kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

"Вписанная и описанная окружности"

Нажмите, чтобы узнать подробности

 Презентация предназначена для учащихся 8 класса и  может быть использована на занятиях введения понятий описанной и вписанной окружности, а также  при организации обобщающего повторения.

Просмотр содержимого документа
«"Вписанная и описанная окружности"»

Презентация  Вписанная и описанная  окружности Автор: кучкильдина виктория ученица 9 класса.

Презентация

Вписанная и описанная

окружности

Автор: кучкильдина виктория ученица 9 класса.

Вписанные многоугольники Многоугольник называется вписанным  в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. Теорема.  Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. C D C . a b O B A A B c

Вписанные многоугольники

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Теорема. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

C

D

C

.

a

b

O

B

A

A

B

c

Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о . Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD. Требуется доказать, что  Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют  360°.   Отсюда Аналогично доказывается, что и В C . O А D

Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD. Требуется доказать, что

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют  360°.  Отсюда

Аналогично доказывается, что и

В

C

.

O

А

D

Описанные многоугольники Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной  в многоугольник Теорема.  В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Описанные многоугольники

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если AB+CD=BC+AD. И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны: AB+CD=BC+AD, то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

AB+CD=BC+AD.

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

AB+CD=BC+AD,

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Вписанные и описанные треугольники Теорема . Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности . Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов    Теорема.  Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.   Теорема.  Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.  

Вписанные и описанные треугольники

Теорема . Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности .

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов 

 

Теорема. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

 

Теорема. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

 

Задача  №1 Сторона равностороннего треугольника равна 2.Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник .    C Решение Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности найдем по формуле  r=а:2√3   r= 2√3:2√3=1см O r A B Ответ: 1

Задача №1

Сторона равностороннего треугольника равна 2.Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник .

 

C

Решение

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности найдем по формуле r=а:2√3  r= 2√3:2√3=1см

O

r

A

B

Ответ: 1

Задача №2 Сторонаравностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника .   С Решение  cos30˚=   R=2 О R В А Е Ответ: 2

Задача №2

Сторонаравностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника .

 

С

Решение cos30˚=

 

R=2

О

R

В

А

Е

Ответ: 2

Задача №3 Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника. C 5 Решение  Треугольники HOB и KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3 PABC=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+6=22 Ответ: 22 K O 3 r A B Ответ: 22 H

Задача №3

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

C

5

Решение 

Треугольники HOB и KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3

PABC=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+6=22

Ответ: 22

K

O

3

r

A

B

Ответ: 22

H

Задача №4 Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной   Решение   Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали квадрата.  Диагональ квадрата находим по теореме Пифагора:  Диагональ квадрата равна 4, значит радиус описанной окружности равен 2.    Ответ:2

Задача №4

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной

 

Решение

 

Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата находим по теореме Пифагора: Диагональ квадрата равна 4, значит радиус описанной окружности равен 2. 

 

Ответ:2

39 К Задача №5 Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30, радиус описанной окружности равен 39. Найдите высоту трапеции. B D 30 Решение   Опустим высоту через центр окружности, тогда KH - высота, а OB и OC - радиусы описанной окружности. Получаем 2 равнобедренных треугольника в которых есть по 2 прямоугольных треугольника и по теореме Пифагора получаем: KH=KO+OH, = и так же =  После несложных вычислений получаем: КН=36+15=51 . O А C H 72 Ответ: 51

39

К

Задача №5

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30, радиус описанной окружности равен 39. Найдите высоту трапеции.

B

D

30

Решение

 

Опустим высоту через центр окружности, тогда KH - высота, а OB и OC - радиусы описанной окружности. Получаем 2 равнобедренных треугольника в которых есть по 2 прямоугольных треугольника и по теореме Пифагора получаем: KH=KO+OH, = и так же = После несложных вычислений получаем: КН=36+15=51 .

O

А

C

H

72

Ответ: 51


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
"Вписанная и описанная окружности"

Автор: Кучкильдина Виктория

Дата: 22.04.2016

Номер свидетельства: 321624

Похожие файлы

object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(179) "Зависимоть длины сторон правильного многоугольника от радиуса вписанной и описанной окружности "
    ["seo_title"] => string(97) "zavisimot-dliny-storon-pravil-nogho-mnoghoughol-nika-ot-radiusa-vpisannoi-i-opisannoi-okruzhnosti"
    ["file_id"] => string(6) "114425"
    ["category_seo"] => string(13) "vsemUchitelam"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1411486294"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(62) "Вписанные и описанные окружности "
    ["seo_title"] => string(35) "vpisannyie-i-opisannyie-okruzhnosti"
    ["file_id"] => string(6) "107099"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403166931"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(82) "открытый урок по теме "Описанная окружность" "
    ["seo_title"] => string(45) "otkrytyi-urok-po-tiemie-opisannaia-okruzhnost"
    ["file_id"] => string(6) "216637"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1433085213"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(81) "Тест по геометрии на тему "Длина окружности" "
    ["seo_title"] => string(48) "tiest-po-ghieomietrii-na-tiemu-dlina-okruzhnosti"
    ["file_id"] => string(6) "142471"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1418303692"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(154) "Формулы, связывающие стороны, периметр и радиусы вписанной и описанной окружностей "
    ["seo_title"] => string(90) "formuly-sviazyvaiushchiie-storony-pierimietr-i-radiusy-vpisannoi-i-opisannoi-okruzhnostiei"
    ["file_id"] => string(6) "114419"
    ["category_seo"] => string(13) "vsemUchitelam"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1411484768"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства