"Стереометрия"

Министерство образования и науки РК

КГУ «Общеобразовательная школа №20»

Стереометрия

Подготовила:

Учитель математики

Харченко Наталья Анатольевна

Алматы 2014 г.

Содержание

• Стереометрия
• Аксиомы стереометрии

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

• Тела вращения

Цилиндр

Конус

Усеченный конус

Сфера и шар

• Многогранники

Тетраэдр

Куб или гексаэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Призма

Пирамида

• Литература

Стереометрия

Курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

• Слово “стереометрия” происходит от греческих слов “ стереос ”-объемный, пространственный и “ метрео ” - измерять.        Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы рассматриваем так называемые геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками .
• Одним из простейших многогранников является куб .
• Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч.
• Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.        

• В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью - границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов - оснований цилиндра и боковой поверхности.       
•   Изучая свойства геометрических фигур - воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.         При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств.     

Аксиомы стереометрии

•           В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
•     Как и в планиметрии, точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, b , с и т. д. или двумя большими латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.         
• Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства,

но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

На рисунке точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

через эти точки), а точки М, N, Р не лежат в этой плоскости.

Коротко это записывают так: А β, В β , М β ; Х β ; Р β ;.         Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии.       

   А 1.          Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

   Иллюстрацией к этой аксиоме может служить модель, изображенная на рисунке.

Плоскость, проходящую через точки А, В и С , не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью АВС.         Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три “точки”, а конец четвертой ножки (четвертая “точка”) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

• Иллюстрация к аксиоме А1: пластинка поддерживается точками A, B и C не лежащими на одной прямой
• Иллюстрация к аксиоме А1: пластинка поддерживается точками A, B и C не лежащими на одной прямой

    А 2.          Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

               В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую .  (рис. А)      

• Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки “ровности” чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.         Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются (рис. Б).  

Рис. А Рис. Б

• Рис. А Рис. Б

А 3.          Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

• В таком случае говорят, что плоскости, пересекаются по прямой (рис. В). Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.     

Рис. В

• Рис. В

•   В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того, признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Тела вращения

Цилиндр

   Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в плоскости α. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями α и β, образуют цилиндрическую поверхность . Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности (на рисунке изображены образующие AA 1, ММ 1 и др.).

•          По построению концы образующих, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L . Концы же образующих, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L 1 с центром О 1 радиуса r , где О 1 — точка пересечения плоскости β с прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости α.        Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1, называется цилиндром . Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра , а круги — основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО 1 — осью цилиндра.  Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями α и β . Длина образующей называется высотой цилиндра , а радиус основания — радиусом цилиндра .    
•   

•         Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ . При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD , а основания — вращением сторон ВС и AD .        Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник , две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым .        Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом . В самом деле, такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.        

• Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту
• Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

Где R – радиус цилиндра, h – его высота.

Конус

•       Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОP , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р . Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки — образующими конической поверхности.       Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг — основанием конуса . Точка Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности — образующими конуса (на рисунке изображены образующие РА, РВ и др.). Все образующие конуса равны друг другу (объясните почему). Прямая ОР , проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса .     

•   Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ . При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС , а основание — вращением катета ВС .    
•    Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым .     
•   Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О 1 , расположенным на оси конуса. Радиус r 1 этого круга равен   r , где r — радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО 1 М 1.

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки.
• Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
• Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Где R – радиус основания конуса, h – его высота, l – длина образующей.

Усеченный конус

•           Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением трапеции ABCD вокруг стороны CD . При этом боковая поверхность образуется вращением усеченного конуса — вращением оснований CB и DA трапеции.       

• Объем усеченного конуса равен
• Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле

Где R , r – радиусы оснований,

l – длина образующей,

h – его высота

Сфера и шар

•         Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R .        Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2 R . Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.        Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О ), и не содержит других точек.

