Теория вероятности. Случайные события.

Решение задач по теории вероятностей

Характеристики разброса.

Статистическое оценивание и прогноз. Вероятность и комбинаторика. (2 урока)

Учитель Такмакова Н.Н.

Характеристики разброса

Ряд: 1, 3, 4, 6, 7, 10, 11

6

Среднее арифметическое ряда:

Отклонения для данных ряда от среднего арифметического:

5, 3, 2, 0, -1, -4, -5

Дисперсия

D==11

Стандартное (среднее квадратичное) отклонение σ (сигма)

σ

1

Мода ряда чисел – число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26

2) 1, 1, 2, 2, 3

26

1 и 2

Медиана ряда – число , стоящее посередине упорядоченного ряда по возрастанию (в случае, количество чисел чётное, то равна среднему арифметическому двух чисел, записанных посередине)

2

ОГЭ

№ 9 (1)

Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Среднее арифметическое:

Медиана:

144

134

Ответ: 10.

№ 9 (2)

Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 164, 117, 153, 124, 102. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Среднее арифметическое: 132

Медиана: 124

Ответ: 8

3

ОГЭ

№ 9 (3)

Относитель-ная частота

0,67

0,29

0,83

0,91

№ 9 (4)

37 35

4

Статистическое оценивание и прогноз

№ 761

=0,01

P(A)=

2500·0,01= 25 лампочек

Ответ: 25

№ 764

1-0,6=0,4 частота попадания в «молоко»

100:0,4=250 выстрелов

Ответ: 250

4.1

Статистическое оценивание и прогноз

№ 766

Б) Вероятность со второй попытки

{не дозвониться с первой И дозвониться со второй}

P(A)=

Ответ: вероятности равны

4.2

Вероятность и комбинаторика

ОГЭ

Задача 1 . Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя.

Решение:

Случайный эксперимент – бросание жребия .

Элементарное событие – участник, который выиграл жребий .

Число элементарных событий: N=4

Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1

Ответ: 0,25

5

Вероятностью события называют отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Р(А)=

6

ОГЭ

У

Реши самостоятельно!

Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек.

Алексей

Иван

Татьяна

Ольга

Ответ: 0,5

7

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Ответ: 0,3

8

ОГЭ

Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4 .

Решение:

Случайный эксперимент – бросание кубика .

Элементарное событие – число на выпавшей грани .

Всего граней:

Элементарные события:

1, 2, 3, 4, 5, 6

N=6

N(A)=2

Ответ:1/3

9

ОГЭ

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 0,5

10

ОГЭ

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 0,5

11

ОГЭ

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 1/3

12

ОГЭ

Саша выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

100, 101, 102, 103, 104, 105, …, 996, 997, 998, 999

=225

N=900

13

Задачи 1-8 для СР

ОГЭ

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение:

Возможные исходы события:

1 бросок

2 бросок

N=4

О

О

Р

О

N(A)=2

решка - Р

орел - О

4 исхода

Р

О

Р

Р

Ответ:0,5

14

ОГЭ

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй -РЕШКА)

1

О

2

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,25

15

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ.

1

О

2

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,75

16

ОГЭ

Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что решка выпала ровно два раза.

N=8

Множество элементарных исходов:

Решение:

1 бросок

2 бросок

о

3 бросок

о

о

о

о

о

р

р

о

р

р

о

р

р

о

о

р

о

р

р

р

р

о

р

N(А)=3

A= {решка выпала ровно 2 }

8 исходов

Ответ: 0,375

17

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы?

1

2

О

О

3

О

О

О

О

Р

О

Р

Р

Р

О

Р

О

Р

О

Р

О

Р

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,5

18

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны.

1

2

О

О

3

О

О

О

О

Р

О

Р

Р

Р

О

Р

О

Р

О

Р

О

Р

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,5

19

ОГЭ

1

О

2

О

О

3

О

4

О

О

О

О

О

О

О

Р

О

Р

О

Р

Р

О

О

Р

О

Р

Р

О

О

О

Р

Р

Р

Р

Р

О

О

Р

Р

О

Р

О

Р

О

О

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

Р

Р

Р

Р

О

Р

Р

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

Реши самостоятельно!

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Ответ: 0,25

20

ОГЭ

Задача 4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение:

N=36

Множество элементарных исходов:

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

A= {сумма равна 8}

N(А)=5

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Ответ:5/36

21

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6.

Числа на выпавших сторонах

6

1

5

2

4

3

3

4

2

5

1

6

Всего вариантов 36

Комбинаций с первой «6»

61,62,63,64,65,66

Ответ: 1/6

22

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков.

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

Ответ: 1/6

23

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5}

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

Ответ: 4

24

ОГЭ

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна?

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

Ответ: 7

25

Задачи 9-11 для СР

ОГЭ

У

Задача 6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение:

Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25

N=25

A= {последний из Швеции}

N(А)=9

Ответ: 0,36

26

ОГЭ

У

Задача 7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение:

N= 1000

A= {аккумулятор исправен}

N(A)= 1000 – 6 = 994

Ответ: 0,994

27

ОГЭ

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США , остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение:

Проверка:

Реши самостоятельно

A= {первой будет спортсменка из Китая}

• Определите N
• Определите N(A)

N = 20

N(A)= 20 – 8 – 7 = 5

Ответ: 0,25

28

ОГЭ

2 способ : использование формулы сложения вероятностей несовместных событий

R={первая из России}

A={первая из США}

C={Первая из Китая}

P(R) + P(A) + P(C) = 1

P(C) = 1 - P(R) - P(A)

29

ОГЭ

У

Задача 9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе.

Решение:

Множество элементарных событий: N=16

A={команда России во второй группе}

С номером «2» четыре карточки: N(A)=4

Ответ: 0,25

30

ОГЭ

У

Реши самостоятельно!

В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин?

Ответ: 0,125

31

ОГЭ

У

Реши самостоятельно!

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России.

Ответ: 0,35

32

ОГЭ

У

Реши самостоятельно!

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

5000 – 2512 = 2488

Ответ: 0,498

33

ОГЭ

У

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом и 21 с повидлом. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с повидлом.

Решение:

N= 4+5+21=30

A= {пирожок с повидлом}

N(A)= 21

34

Задачи 12-18 для СР

ОГЭ

Задача 10. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Решение:

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

={ручка пишет плохо}

Ответ: 0,9

35

ОГЭ

Задача 11. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}

B={вопрос на тему «Параллелограмм»}

События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно

С={вопрос по одной из этих тем}

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,2 + 0,15=0,35

Ответ: 0,35

36

ОГЭ

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

А={кофе закончится в первом автомате}

B={кофе закончится во втором автомате}

Р(А)=Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей:

Ответ: 0,52

37

ОГЭ

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение:

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

={ручка пишет плохо}

38

Задачи 19-21 для СР

ОГЭ

Задача 13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания 0,8

Вероятность промаха

1 - 0,8 = 0,2

А={ попал, попал, попал , промахнулся, промахнулся }

По формуле умножения вероятностей

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

Ответ: 0,02

39

ОГЭ

Задача 14 . В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

А={ хотя бы один автомат исправен }

По формуле умножения вероятностей:

Ответ: 0,9975

40

Задачи 22-24 для СР

ОГЭ

Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,486. В 2011 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 522 девочки. Насколько частота рождения девочки в 2011 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,52 . В 2013 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 486 девочек. Насколько частота рождения девочки в 2013 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

41

ОГЭ

Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется девочкой, равна 0,488 . В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 532 мальчика. На сколько частота рождения мальчика в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?

42