Совершенствование методов решения систем линейных алгебраических уравнений

Мелюхина Людмила Васильевна

Кадочникова Наталья Владимировна

Решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ)

Интегрированное учебное занятие по дисциплинам

«Элементы высшей математики» и «Информационные технологии»

Цель:

совершенствование

методов решения СЛАУ с помощью различных инструментов (в т.ч. программного обеспечения)

• умение применять формулы
• умение грамотно говорить
• умение обобщать и систематизировать
• умение логически мыслить
• умение молчать

Система m линейных уравнений с n неизвестными

Метод Крамера

Матричный метод

Метод Гаусса

что такое методы решения

?

что такое инструменты решения

Система линейных уравнений

Метод Крамера

Если

– единственное решение

Если и

– бесконечно много решений

Если и хотя бы один из

– не имеет решения

В матричной форме система имеет вид

Матричный метод

Расширенная матрица

для метода Гаусса

Габриэль Крамер

31 июля 1704 - 04 января 1752

Швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры. Родился в Женеве (Швейцария), в семье врача.

С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других.

Габриэль Крамер

31 июля 1704 - 04 января 1752

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете.

В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей.

Габриэль Крамер

31 июля 1704 - 04 января 1752

В 1740-е годы Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ.

Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире.

1747: второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером.

1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

Немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков» .

Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом.

В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат:

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского.

1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника.

1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования», напечатан только в 1801 году.

Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит.

1810 год: Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.

1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает её орбиту. Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.

1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры.

Карл Фридрих Гаусс

30 апреля 1777 — 23 февраля 1855

Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822).

1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академии наук.

1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель.

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

Метод Крамера

Если

– единственное решение

Если и

– бесконечно много решений

Если и хотя бы один из

– не имеет решения

Матричный метод

Всякая проблема имеет решение – простое, удобное и ошибочное.

Генри Луис

Решение системы линейных уравнений с помощью математического пакета

А –матрица коэффициентов

В – матрица свободных членов

Х – матрица неизвестных

Математика – это язык, на котором написана книга природы.

Галилео Галилей

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.

Д. Сантаяна

Информационные технологии – инструмент, но и математика с её методами тоже является инструментом. Всё это помогает решать нам профессиональные задачи

ЗАДАЧА оптимального

использования ресурсов

Экономико-математическая

модель

Достигнута ли цель занятия?

совершенствование

методов решения СЛАУ с помощью различных инструментов (в т.ч. программного обеспечения)

Не бойтесь формул!

Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения!

В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущество ума, его торжество над покорённой природой.