Данная работа используется мной и как "шпаргалка" при обобщении материала по теме "Строгие и нестрогие неравенства" ( с определениями последних) и "Свойства числовых неравенств" (с примерами к каждому свойству и проверочными заданиями); и как проверочный тест по этим же темам в он-лайн режиме с последующей самостоятельной работой на применение основных свойств числовых неравенств.
Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Строгие и нестрогие неравенства, свойства числовых неравенств
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.
Просмотр содержимого документа
«Строгие и нестрогие неравенства, свойства числовых неравенств »
Свойства
числовых
неравенств
(8 класс)
А. Нивен
в ( а в ) Такие неравенства называются строгими." width="640"
Определение
Действительное число а больше ( меньше ) действительного числа в , если их разность (а-в)- положительное ( отрицательное ) число.
Пишут: а в ( а в )
Такие неравенства называются строгими.
Строгие неравенства
- а 0 означает, что а – положительное число
- а 0 означает, что а – отрицательное число
- а в означает, что (а-в)- положительное число, т.е. (а-в) 0
- а в означает, что (а-в)- отрицательное число, т.е. (а-в) 0
Нестрогие неравенства
- а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю , т.е. а – неотрицательное число , или что а не меньше нуля
- а ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю , т.е. а – неположительное число , или что а не больше нуля
Нестрогие неравенства
- а ≥ в означает, что а больше в или равно в , т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0
- а ≤ в означает, что а меньше в или равно в , т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0
в, в с, то а с 2) если а в, то а+с в+с 3) если а в и m0 , то а m в m 4) если а в и m , то а m в m 5) если а в, то -а -в Например: если 5 3, 3 -4, то 5 -4 если 5 3, то 5+2 3+2 если 5 3 и 10 0 , то 5 · 10 3 · 10, т.е. 50 30 если 5 3 и -2 , то 5 · (-2) 3 · (-1), т.е. -10 -3 5) если 5 3, то -5 -3" width="640"
Свойства числовых неравенств
Свойства:
1) если а в, в с, то а с
2) если а в, то а+с в+с
3) если а в и m0 , то а m в m
4) если а в и m , то а m в m
5) если а в, то -а -в
Например:
- если 5 3, 3 -4, то 5 -4
- если 5 3, то 5+2 3+2
- если 5 3 и 10 0 , то 5 · 10 3 · 10, т.е. 50 30
- если 5 3 и -2 , то
5 · (-2) 3 · (-1), т.е. -10 -3
5) если 5 3, то -5 -3
в, с d , то а + с в + d 7) если а в 0 и с d 0, то ас в d 8) если а в≥0, n є N , то аⁿ вⁿ 9) если а в 0, то 1/а 1/в 6) если 5 3, 4 2, то 5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5 7) если 5 3 0 и 4 2 0, то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6 8) если 5 3≥0, 2є N , то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9 9) если 5 3 0, то 1/5 1/3" width="640"
Свойства числовых неравенств
6) если а в, с d , то
а + с в + d
7) если а в 0 и с d 0,
то ас в d
8) если а в≥0, n є N ,
то аⁿ вⁿ
9) если а в 0, то
1/а 1/в
6) если 5 3, 4 2, то
5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5
7) если 5 3 0 и 4 2 0,
то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6
8) если 5 3≥0, 2є N ,
то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9
9) если 5 3 0, то 1/5 1/3
-3 · в -3 · 3,8 -11,1 -3в - 11,4 - 11,4 -3в -11,1" width="640"
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в) а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: а) 2а ?
2,1 а 2,2
2 · 2,1 2 а 2
4,2 2а 4,4
Решение: б) -3в ?
3,7 в 3,8
-3 · 3,7 -3 · в -3 · 3,8
-11,1 -3в - 11,4
- 11,4 -3в -11,1
-1 · в -1 · 3,8 -3,7 - в - 3,8 - 3,8 - в -3,7 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 а 2,2 - 3,8 - в -3,7 - 1,7 а - в - 1,5 Решение: в) а+в ? Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 3,7 5,8 а+в 6,0" width="640"
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: г) а-в ?
3,7 в 3,8. -1 · 3,7 -1 · в -1 · 3,8
-3,7 - в - 3,8
- 3,8 - в -3,7
Сложим почленно неравенства одинакового смысла
2,1 а 2,2
- 3,8 - в -3,7
- 1,7 а - в - 1,5
Решение: в) а+в ?
Сложим почленно
неравенства одинакового
смысла
2,1
3,7
5,8 а+в 6,0
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: д) а ²
Обе части двойного
неравенства 2,1 а 2,2
положительны, значит
(2,1) ² ( а ) ² (2,2) ²
4,41 а ² 4,84
Решение: е) в ³
Возведем все части неравенства
3,7 в 3,8 в куб
(3,7) ³ (в) ³ (3,8) ³
50,653 (в) ³ 54,872
0; в о и а в, то 1/а 1/в Значит, если 2,1 а 2,2, то 1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2 10/21 1 : а 5/11 Т.к. 110/231 1 : а 105/231 105/231 1/а 110/231 5/11 1/а 10/21" width="640"
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: ж) 1/а
По свойствам неравенств
если а 0; в о и а в, то 1/а 1/в
Значит, если 2,1 а 2,2, то
1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2
10/21 1 : а 5/11
Т.к. 110/231 1 : а 105/231
105/231 1/а 110/231
5/11 1/а 10/21
Полезное для учителя
Распродажа видеоуроков!
1920 руб.
2400 руб.
1810 руб.
2260 руб.
2110 руб.
2640 руб.
1700 руб.
2130 руб.
Курсы ПК и ППК для учителей!
750 руб.
3000 руб.
750 руб.
3000 руб.
1000 руб.
4000 руб.
630 руб.
2500 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
Удобный поиск материалов для учителей
Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства