kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Дидактический материал по алгебре

Нажмите, чтобы узнать подробности

дидактический материал сожержит карточки к занятиям, по которым можно проверить усвоенный материал.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Дидактический материал по алгебре»



7 класс



Оглавление

Вычисление значений выражений 3

Приведение подобных слагаемых 3

Переместительный, сочетательный и распределительные свойства 3

Преобразование выражений 3

Решение линейных уравнений 3

Нахождение x и y по формуле 4

Сложение и вычитание многочленов 4

Умножение одночлена на многочлен 5

Преобразование выражений 5

Решение уравнений вида ) 5

Вынесение общего множителя за скобку 6

Умножение многочлена на многочлен 6

Квадрат суммы, квадрат разности 6

Сокращение дробей. 7

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 7

Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей 7

Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю 8

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю 9

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 9

Умножение дробей 10

Возведение в степень дроби 10

Деление дробей 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения 12




Вычисление значений выражений


Правило

Примеры

(3m+4x)y, при m=3, x= ,y=

1. Подставить вместо всех переменных их значения

2. Выполнить действия


Приведение подобных слагаемых


Правило

Примеры

3х–7х+9х­­­­­–15х

9х–4y+9+5x–3+3y–2x

1. Подчеркнуть одинаковыми черточками слагаемые с одинаковой буквенной частью.

3х­­­­­+15х=


4y+9+5x–3+3y2x=

2. Сложить коэффициенты (вместе со знаками) одинаково подчеркнутых слагаемых.

=(3+(­–7)+9+(–15))х=

=(3–7+9–15)х=

=(9+5+(–2))x+((–4)+3)y+(9+(–3))=

=(9+5–2)x+(–4+3)y+(9–3)=

3. Полученный в п.2 коэффициент умножить на общую буквенную часть.

= –10х

=12x+(–1)y+6=12x–y+6


Раскрытие скобок, если перед ними стоит знак + или –


Правило

Примеры

1а)Если перед скобкой стоит + или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.

(a–b+c)= a–b+c

+(x+y–z)= x+y–z

+(–a+c–1)= –a+c–1

1б)Если перед скобкой стоит –, то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные (то есть + на –, а – на +)

(a–x+c)= –a+x–c

(1–x+a)= –1+x–a

2. Если нужно привести подобные слагаемые.




Переместительный, сочетательный и распределительные свойства


Правило

Примеры

ab=ba

(ab)c=a(bc)


3,2a.5,6b=(–3,2.5,6)ab= –17,92ab


a(b+c)=ab+ac



1,3(4–3b)=1,3.4–1,3.3b=5,2–3,9b


4(3a–7b)= –4.3a–(–4).7b= –12a+28b



Преобразование выражений


Правило

Примеры

b–(4–2b)+(3b–1)

3(6–5x)+17x–10

12n+9–6(3n+1)

1. Раскрыть скобки

=b–4+2b+3b–1=

=3.6–3.5x+17x–10=

=18–15x+17x–10=

=12n+9–6.3n+(–1).n=

=12n+9–18n–6=

2. Привести подобные слагаемые.

=(1+2+3)b+(–4–1)=

=6b–5

(18–10)+(–15+17)x=

=8+2x

=(12–18)n+(9–6)=

= –4n+4


Решение линейных уравнений


Правило

Примеры

5х–150=0

15(х+2)–19=12х

6(1+5х)=5(1+6х)

1. Если нужно, раскрыть скобки.

––––––––––––


15(х+2)–19=12х

15х+15.2–19=12х

15х+30–19=12х


6(1+5х)=5(1+6х)

6.1+6.5х=5.1+5.

6+30х=5+30х

2. Перенести слагаемые с переменной в левую, а без переменной в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные

(+ на – , а – на +)


5х–150=0

5х=150


15х+30–19=12х

15х–12х= –30+19


6+30х=5+30х

30х–30х=5–6


3. Привести в обеих частях уравнения подобные слагаемые.

Получится уравнение вида ax=b



––––––––––––

(15–12)х=–30+19

3х= –21

(30–30)х=5–6

0х= –1

4. Если а¹0, то (x=b:a)

Если a=0, b¹0, то уравнение не имеет корней

Если a=0, b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней, т.е. х может принимать любые значения

а= –5¹0Þ

x=150:(–5)

x= –30

Ответ: х= –30

а=3¹0Þ

x= –21:3

x= –7

Ответ: х= –7

а=0Þ

решений нет

Ответ: решений нет


Нахождение x и y по формуле


Правило

Примеры

y=3x–5

x

4


y


–2

  1. Дан х. Найти y.

а) Подставить вместо х его значение

x=4

y=3.4–5=

б) Выполнить действия

=12–5=7

  1. Дан y. Найти х.

а) Подставить вместо y его значение

y= –2

2=3x–5

б) Решить получившееся уравнение


2=3x–5

3x= –5+2

3x= –3

x= –3:(–3)

x=1

x

4

1

y

7

–2



Нахождение координат точки пересечения графиков функций


Правило

Примеры

Функции заданы формулами.

1. Приравнять правые части данных формул

y=3x–5 y=4x+3

3x–5=4x+3

  1. Решить получившееся уравнение.

Получим х–координату точки пересечения

3x–4x=3+5

x=8

x= –8

3. Подставить в одну из формул вместо х найденное в п.2 решение

y=3.(–8)–5=

4. Вычислить y

= –24–5= –29

5. Записать ответ в виде (х;y)

(–8;–29)


Сложение и вычитание многочленов


Правило

Примеры

  1. Раскрыть скобки

  2. Привести подобные слагаемые, т.е. привести к стандартному виду.


Умножение одночлена на многочлен


Правило

Примеры

  1. Умножить каждый член многочлена, записанного в скобках на одночлен, стоящий перед скобкой

  2. Сложить полученные произведения

  3. Получившийся многочлен привести к стандартному виду


Преобразование выражений


Правило

Примеры

  1. Раскрыть скобки

  2. Привести подобные слагаемые


Решение уравнений вида )


Правило

Примеры

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей, входящих в уравнение

НОЗ знаменателей

5 и 3: 15

НОЗ знаменателей

7 и 1: 7

НОЗ знаменателей

4, 12 и 1: 12

2. Умножить каждую дробь уравнения на НОЗ

3. Если нужно, сократить дроби

4–3х= –14

4. Решить получившееся уравнение

9х+15= 5х+5

9х–5х= –15+5

4х= –10

х= –2,5

4–3х= –14

–3х= –4–14

–3х= –18

х= –18:(–3)

х=6

18y+21–7+5y=60

18y+5y= –21+7+60

23y=46

y= 46:23

y=2

5. Записать ответ

Ответ: х= –2,5

Ответ: х=6

Ответ: y=2


Вынесение общего множителя за скобку


Правило

Примеры

4x2–12x+8a2x3

3(b–2c)+x(b–2c)

5(x–y)+a(y–x)

1. Представить каждое слагаемое в виде произведения

4x2–12x+8a2x3 =

= 4xx–4.3x+4.2aaxxx=


3(b–2c)+x(b–2c)=

5(x–y)+a(y–x)=

=5(x–y)–a(x–y)=

2. Подчеркнуть в каждом слагаемом одинаковые множители

= 4xx–4.3x+4.2aaxxx=

=3(b–2c)+x(b–2c)=

=5(x–y)–a(x–y)=

3.Записать подчеркнутый одинаковый множитель за скобками

4. В скобках записать слагаемые без подчеркнутого множителя

= 4x(x–3+2aaxx)=

= 4x(x–3+2a2x2)

=(b–2c)(3+x)

=(x–y)(5–a)



Умножение многочлена на многочлен


Правило

Примеры

  1. Умножить каждое слагаемое из 1–й скобки на каждое слагаемое из 2–й скобки

  2. Полученные произведения сложить

  3. Привести получившийся многочлен к стандартному виду


(2x–y)(4x+3y)=


=2x.4x+2x.3y+(–y).4x+(–y).3y=

=8x2+6xy –4xy–3y2=8x2+(6–4)xy–3y2=

=8x2+2xy–3y2


(2a–3)(5–a)=


=2a.5–2a.a+(–3).5–(–3).a=

=10a–2a2–15+3a=(10+3)a–2a2–15=

= –2a2+13a–15


Квадрат суммы, квадрат разности


Правило

Примеры

(I ± II)2 = I2 ±2. I . II + II2

(I ± II)2

I

II

I2 ±2. I . II + II2

(3x+4)2

3x

4

(3x)2+2.3x.4+42

(3x–4)2

3x

4

(3x)2–2.3x.4+42

Краткая запись

(3x+4)2=(3x)2+2.3x.4+42=9x2+24x+16

(3x–4)2=(3x)2–2.3x.4+42=9x2–24x+16

I2 ±2. I . II + II2 = (I ± II)2

25x2+10xy+y2 = ?

  1. I2 = 25x2 Þ I =5x

II2 =y2 Þ II = y

  1. Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy

10xy=10xy – верно

Þ можно воспользоваться формулой

25x2+10xy+y2 = (5x+y)2


9x2+12x+16 = ?

  1. I2 = 9x2 Þ I =3x

II2 =16 Þ II = 4

  1. Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x

24x=12x – неверно

Þ воспользоваться формулой нельзя

25x2–10xy+y2 = ?

  1. I2 = 25x2 Þ I =5x

II2 =y2 Þ II = y

  1. Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy

10xy=10xy – верно

Þ можно воспользоваться формулой

25x2–10xy+y2 = (5x–y)2


9x2–12x+16 = ?

  1. I2 = 9x2 Þ I =3x

II2 =16 Þ II = 4

  1. Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x

24x=12x – неверно

Þ воспользоваться формулой нельзя


Сокращение дробей.


Правило

Примеры

1. Разложить числитель и знаменатель на множители: вынести общий множитель за скобки; применить способ группировки слагаемых; применить формулы сокращенного умножения; использовать свойства степеней; другой способ.

abbc=b(a–c)

a2–2ac+c2=(a–c)2

2x+bx–2y–by=

=(2x–2y)+(bx–by)=

=2(x–y)+b(x–y)=

=(x–y)(2+b)

7x–7y=7(x–y)

2. Зачеркнуть в числителе и знаменателе одинаковые множители в одинаковых степенях.

3. Записать в качестве ответа в числителе и знаменателе не зачеркнутые множители.

Задания: Сократите дробь:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1) 2) 3) 4) 5) 6)


Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями


Правило

Примеры

где P(x), R(x), Q(x) –многочлены и Q(x)¹ 0

Задания: Выполните действия:

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)


Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей


Правило

Примеры

и

и

1. Разложить на множители знаменатели дробей: вынести общий множитель за скобку; разложить способом группировки слагаемых; разложить на множители квадратный трехчлен; другой способ.

;


2. Вычеркнуть в знаменателях дробей по одному разу те множители, которые есть в разложении на множители в знаменателе другой дроби.

;

3. Записать произведение всех невычеркнутых множителей.

наименьший общий знаменатель:

=

наименьший общий знаменатель:

Задания: Найти наименьший общий знаменатель дробей:

1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и


Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю


Правило

Примеры

и

и

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Для каждой из дробей рассмотреть следующую дробь:

3. Сократить эту дробь. Получившееся выражение – дополнительный множитель.

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

Задания: Найти дополнительные множители к дробям:

1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и


Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю


Правило

Примеры

и

и

1. Найти наименьший общий знаменатель данных дробей.

2. Найти дополнительные множители к каждой из дроби.

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

3. Умножить числитель каждой из дробей на дополнительный множитель, а в качестве знаменателя записать их наименьший общий знаменатель.

4. Записать ответ.

и

и

Задания: Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю:

1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и

1) и 2) и 3) и 4) и

5) и


Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило

Примеры

+

1. Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий

Дополнительные

–к дроби

– к дроби

Þ = +

знаменатель:

множители:

– к дроби

– к дроби

Þ =

2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей.

3. Если нужно, преобразовать получившуюся дробь и записать ответ.

_______________

Краткая запись решения

Задания: Представьте в виде дроби:

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)


Умножение дробей



Правило

Примеры

1. Перемножить числитель одной дроби с числителем другой и знаменатель одной дроби со знаменателем другой.

2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.

3. Записать ответ.

Задания: Выполните умножение:

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)


Возведение в степень дроби


Правило

Примеры

1. Возвести в степень каждый множитель числителя и знаменателя.

2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.

____________

3. Записать ответ.

Задания: Представьте в виде дроби:

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)


Деление дробей


Правило

Примеры

1.Представить в виде произведения первой дроби и перевернутой второй дроби.

2. Выполнить умножение получившихся дробей.

3. Записать ответ.

Задания: Выполните деление:

1) 2) 3) 4)

5)

1) 2) 3) 4)

5)

1) 2) 3) 4)

5)


Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки


Правило

Примеры

1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами:

− раскрыть скобки

− привести к общему знаменателю

− перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

− привести подобные слагаемые







_____________________

В первом уравнении приведем к общему знаменателю, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые

Во втором уравнении раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть

2. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую

Выразим переменную х из первого уравнения


Выразим переменную х из первого уравнения


3. Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы

Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение



Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение



4. Решить получившееся уравнение

5. Найти значение второй переменной

6. Записать ответ

Ответ: (1; 2)

Ответ: (−1; 1)


Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения


Правило

Примеры

1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами:

− раскрыть скобки

− привести к общему знаменателю

− перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

− привести подобные слагаемые







___________________

В уравнениях раскроем скобки, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть и приведем подобные слагаемые








_____________________

2. К уравнениям системы подобрать множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами

3. Умножить почленно уравнения системы на выбранные множители

4. Сложить почленно левые и правые части получившихся уравнений

+

+

+

+

+

+

5. Решить получившееся уравнение

6. Найти значение второй переменной (используя для этого любое уравнение системы)

Подставим получившееся значение переменной х в первое уравнение

Подставим получившееся значение переменной y в первое уравнение упрощенной системы

Подставим получившееся значение переменной а в первое уравнение

7. Записать ответ

Ответ: (2; 1)

Ответ: (−3; 2)

Ответ: (−3; 2)




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Дидактический материал по алгебре

Автор: Хамитова Юлия Евгеньевна

Дата: 16.03.2023

Номер свидетельства: 627606

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Дидактический материал по теме: "Решение линейных неравенств" "
    ["seo_title"] => string(71) "didaktichieskii-matierial-po-tiemie-rieshieniie-linieinykh-nieravienstv"
    ["file_id"] => string(6) "206774"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1430251273"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(155) "Дидактический материал для обучающихся по 7 виду. Алгебра 8 класс. Рациональные дроби"
    ["seo_title"] => string(98) "didaktichieskii-matierial-dlia-obuchaiushchikhsia-po-7-vidu-alghiebra-8-klass-ratsional-nyie-drobi"
    ["file_id"] => string(6) "222963"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1437023516"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(66) "Рабочая программа по алгебре 7 класс"
    ["seo_title"] => string(42) "rabochaia_proghramma_po_alghiebrie_7_klass"
    ["file_id"] => string(6) "447349"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1514571782"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(157) "Конспект урока по алгебре на тему «Взаимное расположение графиков линейных функций» "
    ["seo_title"] => string(94) "konspiekt-uroka-po-alghiebrie-na-tiemu-vzaimnoie-raspolozhieniie-ghrafikov-linieinykh-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "163788"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422540329"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(84) "Урок алгебры «Тригонометрические уравнения» "
    ["seo_title"] => string(50) "urok-alghiebry-trighonomietrichieskiie-uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "184798"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1426093246"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства