Геометрия помогает алгебре

Задача 1. Решите уравнение

где 0°

Решаем вместе.

Задача 2. Решите уравнение.

, 

где 0.

Домашнее задание:

Задача 3. Докажите равносильность двух уравнений:

и  2sin x + 6 cos x = 3,  где   0.

Задача 4.  Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.

Геометрия помогает решать уравнения!

В некоторых случаях вместо того, чтобы преобразовать уравнение можно поступить следующим образом: перевести задачу на геометрический язык, а затем записать полученное геометрическое условие другим способом; в результате получается более простое уравнение.

Мы рассмотри два уравнения, причем в каждом из них исходное уравнение равносильно условию «некоторые точки лежат на одной прямой»; подходящим образом записав это условие, мы получим более простое уравнение, которое и будем решать.

Задача 1. Решите уравнение

  где 0°

Вам предлагается рассмотреть первое и второе слагаемые левой части уравнения как длины отрезков – сторон треугольников.

Учитывая наличие квадратного корня, тригонометрических выражений  sin x и cos x, можно предположить, что использовали теорему косинусов.

Рассмотрим выражения (надо смоделировать теорему косинусов)

15 – 12 cos x = ()2 + ()2 – 2∙ ∙  ∙ cos x

7 – 4sin x = ()² + 2² – 2 ∙  ∙ 2 ∙ cos (90° - х)

Итак, согласно нашим рассуждениям выполним схематический рисунок. Изобразим прямоугольный треугольник с прямым углом С.  

Проводим луч  CD , который делит  угол С на два угла х и 90° - х.

АС = ,  CD = , СВ = 2, а сторона АВ – гипотенуза ∆АВС,

АВ =

Имеем: АD = ,

то есть первое слагаемое в уравнении равно длине  АD.

ВD = ,

то есть второе слагаемое в уравнении равно длине ВD.

Но так как АD + ВD = АВ, значит D

Рассмотрим площади треугольников. S ∆АВС = S ∆АСD + S ∆ВDС, а именно

.

Обе части уравнения делим на число

6 sin x + 2 cos x = 4

Обе части уравнения делим на число 4.

,   sin x∙ cos 30° + sin 30°∙ cos x = 1,

sin(х + 30°) = 1,  х + 30° = 90° + 2πn, где , х = 60° + 2πn,

где , х = 60°, учитывая условия задачи.

Ответ: 60°.

Задача 2. Решите уравнение.

,  где 0.

Решение. Переведем задачу на геометрический язык.

Представьте выражения,  стоящие под знаком корня, в виде суммы 3 слагаемых, два из которых представляют квадраты чисел, а третье – удвоенное произведение этих чисел на cos x (или cos 2x).

2 – 2 cos x = 1² + 1² – 2 ∙1∙1∙ cos x;

10 – 6 cos x = 3² + 1² – 2 ∙3∙1∙ cos x;

10 – 6 cos 2x = 3² + 1² – 2 ∙3∙1∙ cos 2x.

Построим треугольник  АВС; проведем луч СD – биссектрису ∠АСВ,

∠АСD = ∠ВСD = х.  АС = 1, СD = 1, СВ = 3.

Еще раз!

АD =   - первое слагаемое в уравнении (в левой части).

ВD =  - второе слагаемое в уравнении (в левой части).

АВ =   - правая часть уравнения.

Данное уравнение означает, что АD + ВD = АВ, откуда D .

Следовательно, S ∆АСD + S ∆СDВ = S ∆АСВ.

,

так как 2sinx≠0, то  2= 3cosx,

,
, учитывая условие 0x .