Формула красоты в математике.

Формула красоты в математике. Кобаидзе Н. И.

Разумеется, хорошая математика всегда красива.

П. Д. Коэн

Как известно, знания, полученные без интереса, не становятся полезными. Поэтому одной из труднейших и важнейших задач дидактики как была, так и остается проблема воспитания интереса к учению, методики - поиск новых технологий, средств и методов обучения математике.
В этой статье я расскажу о красивых задачах, о математической формуле красоты, об уроке открытых мыслей. На первый взгляд покажется странным, что уроки математики, на которых мы учим устанавливать истину путем доказательства, станут материалом для ученического диспута,
т. е. проведением «урока математики открытых мыслей».

Современный урок отличается использованием деятельностных методов и приёмов обучения таких, как учебная дискуссия, диалог, видеообсуждение, деловые и ролевые игры, открытые вопросы, мозговой штурм и т.д. Однако поводом для дискуссий и благоприятного обмена мнениями может служить не сам вопрос о спра­ведливости тех или иных математических факторов: (хотя для группы, учащихся с неплохой математической подготовкой установка истины — хороший толчок для коллективного мышления). Предметом обсужде­ния может стать, например, эстетическая сторона математических утвер­ждений, или отношение учащихся к математике, или мотивы, которыми руководствуются ученики при ее изучении.
На неделе математики мы решили провести урок « открытых мыслей». Идея проведения такого урока была неожиданной. У ребят старших классов часто наблюдается прагматическое отношение к математике — выучить, чтобы сдать экзамен ЕГЭ; сдать экзамен, чтобы получить аттестат и поступить в вуз. (Но ведь, экзамен показывает не только знания, а и общий уровень знаний). Думается, что одним из объяснений подобного потре­бительского отношения является притупление познавательного инте­реса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Ученики перестали ощущать и ценить (а, может быть, некоторые из них никогда и не чувствовали) внутрипредметную красоту математики, силу ее эмоционального воз­действия. Нам кажется, что средством воздей­ствия математики на учеников являются задачи, и именно те задачи, которые мы называем красивыми.
А что же такое красивая задача? И уместно ли задачу наградить эпитетом «красивая»?
Красивые задачи – это действенное средство эстетического воздействия математики на коллективное мышление учащихся.
Рассмотрим и приведем самые яркие фрагменты этого урока - диспута.

Ученику, гимназисту – энциклопедисту - исследователю, своеобразный ответ которого предполагался заранее, было предложено выступить первым. И урок начался.
Он отметил, что красивые задачи в математике, наверное, существуют, но их кра­соту могут ощутить только знатоки. Ему возразили, что красота понят­на не только творцам, но и ценителям так же, как поэзия и музыка.
Интересно компромиссное суждение другого ученика. По его мнению, термин «красивая задача» применим лишь для тех задач, которые он смог решить сам; неудавшиеся попытки его угнетают, даже раздра­жают и формируют комплекс неполноценности. Тогда слово попросил один из экстравертов (самых темпераментных учащихся). Он предложил товарищам продолжить спор, но лишь после того, как они услышат решение следующей задачи.

Задача 1 (из проектной работы). Найти значения выражения при х=2 и построить отрезок, длина которого равна числовому значению этого выражения.
Цель: построить отрезок.
Найти значение выражения при х=2.

Решение. В знаменателе (в части) следует применить формулу:

.

Подставляя х=2 (в), и, используя эту формулу, получим:

, т. е.

аналогично имеем: .

Следовательно,

Как построить отрезок ОС= и чему равно приближенное значение ?

1) Треугольник – равнобедренный и прямоугольный.

2) Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

1²+1²=2, гипотенуза равна .

3) Учитывая масштаб на рисунке, .

В конце выступления, ученик подчеркнул, что класс не при­нимал участия в решении задачи, однако задача не оставила рав­нодушным никого. Действительно, задача понравилась всем.

Но некото­рые, признав ее красоту, пессимистически заявили, что они никогда не догадались бы до такого решения и это чувство немного притупляет впечатление.
Итак, вопрос о существовании красивых задач, как для творцов, так и для ценителей остался открытым.
Рассмотрим теперь историю другой красивой задачи.
Выступление ученика 10-а класса, гимназии №5, г. Владикавказа, Беликова Казбека.

Однажды на кружке я сидел и изучал чертежи различных фигур из планиметрии. Это была памятка В. Н. Дятлова. Я рисовал и рисовал треугольники в разных положениях, брал всякие виды треугольников. Затем я начал их описывать и вписывать в круг. Потом переключился на вписывание в треугольник – треугольников. Вдруг на одном рисунке я остановился и задумался. Рисунок был следующий: ортоцентрический треугольник был вписан в остроугольный треугольник. И передо мной встал вопрос: А какой у него будет периметр? А если его периметр сравнить с периметрами других треугольников? Сравнить с треугольниками, которые также вписаны в остроугольный треугольник, но вершинами являются основания медиан или биссектрис. Оказалось, что периметр ортоцентрического треугольника всегда меньше. Позже мы узнали, что это одно из минимальных свойств ортоцентрического треугольника и называется теоремой Фаньяно.
Естественно воз­никает вопрос: - Всегда ли для ортоцентрического треугольни­ка выполняется свойство ми­нимизации”, т.е. всегда ли он имеет меньший периметр?
На этот вопрос и отвечает теорема Фаньяно: (задача 2)
«Доказать, что из всех треугольни­ков, вписанных в данный остроугольный треугольник, на­именьший периметр имеет ортоцентрический».
Для нас оказывается, что познание в математике – это и самостоятельное приобретение совокупности универсальных знаний из её области, и развитие мышления.
Приведём доказательство этой теоремы.
На рис. 1 и рис. 2 показаны два тре­угольника, вписанные в один и тот же остроугольный тре­угольник, причем треугольник EFG на рис. 1 является ортоцентрическим. Измерив, пери­метры вписанных треугольни­ков, увидим, что P∆ EFG P∆ UVW .
Справка. Ортоцентрическим называется треугольник, вершинами кото­рого являются основания вы­сот данного треугольника.

Ниже приведено доказатель­ство этой теоремы. Непосредственное доказа­тельство теоремы предварим вспомогательной леммой.
Лемма. Если EFG — ортоцентрический треугольник в треугольнике АВС (рис. 1), то угол AFG равен углу CFE (соответствующие равенства имеют место и для углов при вершинах Е и G).
Доказательство. Построим окружность на диаметре AH (рис.3).

Она проходит через точки G и F. Окружность, по­строенная на диаметре СН, проходит через точки Е и F. Сравнивая образованные при этом вписанные углы, получим:

. Но углы AHG и СНЕ равны как вертикальные, следовательно,.

Перейдем к доказательству теоремы Фаньяно, т. е. пока­жем, что периметр ортоцентри­ческого треугольника EFG меньше, чем периметр любого другого треугольника UVW, вписанного в треугольник АВС.

С помощью преобразований симметрии, выполненных по­следовательно относительно прямых ВС, СА', А'В', В'С', С'А" и А"В", переведем тре­угольник АВС в треугольник А"В"С" (рис. 4).

Исследуем все углы с вершинами в точке Е, полученные после первого преобразования симметрии. На основании леммы и свойств осевой симметрий нетрудно до­казать, что отрезки FE и EG' лежат на одной прямой. Ана­логично и в других положениях стороны треугольника EFG будут последовательно располагаться на прямой, про­ходящей через отрезок FE. Вы­деленный на рисунке отрезок ЕЕ" состоит из шести отрез­ков. Два из них равны GE, два — FG и два — EF. Таким образом, длина отрезка ЕЕ" равна удвоенному периметру треугольника EFG. Проследим за положениями, которые принимает в резуль­тате преобразований симмет­рии треугольник UVW. Ясно, что длина выделенной пунктиром ломаной линии UV'W’U’V"W"U" равна удво­енному периметру этого тре­угольника. Преобразование, при кото­ром ∆АВС → ∆А"В"С", можно осуществить и таким образом: поворот около точки С на угол, равный удвоенной вели­чине угла С треугольника, за­тем поворот около точки В' на угол, равный удвоенной ве­личине угла В и, наконец, по­ворот около точки А" на угол, равный удвоенной величине уг­ла А. Все повороты выполня­ются в одном и том же на­правлении. В результате треугольник АВС, совершив пол­ный оборот, переходит в тре­угольник А"В''С". Очевидно, что это преобразование есть параллельный перенос. Тогда UEE"U" — параллелограмм и UU"=EE". И так как отрезок короче ломаной, соединяющей его концы, то периметр тре­угольника EFG меньше пери­метра треугольника UVW.
Историческая справка. Приведенное доказательство теоремы предложил немецкий математик Г. А. Шварц (1843—1921). Г. А. Шварц преподавал в Берлин­ском университете как преем­ник
К- Вейерштрасса и был одним из основателей Немец­кого математического союза. Основные его труды посвяще­ны изучению минимальных по­верхностей, теории функций и дифференциальным уравне­ниям.
В следующий момент урока представлялось целесообразным изменить направление диспута, и классу был задан следующий вопрос: «Что определяет красоту рассмотренной задачи?» Предложивший ее уче­ник ответил, что он считает красивыми те задачи, решение которых основано на непредсказуемой идее. И другие высказали сходные мне­ния, оценивая красивую задачу как источник непредполагаемых, неожиданных идей.
На доске появилась формула: красивая задача = непредсказуемость + неожиданность + + непредполагаемость (*)…
Отнюдь не следует думать, что слагаемые в формуле появились в результате полного
и безоговорочного одобрения. Так, предложе­ние включить в их число «нестандартность» было отвергнуто боль­шинством, " посчитавшим эту характеристику слишком «стандартной» для того, чтобы достойно оценивать такое качество, как красота. Заслуживает внимания и такой факт. После появления формулы (*) некоторые гимназисты признались, что, подбирая к уроку задачи, они только сейчас могут объяснить свой выбор. Подогрело страсти предложение одной ученицы о замене левой части формулы (*) на «оригинальная задача». Свое предложение она аргументировала тем, что словарь русского языка С. И. Ожегова рас­крывает понятие красоты как совокупность качеств, доставляющих наслаждение взору, и слуху, и, следовательно, термин «красивая за­дача» не уместен. Оппоненты, не заставили себя долго ждать: «Красота может до­ставлять удовольствие не только слуху и взору, но и разуму!..» И в качестве примера, иллюстрирующего их доводы, предложили следующую задачу.
Задача 3. При пересечении диагоналей правильного пятиугольника в свою очередь образуется правильный пятиугольник (рис. 5). Существуют ли пятиугольники, отличные от правильного, диагонали которого при пересечении образуют пятиугольник, подобный данному.

Рис. 5

Решение. Искомым пятиугольником является параллельная проекция правильного пятиугольника. Действительно, изображения по­добных фигур, лежащих в параллельных плоскостях, подобны.

(Это легко доказать, пользуясь определением преобразования подобия и свой­ствами параллельного проектирования.)

Эта задача многих ошеломила. Все еще раз убедились в том, что за­дача и ее решение могут оказывать сильное эмоциональное воздей­ствие.

Вокруг нее возник спор. Один ученик предложил усложнить усло­вие, рассмотрев, к примеру, правильный десятиугольник, и тем самым сделать решение эффектней. Возражавшие ссылались на то, что решаю­щий задачу с пятиугольником прибегнет к средствам планиметрии, и это в свою очередь выгодно оттенит красоту решения.

Этот спор позволил одному учащемуся выразить свое отношение к красивым задачам. В его понимании к последним относятся и такие, которые при первом знакомстве поражают своей сложностью и даже вызывают страх, а решение их удивительно - изящное и простое.

Вот пример задачи, предложенной этим учеником.

Задача 4. Отрезок длины l разделили на n отрезков. На каждом из них, как на диаметрах, построили полуокружности. Эту же операцию повто­рили, разделив данный отрезок на k частей (рис. 6). Найти отноше­ние суммы длин полуокружностей первого и второго разбиений.

Рис. 6

Решение.

Пусть d₁, d₂, ... , d_n — длины отрезков первого раз­биения, d₁', d₂', ... , d'_k — длины отрезков второго разбиения. Сумма длин полуокружностей в первом случае - S₁ = (d₁ + d₂ + … + d_n) = , а во втором случае –

S₂ = (d'₁ + d'₂ + … + d'_k) . Итак, S₁:S₂=l. После решения этой задачи формула (*) дополнилась еще одним слагаемым «удивительная простота».

Эмоциональный накал диспута возрастал. Все настаивали на том, чтобы в формуле было еще одно слагаемое «простота», ссылаясь на возникновение компонента «удивительная простота» как противовеса псевдосложности условия, а все рассмотренные ранее примеры относятся к красивым и потому, что они обладают доступными решениями. Одной неожиданности недо­статочно, так, например, ехать из Владикавказа в Москву через Киев - предложение неожиданное, но пока непростое. Последний пример убедил учащихся расширить формулу.

Заслуживает внимания и такое высказывание: «К красивым я отношу и те задачи, для решения которых надо сделать решительный шаг». Оно было раскрыто на двух исторических при­мерах: пятый постулат Эвклида и проблема разрешимости алгебраи­ческих уравнений в радикалах. Зачитана историческая справка о пятом постулате Евклида.
Еще ученик предложил классу поду­мать над следующей задачей.

Задача 5. Найти закономерность в построении последовательности 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202,

А решение этой задачи действительно революционное: надо в дан­ной последовательности иначе расставить запятые, и мы получим 11, 12, 13, 14, ...

Формула (*) пополнилась новым компонентом «уверенный шаг».

Стоит вспомнить еще одну задачу, позволившую дополнить (*) слагаемым «удивление».

Задача 6.

Бактерии размножаются делением. За 1 секунду из одной бактерии образуются две. Одна бактерия вместе со своим потомством запол­няет пробирку за 1 час. За какое время эту же пробирку заполнят две бактерии?

Решение. Из одной бактерии за 1 секунду образуется 2. Даль­ше процесс в пробирке с одной бактерией идет точно так же, как и в пробирке с двумя бактериями. Следовательно, ответом будет 59 ми­нут 59 секунд. (А совсем не 30 минут, как опрометчиво высказались некоторые ученики.)

Приведенный выше пример возник как иллюстрация следующей точки зрения: есть задачи, в которых верный ответ в корне отличается от интуитивно предполагаемого. Это разительное отличие, вызывая удивление, украшает задачу.
Описание урока хотелось бы закончить двумя поучительными для нас, учителей математики, выступлениями учеников, прозвучавшими в конце диспута.

В первом ученица упрекнула своих товарищей в том, что они не замечают красоту, лежащую на поверхности, а именно некоторые из­вестные теоремы, например, теорему Пифагора. Факт, описанный этой теоремой, она считает простым, неожиданным и удивительным. Школь­ница предложила классу переоценить, но уже под углом поднятых вопросов, теоремы школьного курса математики.

Во втором выступлении (оно оказалось последним) ученица вер­нула нас к началу дискуссии. Отметив свое признание существования красивых задач независимо от ее участия в их решении, заострила внимание на том, что ценить красоту в математике могут лишь те, кому нравится эта наука, а нравиться она может лишь тем, кто награж­дается успехом при решении задач.

Рассмотрим две (сложные для нас) задачи из ЕГЭ.

1. Найти точку минимума функции

f(x) =.

Решение. Так как

f(x) = ==≥ ;

причём функция принимает значение в точке x = , то f min = . Ответ: 0,25.

2. Найти наибольшее значение функции

y= .

Так как f(z)= монотонно возрастает по z, то наибольшее значение она принимает в точке, в которой показатель принимает наибольшее значение. преобразуем показатель, используя связь косинуса двойного угла с синусом:

Затем выделим полный квадрат относительно

Тогда получим:

z(x) = = 2(- 4 = =

= - 4( ≤ 7, причём число 7 является наибольшим значением, т. к. оно является значением функции в точках, в которых = -

Значит, z _наиб = 7, а y _{max = .} Ответ: 128.