•       Объем шара радиуса R равен
• Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
• Где R – радиус сферы

Многогранники

• Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями . Стороны граней называются ребрами многогранника , а концы ребер — вершинами многогранника . По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Тетраэдр

• Тетраэдр – треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Свойства :

• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 º
• Количество сторон у грани равно 3
• Количество ребер, примыкающих к вершине равно 3
• Общее число вершин равно 4
• Общее число ребер равно 6
• Общее число граней равно 4

• Объем тетраэдра равен:
• Площадь полной поверхности тетраэдра вычисляется по формуле:

Где а – сторона тетраэдра

Куб или гексаэдр

• Куб или правильный гексаэдр – правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. Куб имеет центр симметрии – центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Свойства:

• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 º
• Количество сторон у грани равно 4
• Количество ребер, примыкающих к вершине равно 3
• Общее число вершин равно 8
• Общее число ребер равно 12
• Общее число граней равно 6

• Объем куба равен
• Площадь поверхности куба вычисляется по формуле

Где а – сторона куба

Октаэдр

• Октаэдр – восьмигранник; это тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками. Октаэдр имеет центр симметрии – центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Свойства:

• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 º
• Количество сторон у грани равно 3
• Количество ребер, примыкающих к вершине равно 4
• Общее число вершин равно 6
• Общее число ребер равно12
• Общее число граней равно 8

• Объем октаэдра вычисляется по формуле
• Площадь поверхности октаэдра равна

Где а – сторона октаэдра

Додекаэдр

• Додекаэдр – двенадцатигранник; тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками – правильными пятиугольниками. Додекаэдр имеет центр симметрии – центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Свойства:

• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 º
• Количество сторон у грани равно 5
• Количество ребер, примыкающих к вершине равно 3
• Общее число вершин равно 20
• Общее число ребер равно 30
• Общее число граней равно12

• Площадь поверхности додекаэдра вычисляется по формуле
• Объем додекаэдра равен

Где а – сторона додекаэдра

Икосаэдр

• Икосаэдр – двадцатигранник; тело, ограниченное двадцатью многоугольниками, правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками. Икосаэдр имеет центр симметрии – центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Свойства:

• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 º
• Количество сторон у грани равно 3
• Количество ребер, примыкающих к вершине равно 5
• Общее число вершин равно 20
• Общее число ребер равно 30
• Общее число граней равно20

• Объем икосаэдра равен
• Площадь поверхности икосаэдра вычисляется по формуле

Где а – сторона икосаэдра

• Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами , поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Платон считал, что мир состоит из четырех «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырех правильных многогранников.

• Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
• Икосаэдр , как самый обтекаемый, воду.
• Куб , самая устойчивая из фигур, землю.
• Октаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и пламенным.

• Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир (пятый элемент) и почитался главнейшим.

Призма

•          Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2... А n и В 1 В 2… В n расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой . Многоугольники А 1 А 2... А n и B 1 B 2... В n называются основаниями , а параллелограммы - боковыми гранями призмы . Отрезки А 1 B 1, A 2 B 2,..., А n В n называются боковыми ребрами призмы . Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями А 1 А 2... А n и B 1 B 2... В n обозначают А 1 А 2... А n B 1 B 2... В n и называют n -угольной призмой . На рисунке изображены треугольная, шестиугольная и четырехугольная призмы, т.е. параллелепипед.         Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.         Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой , в противном случае - наклонной . Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.         Прямая призма называется правильной , если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.

•   Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней.

где Р – периметр основания призмы, l – длина боковых ребер

• Площадь Sполн полной поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности и площадь Sосн основания призмы формулой

• Объем призмы равен

Где S – площадь основания, h - высота

Пирамида

•       Многогранник, составленный из n -угольника А 1 А 2... А n и n треугольников, называется пирамидой . Многоугольник А 1 А 2... А n называется основанием , а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки Р 1 А 1, РА 2,..., РА n - ее боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А 1 А 2... А n и вершиной Р обозначают так: РА 1 А 2... А n - и называют n -угольной пирамидой. На рисунке изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды, а треугольная пирамида - это тетраэдр.
•          Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Отрезок РН - высота пирамиды.

•   Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней.  
• Объем пирамиды равен     

где S – площадь основания, h - высота                     

Литература

• Погорелов А.В. «Геометрия 7-11 кл.»
• Электронное издание «Геометрия 10» 2008 г.
• Электронное издание «Геометрия 11» 2008 г.
• Электронное издание «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия», 2008 г.
• Электронное издание « Activstudio 3»