Дидактический материал по алгебре

дидактический материал сожержит карточки к занятиям, по которым можно проверить усвоенный материал.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Дидактический материал по алгебре»

7 класс

Оглавление

Вычисление значений выражений 3

Приведение подобных слагаемых 3

Переместительный, сочетательный и распределительные свойства 3

Преобразование выражений 3

Решение линейных уравнений 3

Нахождение x и y по формуле 4

Сложение и вычитание многочленов 4

Умножение одночлена на многочлен 5

Преобразование выражений 5

Решение уравнений вида ) 5

Вынесение общего множителя за скобку 6

Умножение многочлена на многочлен 6

Квадрат суммы, квадрат разности 6

Сокращение дробей. 7

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 7

Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей 7

Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю 8

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю 9

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 9

Умножение дробей 10

Возведение в степень дроби 10

Деление дробей 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения 12

Вычисление значений выражений

Правило	Примеры
Правило	(3m+4x)y, при m=3, x= ,y=
1. Подставить вместо всех переменных их значения
2. Выполнить действия

Приведение подобных слагаемых

Правило	Примеры
Правило	3х–7х+9х–15х	9х–4y+9+5x–3+3y–2x
1. Подчеркнуть одинаковыми черточками слагаемые с одинаковой буквенной частью.	3х–7х+9х–15х=	9х–4y+9+5x–3+3y–2x=
2. Сложить коэффициенты (вместе со знаками) одинаково подчеркнутых слагаемых.	=(3+(–7)+9+(–15))х= =(3–7+9–15)х=	=(9+5+(–2))x+((–4)+3)y+(9+(–3))= =(9+5–2)x+(–4+3)y+(9–3)=
3. Полученный в п.2 коэффициент умножить на общую буквенную часть.	= –10х	=12x+(–1)y+6=12x–y+6

Раскрытие скобок, если перед ними стоит знак + или –

Правило	Примеры
1а)Если перед скобкой стоит + или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.	(a–b+c)= a–b+c +(x+y–z)= x+y–z +(–a+c–1)= –a+c–1
1б)Если перед скобкой стоит –, то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные (то есть + на –, а – на +)	–(a–x+c)= –a+x–c –(1–x+a)= –1+x–a
2. Если нужно привести подобные слагаемые.

Переместительный, сочетательный и распределительные свойства

Правило

Примеры

ab=ba

(ab)c=a(bc)

–3,2a^.5,6b=(–3,2^.5,6)ab= –17,92ab

a(b+c)=ab+ac

1,3(4–3b)=1,3^.4–1,3^.3b=5,2–3,9b

–4(3a–7b)= –4^.3a–(–4)^.7b= –12a+28b

Преобразование выражений

Правило	Примеры
Правило	b–(4–2b)+(3b–1)	3(6–5x)+17x–10	12n+9–6(3n+1)
1. Раскрыть скобки	=b–4+2b+3b–1=	=3^.6–3^.5x+17x–10= =18–15x+17x–10=	=12n+9–6^.3n+(–1)^.n= =12n+9–18n–6=
2. Привести подобные слагаемые.	=(1+2+3)b+(–4–1)= =6b–5	(18–10)+(–15+17)x= =8+2x	=(12–18)n+(9–6)= = –4n+4

Решение линейных уравнений

Правило

Примеры

–5х–150=0

15(х+2)–19=12х

6(1+5х)=5(1+6х)

1. Если нужно, раскрыть скобки.

––––––––––––

15(х+2)–19=12х

15х+15^.2–19=12х

15х+30–19=12х

6(1+5х)=5(1+6х)

6^.1+6^.5х=5^.1+5^.6х

6+30х=5+30х

2. Перенести слагаемые с переменной в левую, а без переменной в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные

(+ на – , а – на +)

–5х–150=0

–5х=150

15х+30–19=12х

15х–12х= –30+19

6+30х=5+30х

30х–30х=5–6

3. Привести в обеих частях уравнения подобные слагаемые.

Получится уравнение вида ax=b

––––––––––––

(15–12)х=–30+19

3х= –21

(30–30)х=5–6

0х= –1

4. Если а¹0, то (x=b:a)

Если a=0, b¹0, то уравнение не имеет корней

Если a=0, b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней, т.е. х может принимать любые значения

а= –5¹0Þ

x=150:(–5)

x= –30

Ответ: х= –30

а=3¹0Þ

x= –21:3

x= –7

Ответ: х= –7

а=0Þ

решений нет

Ответ: решений нет

Нахождение x и y по формуле

Правило	Примеры
	y=3x–5
	x	4
	y			–2
Дан х. Найти y. а) Подставить вместо х его значение	x=4 y=3^.4–5=
б) Выполнить действия	=12–5=7
Дан y. Найти х. а) Подставить вместо y его значение	y= –2 –2=3x–5
б) Решить получившееся уравнение	–2=3x–5 –3x= –5+2 –3x= –3 x= –3:(–3) x=1		x		4	1
			y		7	–2