Поэтому она предложила вклю­чить в (*) слагаемое «уверенность в будущем успехе», или «оптимизм», а в конце поставить знак «+» и многоточие…

Подводя итоги диспута, можно сказать, что восприятие красоты (не только в науке, а и в любом виде человеческой деятельности), требует от человека определенного труда на приближе­ние
к уровню компетентности, который заложил автор в свое произве­дение, будь то математическая теорема, картина или эффективно работающее техническое устройство. Итак, на доске возникла формула:

Красивая задача = непредсказуемость + непредполагаемость + +неожиданность + удивительная простота + фантазия + решительный шаг + удивление + оптимизм + труд + …

Важно подчеркнуть: отказавшись в последнем от синонимов, мы получим формулу математической красоты, предложенную В. Г. Болтян­ским и эмпирически переоткрытую детьми.

В заключение отметим, что урок-диспут, по нашему мнению, — это еще один шаг на пути к проблеме формирования мотивации учеб­ной деятельности учащихся.

Какова наша главная цель в математике? Это развитие мышления. Каков результат? Это работа нашего мозга. Но он тоже устаёт и ему нужен отдых и восстановление.

Скучные уроки годны лишь на то, чтобы внушить ненависть и к тем, кто их преподает,

и ко всему преподаваемому. Жан-Жак Руссо

Какой ученик поспорит с великим французским философом? Есть же такие!

Правда нам, жителям XXI века, можно только позавидовать: компьютерные технологии дают столько возможностей провести урок еще интереснее и продуктивнее.
Покажите своим ученикам, что учеба может быть не менее увлекательной, чем игра на смартфоне, и они обязательно захотят решать красивые задачи и узнавать еще больше.

Участники проекта (учащиеся 9-10 классов, гимназии №5 г. Владикавказа):

1. Касаева Марина – проект – «Решение дробно-рациональных неравенств с периодическими дробями».

2. Дзарасова Тамара – проект – «Решение нестандартных уравнений и систем уравнений».

3. Абаева Дана – проект – Вычисление площадей поверхностей и объёмов для многогранников.

4. Гуриев Сармат – проект – «Пересекающиеся окружности».

5. Оказова Яна – проект – «Решение текстовых задач».

6. Хацаева Зарина – проект – «Несколько эпизодов из жизни вписанных и описанных окружностей».

7. Беликов Казбек – проект – «Теорема Фаньяно».

8. Гиоева Милана – проект – «Решение дробно-рациональных уравнений».

9. Лавриненко Николай – проект – «Обобщённый метод интервапов».

10. Быкадоров Артур – проект – «Математическая статистика».

Выводы.

1. Решение красивых задач – это ещё одна технология для развития мышления, для решения проблемы формирования мотивации учебной деятельности и получения высоких личностных результатов. Красивые задачи – это действенное средство эстетического воздействия математики на мышление учащихся.

2. Стимулировать интерес ребят к красивым задачам, решая этим определённые метапредметные проблемы в умении учиться и формировании УУД. Развитию УУД  на уроке способствует применение современных педагогических технологий:  технология критического мышления, проектная деятельность, исследовательская работа,  дискуссионная технология, коллективная и индивидуальная мыслительная деятельность. Очень важно, чтобы учитель не искажал технологию, используя  из неё только отдельные приёмы.

В заключение хотелось бы сказать, чтобы на уроках математики всегда царила творческая обстановка, чтобы каждый ребёнок имел посильные задания и трудился в меру своих способностей.

Каждая наука по-своему красива. Красива и нравственна наша наука – математика. На уроках математики мы познаём, воображаем, мыслим, доказываем, решаем красивые задачи, обосновываем, т. е развиваем личность, претворяем в жизнь новые стандарты ФГОС.
Мы стараемся растить новое поколение для цивилизованного и толерантного общества.

Литература

1. Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. М.: Просвеще­ние, 1981.

2. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

3. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. М.: Мир, 1975.

4. Материалы ФГОС - 2010г.

5. Проект – «Задачи на построение». Кобаидзе Н. И. 2013г.

2