Внеклассная работа, презентация по математике

Математическое искусство

Математическая деятельность имеет эстетический характер и способна создавать не только те ценности, для которых она предназначена, но и ценности эстетические.

Работу выполнил

Арутюнов Сергей

Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник

Многогранники в искусстве

Все типы правильных многогранников были известны в Древней Греции – именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой

возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству,

которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Тетраэдр -правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).

Гексаэдр - правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр -правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр -правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины

Икосаэдр -состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

Платон предположил, что атомы четырех «основных элементов» (земля, вода, воздух и огонь), из которых строится все сущее, имеют форму правильных многогранников: тетраэдр – огонь , гексаэдр (куб) – земля, октаэдр – воздух, икосаэдр – вода. Пятый многогранник - додекаэдр – символизировал «Великий Разум» или «Гармонию Вселенной».

Частицы трех стихий, которые легко превращаются друг в друг, а именно огонь, воздух и вода, оказались составленными из одинаковых фигур – правильных треугольников. А земля, существенно отличающаяся от них, состоит из частиц другого вида – кубов, а точнее квадратов.

тетраэдр

огонь

икосаэдр

вода

октаэдр

воздух

гексаэдр

земля

додекаэдр

вселенная

Олицетворение многогранников

природа

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется . Кристаллы — эти твёрдые тела имеют естественную форму правильных многогранников.

Молекула МЕТАНА имеет форму правильного тетраэдра.

Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца ) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды.

Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба.

Исландский шпат , который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда.

Кварц

Кристалл поваренной соли

Одноклеточные организмы

Форму одноклеточных организмов – феодарий точно передает икосаэдр .

Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Вирусы

Именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее.

Пятничный многогранник: “огуречный” вирус На картинке – вирус, поражающий ценные растения типа помидоров и огурцов.

ДНК ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы.

Искусство

Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве . Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Гравюра. Звезды.

Все мои произведения — это игры.

Серьезные игры.

М. Эшер

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Мыслитель, художник, математик - Мориц Корнелиус Эшер вошел в историю как человек, создававший невероятные и удивительные картины, бросающие вызов здравому смыслу…

«Мир беспорядочно усеян упорядоченными формами». Здесь видна главная героиня творчества Эшера — «Странность». Поль Валери

Морис Эшер. “Рептилии”(литография, 1943 г).

Додекаэдр подчеркивает, что мы имеем дело с аллегорией. Пифагорейцы отождествляли это платоново тело со всей Вселенной.

Если мы создаем мир, то пусть он будет не абстрактным и туманным. Пусть он будет представлен конкретными узнаваемыми вещами.

М.Эшер

Все же творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями. Платон считал, что абстрактные идеи живут отдельно в "мире чистых сущностей" (таковы идеи пространства и времени). В таком, платоновском понимании мир Эшера и мир математики.

«Водопад» — литография голландского художника Эшера 1961 года. В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного треугольника Пенроуза». Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель.

Дом ступеней

Невозможная лестница была первым невозможным объектом, который использовал Эшер в своём творчестве. В реальности не существует лестницы, по которой можно подниматься, спускаясь, как в его литографии «Восхождение и спуск» .

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования

многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос ". В данном случае звездчатый многогранник

помещен внутрь стеклянной сферы.

На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом.

Итальянский учёный-францисканец Лука Пачоли на рубеже 15-16 вв. писал и публиковал математические труды, которые иллюстрировал, в том числе, Леонардо да Винчи. На портрете Пачоли (он в центре) - многогранники (один стеклянный, наполовину полон водой).

Завяжите простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно распрямите его. Вы получите правильный пятиугольник, а его диагонали как раз и делят друг друга «в среднем и крайнем отношении» — так еще по-другому называют «золотое сечение». Пачоли нашел, что есть тринадцать «эффектов» этой божественной пропорции — «ради нашего спасения», как утверждал он. Он искал эти «божественные эффекты» в самых совершенных созданиях математики — пяти Платоновых телах, строил их из стеклянных плиток, а затем раздавал «для коллекций разных вельмож». В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» речь идет о правильном икосаэдре — платоновом теле, ограниченном двадцатью правильными треугольниками.

Мона Лиза  

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасные модели многогранников. Художников поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах .

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Цветок жизни Леонардо да Винчи

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Альбрехт Дюрер  (1471-1528), немецкий живописец, рисовальщик и гравер, один из величайших мастеров западноевропейского искусства.

Посмотрите на гравюру Альбрехта Дюрера «Меланхолия». На ней изображен многогранник, причем наиболее четко видны грани-пятиугольники. Додекаэдр тоже имеет своими гранями пятиугольники .

Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери

Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе»

Многогранники

в архитектуре

Так как правильные многогранники обладают жесткостью, то каркасы куполов церквей делают в виде правильных многогранников

Александрийский маяк

В 285 году до н.э.на острове Фарос архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни был сложен из каменных плит и поддерживал 40-метровую восьмигранную башню, облицованную белым мрамором. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами башне, вечно горел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.

Висячие сады Семирамиды

Дворец Навуходоносора был построен для его жены Семирамиды на обширной кирпичной площадке, высоко поднимавшейся над окружающей местностью. Пять дворов следовали один за другим с востока на запад, во дворы выходили двери многочисленных комнат. Фасад украшали стройные желтые колонны с голубыми завитками. Окон не было, и свет проникал через три широкие двери.

Издали кажется, что эти сады как бы висят в воздухе.

Галикарнасский мавзолей

Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров, была обложена отесанными и отполированными плитами белого мрамора. Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.

Храм Артемиды Эфесской

Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита.

Египетские пирамиды

Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величественные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей. А между тем они были действительно сложены из отдельных каменных глыб, как в наше время дети складывают пирамиды из кубиков.

Башня Сююмбике

Башня Сююмбике находится в Казани и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники

Мечеть Кул-Шариф

Одна из главных мусульманских мечетей республики Татарстан и Казани. Расположена на территории Казанского кремля. Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.

Спасская башня Кремля

Четырехъярусная Спасская башня с надвратной церковью Спаса Нерукотворного — главный въезд в Казанский кремль — расположена в южном прясле крепостной стены. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым.

Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.