Золотое сечение

Золотое сечение

«… Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением,

и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем …» .

Иоганн Кеплер

• Есть предположение, что впервые знание золотого деления имелись у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

• Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Интерес к золотому сечению необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV - XVII). В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли (1445 – ок.1514), друг Леонардо да Винчи (1452 – 1519), написал целую книгу "О божественной пропорции". Леонардо выполнил иллюстрации к этой книге.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение . Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Одним из вопросов, волновавших древних ученых, был вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих вместе единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора, который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое деление, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Выясним, каким числом выражается золотое сечение. Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части. Большую обозначим через x . Тогда меньшая часть равна 1 -х.

По определению золотого сечения должно выполняться равенство

Мы получили уравнение относительно x которое легко свести к

квадратному x 2 +x -1 = 0.

Положительный корень этого уравнения выражается формулой

Золотой треугольник

Возможны два типа золотых треугольников (рис. а, б)

В первом случае AB/AC =

Во втором случае AC/AB =

Золотые прямоугольники

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении называют золотым прямоугольником . Золотые прямоугольники обладают многими интересными свойствами.

Пентаграмма

Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи.

Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Меся

цы

Пары кроликов

0

0

1

2

1

1

3

4

2

3

5

5

6

8

7

8

13

21

9

10

34

55

11

12

89

144

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… известен как ряд Фибоначчи. Отношения между числами последовательности составляют также золотое сечение.

Золотое сечение

в природе

Яйцо птицы

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Золотые пропорции в фигуре человека

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения   8 :13 = 0,615 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 5 : 8 = 0,625. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 0,641 , а к 21 году равняется мужской.

Спираль Архимеда

Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем.

Закономерности золотого сечения проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

Золотое сечение

в архитектуре

Пирамида Хеопса

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Храм Василия Блаженного

Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью членами золотого сечения:

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари):

Из всего сказанного можно сделать выводы:

во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.