"Теория вероятностей"

Министерство Образования и Науки РК

КГУ «Общеобразовательная школа №20»

Подготовили:

Учитель математики

Харченко Наталья Анатольевна,

Учитель математики

Корчагина Тамара Геннадьевна

Алматы 2015 г.

Предмет теории вероятностей

• В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»
• В дальнейшем мы не будем касаться природы понятия случайности, но при каждом конкретном применении теории вероятностей и статистики нужно сначала внимательно проанализировать суть происходящих явлений.
• Попробуем ознакомиться с основными закономерностями случайных процессов:

• Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания.
• Пусть мы провели испытание N раз, R раз выпала решка, O = N – Р  раз выпал орел.
• Предположим, что при большом числе испытаний N отношение стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления события.

• Если существует идеализированный процесс, который можно представить в виде испытаний, и частота случайного события приближается к пределу, то этот предел называется вероятностью данного случайного события .
• Часто вероятность, которая в нашем определении заключена в интервале 0 ≤ p ≤ 1, выражают в процентах, умножая число p на 100 %.
• Иногда вероятность события можно предсказать из соображений симметрии. Например, при бросании «идеального» игрального кубика выпадение любой грани равновозможно (равновероятно). Всего граней 6, значит, вероятность выпадения i-й грани p (A i ) = p (A 1 ) = p (A 2 ) = p (A 3 ) = p (A 4 ) = p (A 5 ) = p (A 6 ) = 1/6.
• Если мы имеем дело с измеримыми случайными величинами, например, измеряем в течение нескольких лет количество снега, выпавшего за день, то понятие вероятности тоже можно ввести. Для этого запишем результаты измерения с точностью, например, в сантиметр и подсчитаем относительную частоту появления того или иного значения. Например, вероятность того, что выпадет 3 см снега, – где N (3) – количество дней, в каждый из которых выпало 3 см, N – общее количество дней, в которые проводились измерения.

Для того чтобы найти вероятность события A, происходящего в серии испытаний, нужно:

• найти число N всех возможных исходов (элементарных событий);
• принять предположение о равновероятности этих исходов;
• найти количество N (A) тех исходов, в которых наступает событие A;
• найти частное оно и будет равно вероятности p (A) наступления события A.

В этой очевидной инструкции есть очень важный пункт о равновероятности исходов. Проиллюстрируем его на примерах.

Примеры

• Пример 1 С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? Решение.
• Пример 2 Юноша ездит в гости к двум девушкам на двух разных электричках. Выбор места, куда он поедет сегодня, осуществляется очень просто – он приходит на вокзал и садится на ту электричку, которая придёт первой. Обе электрички ходят с равными интервалами – один раз в час, но в гостях у первой девушки юноша оказывается в пяти случаях из шести, а у второй – в одном случае. Почему? Решение.

Элементы теории вероятностей

• Элементарное событие – выполнение какого-либо исхода эксперимента.
• Пространство элементарных событий (ПЭС) – если любой элементарный исход данного эксперимента является элементом множества U , то это множество и называется ПЭС.
• Случайное событие – каждое подмножество пространства элементарных событий.
• Достоверное событие – то событие, которое при любом исходе испытания наступит.
• Невозможное событие – событие, которое не наступит.
• Несовместные события – два случайных события.
• Совместные события – два события, которые могут произойти при некотором исходе испытания.

Действия над событиями

Решение

• Можно рассуждать так: есть только три возможных исхода (герб – герб, герб – решка, решка – решка), поэтому вероятность равна 2/3. Это неверно, так как исход герб–решка встречается в два раза чаще (действительно, первая монета может выпасть гербом, а вторая – решкой, и наоборот). Равновероятных исходов в данном случае четыре: герб – герб, герб – решка, решка – решка, решка – герб. Событию «хотя бы один раз выпал герб» удовлетворяют три исхода из четырех: герб–герб, герб–решка, решка–герб. Соответственно, искомая вероятность равна 3/4.

назад

Решение

• В этой задаче вероятности прихода электричек на платформу одинаковы, но шансы юноши сесть на первую или вторую электричку различны. Первая электричка может приходить на платформу в 17:00, 18:00, 19:00 и так далее, а вторая электричка – в 17:10, 18:10, 19:10. Разобьём часовой интервал на 6 десятиминутных отрезков. Если юноша приходит на платформу в первый отрезок – между 17:00 и 17:10 (18:00 и 18:10, 19:00 и 19:10), то он попадает на вторую электричку. Если же юноша придёт на платформу в любой из оставшихся пяти временных отрезков (между 17:10 и 18:00, 18:10 и 19:00, 19:10 и 20:00), то он попадёт на первую электричку.
• Шансы прийти на платформу в каждый из десятиминутных промежутков у юноши одинаковы и равны 1/6. Значит, с вероятностью 1/6 юноша уезжает на второй электричке, на первую же он попадает с вероятностью 5/6. Было бы совсем неверно считать эти события равновероятными.

назад

Частота. Вероятность.

• Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз. Отношение называется относительной события А и обозначается P*(A) = m/n , где m – благоприятный исход, n – всевозможные исходы. Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота P *( A ) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере :

Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна 2048/4040 = 0,5069 . При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)= 6019/12000 = 0,5016 . Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)= 0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т.е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большим числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события А будем обозначать через Р(А) . В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

Вероятность события

• Правило суммы (если А и В несовместные события):

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

• Правило умножения:

Р(А*В) =Р(А) * Р(В)

• Обобщенное правило суммы ( для любых А и В):

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В)

Комбинаторика

• Комбинаторика – это раздел математики, изучающий расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми эти расположения могут быть сделаны.
• Впервые теоретические исследования проблем комбинаторики было проведено в XVII в. Паскалем, Ферма, Лейбницем и в XVIII в. Я.Бернулли, Эйлером. Тогда же сложилась и принятая в комбинаторике терминология (сочетания, размещения, перестановки и т.п.). К началу ХХ в. комбинаторика считалась завершенным разделом, лежащим вне основного русла развития математики и ее приложений. В ХХ в. комбинаторику стали рассматривать как раздел теории множеств, изучающих различные проблемы, возникающие при изучении конечных множеств. Такая точка зрения привела к более естественной и последовательной квалификации основных понятий и задач комбинаторики. В последнее время роль комбинаторики возросла в связи с развитием теории вычислительных машин, а также теории информации, изучающей методы оптимального кодирования, декодирования и передачи информации. Ныне комбинаторика является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики.
• Методы комбинаторики играют важную роль при вычислении вероятностей различных событий, связанных с экспериментами, имеющих конечное число исходов.

Основное правило комбинаторики. Сочетание из n по k .

• Рассмотрим задачу: Из города А в город В ведет m различных путей, а из города В в город С ведет n путей. Каким числом различных путей можно совершить путешествие из города А в город С через город В? Решение: Выбрав один из т возможных путей из А в В , дальше можно продолжить путешествие п способами. Поэтому общее число путей равно m*n .

Соображения, приведенные при рассмотрении примера, доказывают справедливость следующего простого, но очень важного правила, которое называют основным принципом комбинаторики.

Если некоторый выбор А можно осуществить т различными способами, а для каждого из этих способов некоторый другой выбор В можно осуществить п способами, то выбор А и В (в указанном порядке) можно осуществить m*n способами.

Сформулируем основное правило комбинаторики (правило умножения) в общем виде:

• Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе n 2 - способами, третье n 3 – способами и так до k -го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий могут быть выполнены n 1 n 2 n 3 … n k

Упорядоченные множества, перестановки. Размещение.

• Множество называется упорядоченным , если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n , где n – число элементов множества, так, что различным элементам соответствуют различные числа.
• Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. (Р)
• Упорядоченные m- элементные подмножества множества из n элементов называются размещениями из n элементов по m , обозначается А.
• Теорема. Число упорядоченных m- элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов равно:
• Теорема. Пусть Р n – число перестановок множества, содержащего n элементов. Имеет место равенство:

Р n = 1*2*3 … * n = n! где ! – факториал.

• Сочетание (С) – это размещение без перестановок, равно:

Использованная литература

• Электронный учебник «Открытая математика».
• Электронный учебник «Алгебра 10 класс».
• Учебник «Алгебра 9 класс».
• Ресурсы Интернет.