Теорема Пифагора. Различные способы ее доказательства

Теорема Пифагора. История возникновения и различные способы доказательства.

Биография Пифагора.

• Пифагор Самосский  ( др.-греч.   Πυθαγόρας ὁ Σάμιος ;  570 — 490   гг. до н. э.) — древнегреческий  философ , математик  и  мистик , создатель  религиозно-философской  школы  пифагорейцев .

Биография Пифагора.

• Родители – Мнесарх и Партенида с Самоса
• В 18-летнем возрасте отправился в путешествие в Египет, Вавилон
• Вернулся на родину в 56 лет
• В греческой колонии Кротоне в Южной Италии основал свою школу
• Был женат на своей ученице Феано, имел сына и дочь.

Пифогорейская школа.

Условия приёма в школу Пифагора:

• отказаться от личной собственности в пользу союза
• не проливать крови
• не употреблять мясной пищи
• беречь тайну учения своего учителя
• не обучать других за вознаграждение

Легенды и мифы

• Умел разговаривать с птицами и животными
• Повелевал духами и делал предсказания
• Способен раздваиваться
• Исцелял людей
• Перевоплощённый бог Аполлон
• Имел золотое бедро

Изречения Пифагора

• Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем.
• Дружба есть равенство.
• Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные торговать, а самые счастливые — смотреть.
• Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

4

Музыка и Пифагор

• Пифагор и его последователи рассчитали т.н. пифагоров строй - математическое выражение интервалов между звуками гаммы (т.н. «лидийской» гаммы).

История возникновения теоремы Пифагора.

• Теорема Пифагора  — одна из основополагающих теорем  евклидовой геометрии , устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника .

История возникновения теоремы Пифагора.

• В древнекитайской книге  Чжоу би суань цзин  говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары .

История возникновения теоремы Пифагора.

• Мориц Кантор  (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около  2300 г. до н. э. , во времена царя  Аменемхета I  (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

История возникновения теоремы Пифагора.

• Несколько больше известно о теореме Пифагора у  вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени  Хаммурапи , то есть к  2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника [2] . Отсюда можно сделать вывод, что в  Двуречье  умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.
• Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден  (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что  теорема  о квадрате гипотенузы была известна в Вавилоне уже около  XVIII века до н. э.

История возникновения теоремы Пифагора.

• Согласно комментарию  Прокла  к  Евклиду ,  Пифагор  использовал алгебраические методы, чтобы находитьпифагоровы тройки. Однако Прокл писал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.
• Однако, когда авторы, такие как Плутарх иЦицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».

История возникновения теоремы Пифагора.

• По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так:

• « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

• « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

или

Формулировка теоремы

• « У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".»

•   Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ) в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

Формулировка теоремы

• В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

• В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Формулировка теоремы

• « У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".»

•   Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ) в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

Современная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».    

Доказательства теоремы

Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

• Самое простое доказательство

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c .

c

a

c

a

a

c

c

a

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c .

• Доказательство Евклида

Дано:

ABC -прямоугольный треугольник

Доказать:

S ABDE =S ACFG +S BCHI

Доказательство:

Пусть ABDE -квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC , а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q ; соединим точки C и E , B и G .

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°) ; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA ; они имеют общее основание AE и высоту AP , опущенную на это основание, следовательно

S PQEA = 2S ACE

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

• Алгебраическое доказательство

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2

  Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С . 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB , отсюда следует

AB*AD=AC 2 .

3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB , значит

AB*BD=BC 2 .

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC 2 +BC 2 = АВ *(AD + DB)

AB 2 =AC 2 +BC 2 . Что и требовалось доказать.

• Геометрическое доказательство

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC . Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD , равный отрезку AC , соединим точки B и E . 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

S ABED = (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2

AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC

BC 2 =AB 2 +AC 2 .

    Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

V . Доказательство теоремы через подобные треугольники.

• Пусть  ABC  есть прямоугольный треугольник с прямым углом  C . Проведём высоту из  C  и обозначим её основание через  H . Треугольник  ACH  подобен треугольнику  ABC  по двум углам. Аналогично, треугольник CBH  подобен  ABC .  

V . Доказательство теоремы через подобные треугольники.

  Введя обозначения

получаем

что эквивалентно

V . Доказательство теоремы через подобные треугольники.

  сложив получаем

или

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии .

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!