Нахождение координат точки пересечения графиков функций

Правило	Примеры
Функции заданы формулами. 1. Приравнять правые части данных формул	y=3x–5 y=4x+3 3x–5=4x+3
Решить получившееся уравнение. Получим х–координату точки пересечения	3x–4x=3+5 –x=8 x= –8
3. Подставить в одну из формул вместо х найденное в п.2 решение	y=3^.(–8)–5=
4. Вычислить y	= –24–5= –29
5. Записать ответ в виде (х;y)	(–8;–29)

Сложение и вычитание многочленов

Правило	Примеры
Раскрыть скобки Привести подобные слагаемые, т.е. привести к стандартному виду.

Умножение одночлена на многочлен

Правило	Примеры
Умножить каждый член многочлена, записанного в скобках на одночлен, стоящий перед скобкой Сложить полученные произведения Получившийся многочлен привести к стандартному виду

Преобразование выражений

Правило	Примеры
Раскрыть скобки Привести подобные слагаемые

Решение уравнений вида )

Правило	Примеры
Правило
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей, входящих в уравнение	НОЗ знаменателей 5 и 3: 15	НОЗ знаменателей 7 и 1: 7	НОЗ знаменателей 4, 12 и 1: 12
2. Умножить каждую дробь уравнения на НОЗ
3. Если нужно, сократить дроби		4–3х= –14
4. Решить получившееся уравнение	9х+15= 5х+5 9х–5х= –15+5 4х= –10 х= –2,5	4–3х= –14 –3х= –4–14 –3х= –18 х= –18:(–3) х=6	18y+21–7+5y=60 18y+5y= –21+7+60 23y=46 y= 46:23 y=2
5. Записать ответ	Ответ: х= –2,5	Ответ: х=6	Ответ: y=2

Вынесение общего множителя за скобку

Правило	Примеры
Правило	4x²–12x+8a²x³	3(b–2c)+x(b–2c)	5(x–y)+a(y–x)
1. Представить каждое слагаемое в виде произведения	4x²–12x+8a²x³ = = 4xx–4^.3x+4^.2aaxxx=	3(b–2c)+x(b–2c)=	5(x–y)+a(y–x)= =5(x–y)–a(x–y)=
2. Подчеркнуть в каждом слагаемом одинаковые множители	= 4xx–4^.3x+4^.2aaxxx=	=3(b–2c)+x(b–2c)=	=5(x–y)–a(x–y)=
3.Записать подчеркнутый одинаковый множитель за скобками 4. В скобках записать слагаемые без подчеркнутого множителя	= 4x(x–3+2aaxx)= = 4x(x–3+2a²x²)	=(b–2c)(3+x)	=(x–y)(5–a)

Умножение многочлена на многочлен

Правило

Примеры

Умножить каждое слагаемое из 1–й скобки на каждое слагаемое из 2–й скобки
Полученные произведения сложить
Привести получившийся многочлен к стандартному виду

(2x–y)(4x+3y)=

=2x^.4x+2x^.3y+(–y)^.4x+(–y)^.3y=

=8x²+6xy –4xy–3y²=8x²+(6–4)xy–3y²=

=8x²+2xy–3y²

(2a–3)(5–a)=

=2a^.5–2a^.a+(–3)^.5–(–3)^.a=

=10a–2a²–15+3a=(10+3)a–2a²–15=

= –2a²+13a–15

Квадрат суммы, квадрат разности

Правило	Примеры
(I ± II)²= I² ±2^.I ^.II + II²	(I ± II)²		I	II	I² ±2^.I ^.II + II²
	(3x+4)²		3x	4	(3x)²+2^.3x^.4+4²
	(3x–4)²		3x	4	(3x)²–2^.3x^.4+4²
Краткая запись	(3x+4)²=(3x)²+2^.3x^.4+4²=9x²+24x+16 (3x–4)²=(3x)²–2^.3x^.4+4²=9x²–24x+16
I² ±2^.I ^.II + II²= (I ± II)²
25x²+10xy+y² = ? I² = 25x² Þ I =5x II² =y² Þ II = y Проверяем, верно ли, что 2^.(5x)^.y=10xy 10xy=10xy – верно Þ можно воспользоваться формулой 25x²+10xy+y² = (5x+y)² 9x²+12x+16 = ? I² = 9x² Þ I =3x II² =16 Þ II = 4 Проверяем, верно ли, что 2^.(3x)^.4=12x 24x=12x – неверно Þ воспользоваться формулой нельзя		25x²–10xy+y² = ? I² = 25x² Þ I =5x II² =y² Þ II = y Проверяем, верно ли, что 2^.(5x)^.y=10xy 10xy=10xy – верно Þ можно воспользоваться формулой 25x²–10xy+y² = (5x–y)² 9x²–12x+16 = ? I² = 9x² Þ I =3x II² =16 Þ II = 4 Проверяем, верно ли, что 2^.(3x)^.4=12x 24x=12x – неверно Þ воспользоваться формулой нельзя

Сокращение дробей.

