Действия над матрицами

ПрактическАЯ РАБОТА

Тема: Действия над матрицами. Обратная матрица.

Цели:

• познакомиться с понятием матрицы

• познакомиться с действиями над матрицами

• познакомиться с понятием обратной матрицы.

• научиться решать примеры на действия с матрицами и на нахождение обратной матрицы.

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за верное выполнение любых двухзаданий работы

оценка «3» ставится за верное выполнение любого задания работы

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 22

- Записать в тетрадь разобранные примеры на действия над матрицами и на вычисление обратной матрицы

Лекция 22.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

 Возведение в степень

m1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства операций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n 

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)

Пример.

Ясно, A'=-A

Обратная матрица - определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение. Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица  называется обратной к невырожденной матрице  , если , где  - это единичная матрица соответствующего порядка.ание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°    

2°    

3°    

4°    

1. вычислить определитель матрицы

2. транспонировать матрицу А

3. вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы

4.составляем матрицу А*(союзная или присоединенная)

Пример 12: Найти обратную матрицу для матрицы

А= 

Решение: Т.к. определитель равен  , то обратная матрица имеет место быть.

Транспонируем матрицу 

Вычислим все алгебраические дополнения

транспонированной матрицы

Т.е. союзная матрица имеет вид 

Обратная матрица имеет вид 

Примеры для самостоятельного решения

Задание 2.

1. Решить матричное уравнение 2А + Х = В, где А = , В =

2. Даны матрицы А =; С =

Вычислить: а) элементы а₂₁ и а₁₂ произведений АВ и ВА

б) элемент а₃₂ произведения АС

в) элемент а₃₁ произведения СВ

3.Найти обратные матрицы А^-1 и В^-1, если

А = ; В =

Проверьте, верно ли они найдены.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия