Урок в 8 классе "Квадратные уравнения"

Тема: « Квадратные уравнения»

Составила:

Заева Людмила Анатольевна,

Учитель математики МОУ СОШ № 10

Ст. Новопокровская 2019 год.

Девиз: «Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий»

Цель урока:

• Обобщить и систематизировать полученные знания по теме: «Квадратные уравнения»
• Выявить степень владения навыками решения квадратных уравнений
• Психологическая установка на урок: «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения».

0, D = 0, D 8.Какие формулы для нахождения корней вы знаете? 9.Какие корни будет иметь квадратное уравнение ах2 + вх + с =0, если сумма коэффициентов а, в и с равна нулю; если а – в + с =0 ?" width="640"

Вспомните!!!

1. В каком случае уравнение вида I называется квадратным?

2. Какой вид примет уравнение, если: а) в = 0, с = 0;

б) в = 0, с ≠ 0;

в) в ≠ 0, с = 0?

3. Как называются такие уравнения?

4. Имеют ли корни уравнения .

5. Как называется квадратное уравнение, если а = 1 ?

6. Назовите формулы для вычисления корней приведённого квадратного

уравнения.

7. Назовите словесную формулировку теоремы Виета и теоремы ей обратной.

Сколько корней могут иметь квадратные уравнения вида ах2 + вх + с = 0,

если D 0, D = 0, D

8.Какие формулы для нахождения корней вы знаете?

9.Какие корни будет иметь квадратное уравнение ах2 + вх + с =0, если сумма коэффициентов а, в и с равна нулю; если а – в + с =0 ?

0(2 корня) D=0 (1 корень) DD=k 2 -ac" width="640"

Решение квадратных уравнений по формуле.

ax 2 +bx +с =0

ax 2 +bx +с =0 ( b = 2k)

D=b 2 -4ac

• D 0(2 корня)
• D=0 (1 корень)
• D

D=k 2 -ac

• D0(2 корня)
• D=0(1 корень)
• D

Свойства коэффициентов

квадратного уравнения

ах 2 + вх + с = 0.

1. Если а + в + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с / a ;

2. Если а – в + с = 0, то х 1 = -1, х 2 = - с / а .

Решение нестандартных задач

• Найти рациональным способом корни уравнения:

2000х2 – 2006х + 6 = 0.

сумма коэффициентов равна нулю.

а + в + с = 0,

2000 – 2006 + 6 = 0.

Следовательно, х1 = 1 – корень уравнения.

Второй корень легко отыскать, если перейти к приведённому

уравнению: х2 – 2006/2000 x + 6/2000 = 0, x 2 – 1003/1000 x + 3/1000 =0 и

применить теорему, обратную теореме Виета, значит

х2 = 3/1000 = 0,003

ТЕОРЕМА ВИЕТА

• Дано :х1 и х2 – корни уравнения
• х2 + рх + g = 0
• Доказать: х1 + х2 = - р, х1 • х2 = g .
• Обратная
• Дано: Для чисел х1, х2, р, g имеет место: х1 + х2 = -р, х1 • х2 = g . Доказать: х1 и х2 – корни уравнения х2+рх+ g =0

Объясните решение уравнений вида:

а ) х2 – 3х – 4 = 0 б) 3х2 -2х – 1 = 0 в) х2 + 8х + 16 = 0

Решение. 1 + 3 – 4 = 0 3 – 2 – 1 = 0 (х + 4)2 = 0

х1 = -1, х2 = - с/а = 4 х1 = 1, х2 = с/а = - 1/3 х +4 = 0

х = -4.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне.

Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования

в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме.

Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок.

Ты скажи мне, в этой стае?

« Найди ошибки»

Задания на данном этапе составлены

по основным вопросам вашей домашней работы

. Внимательно посмотрите на записи на доске и найдите ошибки

в решении предложенных вам заданий.

1) Коэффициенты а, в и с уравнений:

5х2 – х + 9 = 0 15х2 – 3 + х = 0 , 2х2 - 11 = 0 , 9х – х2 = 0

а = 5, в = 1, с= 9. а = 15, в= -3, с = 1. а = 2, в=11, с=0. а=9, в=-1, с=0.

2) Сумма и произведение корней уравнения:

х2 – 14х + 33 = 0 , 35 + 12у + у2 = 0 .

х1 + х2 = - 14, у1 + у2 = -12,

х1 х2 = 33. у1 у2 = 1.

3) Корни уравнения:

(х – 3)(х +12) = 0 , (х+8)(2х-5)(х2+25) = 0. 9х2 + 3х + 1 = 0

х1 = 3, х2 = 12. х1= -8, х2= 2,5, х3 = -5, х4 = 5. D = 9 - 4•9

2 корня

х2 – 5х + 6 = 0 , х2 – 2х – 15 = 0 , у2 – 8у – 9 = 0 , х2 + х – 12 = 0

х1 = 2, х2 = 3 х1 = -5, х2 = 3 у1 = 1, у2 = 9 х1 = -4, х2 = 3.

Самостоятельная работа

• 1.вариант

• 2 вариант

X1 X2 p q

2 3

3 -1

-5 1

x 2 + рх + q =0

х2 – 7х +12=0

х2 +8х + 7 = 0

х2+ 2х –15 =0

q -p x1 x2 (x-x1)(x-x2)

х2 + рх + q = 0

Ответы:

р g х2+ рх + q = 0 -5 6 х2 – 5х + 6 = 0 -2 -3 х2 - 2х – 3 = 0 4 -5 х2 + 4х – 5 = 0

q -р х1 х2 (х-х1)(х-х2) 12 7 3 4 (х - 3)(х - 4) 7 -8 -7 -1 (х +7)(х + 1) -15 -2 -5 3 (х + 5)(х – 3)

Релаксационная пауза.

• Раз, два, три, четыре, пять! Все умеем мы считать,
• отдыхать умеем тоже, руки за спину положим,
• голову поднимем выше и легко-легко подышим.
• Раз – подняться, подтянуться, два – согнуться, разогнуться,
• три – мигнули три разка, головою три кивка.
• На четыре - руки шире, пять - руками помахать,
• шесть – за парту снова сесть.

Разноуровневая самостоятельная работа

I уровень сложности:

1. Найти Д и определить количество корней уравнения.

5х2 – 4х – 1 = 0. 2х2 + 2х + 3 = 0.

2. Найти корни квадратного уравнения: а) 6х2 – 24х = 0, а) 3х2 – 15х = 0,

б) х2 + х – 6 = 0, б) х2 – х – 2 = 0, в) 2х2 – х – 3 = 0. в) 2х2 + х – 3 = 0.

II уровень сложности:

3. Решить уравнения:

а) х2 – 7х ـ 1 = 0 , а) х2 – 5х ـ 3 = 0 ,

8 2

б) (х – 3)2 – 64 = 0, б) (х + 1)2 – 16 = 0,

в) х2 – 11 ‗ х – х2 , в) х2 + 2х ‗ х2 + 24 ,

7 2 2 7

III уровень сложности:

4. Решить уравнения:

а) х4 – 5х2 – 36 = 0, а) х4 – 3х2 – 4 = 0,

б) (х – 1)2 -5(х – 1) + 4 = 0. б) (х + 5)2 + 8(х + 5) – 9 = 0

5. Один из корней уравнения

х2 + рх + 45 = 0 х2 + рх + 72 = 0

равен 5 равен -9

Найдите другой корень уравнения и коэффициент р

Дополнительное задание:

Сократить дробь:

6х2 – х – 1 5х2 + 3х -2 . 9х2 – 1 25х2 - 4

Домашнее задание:

Обязательный минимум: №28.5(в,г).№29.8(в,г) № 29.15 (в,г)

* Творческое задание:

а) Решить уравнение 2006х2 +1137х – 869 = 0 рациональным способом,

используя свойство коэффициентов квадратного уравнения;

б) Определить при каком положительном значении р сумма квадратов

корней уравнения х2 – р х – 16 = 0 равна 68;

в) «Письмо из прошлого»

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам… стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок, вы скажите, в этой стае?»

Благодарю за работу! Спасибо за урок!