Объект исследования в данной работе – математические формулы. Значение формул для математики (и для других наук) никто не станет оспаривать. Как воздух для человека, как вода для рыбы, формулы – это среда, в которой живет и развивается математическая теория. Математическая наука имеет множество ветвлений и делений на различные области и направления. Предмет, называемый в начальной школе одним словом «математика», в среднем звене школы распадается на два учебных предмета: «алгебру» и «геометрию». В старших классах как самостоятельный раздел выделяется «тригонометрия», геометрия распадается на «планиметрию» и «стереометрию», появляются «начала математического анализа». В высшей школе оказывается, что можно пять лет изучать математику и не освоить всех ее разделов, которые даже не беремся перечислить. Огромное ветвистое дерево с густой лиственной кроной, где каждая веточка – научное направление, каждый листик – некая узкоспециализированная теория. У дерева можно оторвать листик, даже отпилить ветку, оно все равно будет жить. Засохнет дерево если его лишить питающих соков Земли, растекающихся от корней до самых дальних веточек и листьев. Попробуйте выбросить из математики понятие «числа» и что станет с этим деревом? Какие-то ветви уцелеют, но прежней красоты уже не будет. Уберите еще «геометрические фигуры и тела» и на оставшегося уродца будет больно смотреть. Человеческие знания вообще – это густой прекрасный лес, в котором деревья переплетаются своими ветвями и в этих переплетениях возникают «физическая химия» и «математическая физика», гармония стихов и музыки проверяется алгеброй, а архитектура пропорцией золотого сечения.
Может ли существовать этот лес знаний без понятия «формула»? Представьте себе математику и физику без единой формулы, и химию без уравнений химических реакций. Мне кажется понятие «формула» уникальное по своей важности не только для математики, но и для большинства других наук. Теорема Пифагора, великая теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна и многое-многое другое выражается формулами. Везде и всюду формулы. Математика говорит на языке формул, а другие науки только тогда достигают совершенства, когда начинают пользоваться этим языком. Как только Карл Маркс в «Капитале» вывел четкие математические формулы для прибавочной стоимости, для товарно-денежных отношений стало понятно, что это не голословная политика, а конкретная экономика. Долго пытались политологи советской эпохи вывести законы социалистической экономики, но не смогли этого сделать, потому что указы генсека и постановления правительства – это не закономерности, которые можно описать формулами. Законы Менделя подняли теорию наследственности и генетику на новые рубежи, потому что это были четкие формулы, которым подчинялись доминантные и рецессивные гены любого живого существа. Гениальный Альберт Эйнштейн использовал уже имеющийся математический аппарат, в частности некоторые формулы, для четкой формулировки законов теории относительности. Многие простые смертные поняли эту теорию именно благодаря формулам, а не словесному описанию, которое не укладывалось в традиционную теорию и традиционное мышление. Одним словом, настоящая наука не существует без формул.
Цель данной работы рассмотреть исторические моменты возникновения и развития формул, некоторые аспекты введения и использования формул в математике средней школы. Более подробно остановимся на одном частном случае – формулах сокращенного умножения и на некоторых типах занимательных задач с использованием понятия «формула».
