать по формуле Q=(av-b+c/v)e^kv, где v- скорость автомобиля; a, b, c, k - коэффициенты, зависящие от его ходовых свойств. Вычислить наиболее экономную скорость автомобиля, соответствующей этой скорости расхода бензина Qз, а также наименьшей и наибольшей скоростей, при которых расход бензина на 100 км пути превышает Q на р %.

4. Определить мощность S, развиваемую цилиндром двигателя, по экспериментально-индикаторной диаграмме, дающей зависимость давления Р от объема цилиндра радиусом 2, 5 см и высотой 15 см.

5. Определить диаметры делительных окружностей, диаметры окружностей выступов и впадин зубчатых колес, если известны передаточное число n, модуль m и межосевое расстояние а.

При составлении прикладных задач следует применять различные формулировки условий задач, в том числе формулировки, в которых существенно выделена описательная часть, формулировки–рассказы, задачи – расчеты, избегая однообразия.

С целью обеспечения лаконичности и наглядности формулировок часто следует переносить некоторые элементы из словесной формулировки в чертеж, схему, диаграмму и, показывая обучающимся «чертеж-условие», добиваться самостоятельно решения.

Желательно, чтобы обучающиеся не только умели решать такие задачи, но и умели их самостоятельно составлять.

Так, учащийся 11 класса составил следующую задачу: «Из стального шара, поверхность которого равна 156 см ² , нужно изготовить куб наибольшего объема. Определить массу потерянного материала, если плотность стали равна 7,8 г/см ³».

Метод проектов в обучении математике

Метод проектов в педагогике декларируется сейчас как одна из наиболее перспективных и эффективных инновационных технологий, позволяющих развивать широкий спектр компетенций одновременно, а также прививать учащимся вкус к творчеству и исследованиям.

На уроках математики, также можно использовать учебные проекты. При этом решаются следующие важные проблемы для обучающихся:

1. Максимальное использование самостоятельной работы как на уроках, так и во внеурочное время

2. Обучающиеся не просто решают типичные задачи и упражнения, но и развивают творческое мышление.

3. Во время работы над проектом развивается творческо-экспериментальная работа.

4. Осуществляется непрерывная связь математики и информатики

5. Осуществляется развитие навыка работы с дополнительной литературой, пользованием Интернета и других источников информации.

6. Активно развивается пространственное и логическое воображение.

Из опыта работы я сделала вывод, что у обучающихся слабо развито пространственное воображение. Поэтому раздел геометрии, который изучается в техникуме, дается обучающимся достаточно сложно. К тому же у них очень слабые знания по разделам школьной геометрии. Поэтому здесь уместно, на мой взгляд, воспользоваться учебными проектами.

Обучающимся предлагается следующие темы проектов:

1. Параллельность в пространстве

2. Перпендикулярность в пространстве

3. Многогранники

4. Тела вращения.

Над первыми двумя темами работают все обучающиеся в своих группах. При этом они изучают основные свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Проекты по многогранникам и телам вращения обучающиеся выбирают сами. При этом необходимо, чтобы в ходе работы и защиты проекта всем телам было уделено внимание.

Приведу описание работы над проектом по теме «Перпендикулярность в пространстве».

1. Определение цели и направлений проекта. На первом уроке ставится цель проекта. Обучающиеся разбиваются на группы. Максимальное количество в группе – 6 человек. В группе должны быть обучающиеся разного уровня знаний. Выделяются основные направления проекта, по которым будет вестись работа:

   • Изучение свойств перпендикулярных прямых в пространстве;

   • Изучение перпендикулярности прямой и плоскости;

   • Изучение понятия перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;

   • Изучение теоремы о трех перпендикулярах (ТТП);

   • Применение ТТП к решению задач;

   • Изучение признака перпендикулярности плоскостей.

По каждому направлению можно предложить список задач, необходимых для уяснения понятий (приложение №1)

1. Изучение основных понятий. В ходе 2-3 уроков ребята своей группой изучают основные понятия. В ходе работы сильные обучающиеся могут помогать слабым и пользоваться консультацией преподавателя.

2. Выбор темы проекта. Изучив основные понятия, ребята могут определиться с выбором проекта. При работе над проектом, ребята эту тему изучают боле углубленно. При этом строятся модели, которые помогут наглядно сформулировать или доказать теорему, решить задачу. Возможно использование программирования. Графические программы (например, по теореме о трех перпендикулярах) наглядно позволяют выстроить модель чертежа в пространстве.

3. Презентация проекта. На презентацию проекта ребята выносят следующие продукты:

• название и цель проекта;

• краткий конспект темы;

• задачи, решенные в ходе проекта (с решением);

• основные модели и чертежи для защиты проекта;

• задачи, носящие прикладной и профессиональный характер, которые придумали сами обучающиеся с решением и чертежами.

1. Защита проекта. В ходе защиты проекта обучающиеся проявляют свои знания и навыки, полученные в ходе работы над проектом. При этом защита проекта должна выполнять главную задачу - сформировать у остальных обучающихся знания по данной теме.

2. Коллективное обсуждение, оценка, выводы. После защиты подводятся итоги о глубине изучения темы, правильности решения задач, выбора видов наглядности и их оформления, привлечение знаний из других областей. Также необходимо отметить активность каждого участника проекта, характер общения и взаимопомощи в группе. Оценивается вся работа, и выставляются оценки всем участникам проекта.

Метод проектов также целесообразно использовать на уроках математики, в частности, при изучении тем:

1. Комбинаторика.

2. Статическое и классическое определение вероятности.

3. Формулы полной вероятности и формула Байеса.

Однако нельзя на уроках использовать только проекты. Так, при изучении большинства тем алгебры и начал анализа следует придерживаться традиционных уроков, которые способствуют развитию навыка решения типичных задач.

Задачи по теме: «Перпендикулярность в пространстве»

• Изучение свойств перпендикулярных прямых в пространстве;

1. Прямые АВ, АС и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=3 см, ВС = 7 см, АД = 1,5 см.

2. Прямые АВ, АС и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если ВД=9 см, ВС=16 см, АД=5 см.

3. Доказать, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести боле одной прямой, перпендикулярной данной.

4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между столбом и домом, предполагая, что проволока не провисает.

5. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите длину перекладины.

• Изучение перпендикулярности прямой и плоскости;

1. Отрезок длиной 1 м не пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.

2. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость . Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.

3. Доказать, что через данную точку можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

• Изучение понятия перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость:

1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 и 40 см. Найдите наклонные.

3. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60⁰, а их проекции перпендикулярны.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60⁰.

5. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

6. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.

7. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

• Изучение теоремы о трех перпендикулярах (ТТП);

• Применение ТТП к решению задач;

1. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD= 13 см, ВС= 6см.

2. Из вершины А прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости, расстояния от конца К которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину перпендикуляра АК.

3. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (ab). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.

   • Изучение признака перпендикулярности плоскостей.

     1. Доказать, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

     2. Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

     3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 м., ВД = 7 м, СД=6 м.

     4. 4. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 м., ВД = 4 м, СД=12 м..