Правило	Примеры
Правило
1. Разложить числитель и знаменатель на множители: вынести общий множитель за скобки; применить способ группировки слагаемых; применить формулы сокращенного умножения; использовать свойства степеней; другой способ.		ab–bc=b(a–c) a²–2ac+c²=(a–c)²	2x+bx–2y–by= =(2x–2y)+(bx–by)= =2(x–y)+b(x–y)= =(x–y)(2+b) 7x–7y=7(x–y)
2. Зачеркнуть в числителе и знаменателе одинаковые множители в одинаковых степенях.
3. Записать в качестве ответа в числителе и знаменателе не зачеркнутые множители.
Задания: Сократите дробь:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
1) 2) 3) 4) 5) 6)
1) 2) 3) 4) 5) 6)

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило	Примеры

где P(x), R(x), Q(x) –многочлены и Q(x)¹ 0
Задания: Выполните действия:
1) 2) 3) 4)
1) 2) 3) 4)
1) 2) 3) 4)

Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей

Правило	Примеры
	и	и
1. Разложить на множители знаменатели дробей: вынести общий множитель за скобку; разложить способом группировки слагаемых; разложить на множители квадратный трехчлен; другой способ.	;
2. Вычеркнуть в знаменателях дробей по одному разу те множители, которые есть в разложении на множители в знаменателе другой дроби.	;
3. Записать произведение всех невычеркнутых множителей.	наименьший общий знаменатель: =	наименьший общий знаменатель:
Задания: Найти наименьший общий знаменатель дробей:
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю

Правило	Примеры
	и	и
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Для каждой из дробей рассмотреть следующую дробь:
3. Сократить эту дробь. Получившееся выражение – дополнительный множитель.	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к
Задания: Найти дополнительные множители к дробям:
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Правило	Примеры
	и	и
1. Найти наименьший общий знаменатель данных дробей.
2. Найти дополнительные множители к каждой из дроби.	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к
3. Умножить числитель каждой из дробей на дополнительный множитель, а в качестве знаменателя записать их наименьший общий знаменатель.
4. Записать ответ.	и	и
Задания: Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю:
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и
1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило	Примеры
	+	–
1. Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю.	Наименьший общий Дополнительные –к дроби – к дроби Þ = +	знаменатель: множители: – к дроби – к дроби Þ = –
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей.
3. Если нужно, преобразовать получившуюся дробь и записать ответ.	_______________
Краткая запись решения
Задания: Представьте в виде дроби:
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)

Умножение дробей

Правило	Примеры
Правило
1. Перемножить числитель одной дроби с числителем другой и знаменатель одной дроби со знаменателем другой.
2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.
3. Записать ответ.
Задания: Выполните умножение:
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)

Возведение в степень дроби

Правило	Примеры

1. Возвести в степень каждый множитель числителя и знаменателя.
2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.		____________
3. Записать ответ.
Задания: Представьте в виде дроби:
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)

Деление дробей

Правило	Примеры
Правило
1.Представить в виде произведения первой дроби и перевернутой второй дроби.
2. Выполнить умножение получившихся дробей.
3. Записать ответ.
Задания: Выполните деление:
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Правило	Примеры
Правило
1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами: − раскрыть скобки − привести к общему знаменателю − перенести слагаемые из одной части уравнения в другую − привести подобные слагаемые	_____________________	В первом уравнении приведем к общему знаменателю, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые Во втором уравнении раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть
2. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую	Выразим переменную х из первого уравнения	Выразим переменную х из первого уравнения
3. Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы	Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение	Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение
4. Решить получившееся уравнение
5. Найти значение второй переменной
6. Записать ответ	Ответ: (1; 2)	Ответ: (−1; 1)

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения

Правило	Примеры
Правило
1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами: − раскрыть скобки − привести к общему знаменателю − перенести слагаемые из одной части уравнения в другую − привести подобные слагаемые	___________________	В уравнениях раскроем скобки, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть и приведем подобные слагаемые	_____________________
2. К уравнениям системы подобрать множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами
3. Умножить почленно уравнения системы на выбранные множители
4. Сложить почленно левые и правые части получившихся уравнений	+	+	+ + + +
5. Решить получившееся уравнение
6. Найти значение второй переменной (используя для этого любое уравнение системы)	Подставим получившееся значение переменной х в первое уравнение	Подставим получившееся значение переменной y в первое уравнение упрощенной системы	Подставим получившееся значение переменной а в первое уравнение
7. Записать ответ	Ответ: (2; 1)	Ответ: (−3; 2)	Ответ: (−3; 2)