Система задач - средство подготовки учащихся к экзамену

Система задач – средство подготовки учащихся к экзамену

или как объяснить учащимся решение экзаменационной задачи?

Экзаменационная задача

должна стать причиной для составления учителем системы задач . За основу отбора задач в систему можно взять теоретический материал , который используется для решения данной экзаменационной задачи.

Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой L на стороне BC . Отрезок DL пересекает диагональ AC в точке М . Площадь треугольника CLM равна 9, а площадь треугольника CDM равна 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

Р е ш е н и е.

Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ACD . Площадь треугольника ACD равна сумме площадей треугольников AMD и CDM . Площадь треугольника CDM равна 15. Следовательно, необходимо найти площадь треугольника AMD .

L

B

C

M

D

A

Треугольники CML и AMD подобны, поэтому их площади относятся как

Чтобы найти отношение сторон LM и DM , необходимо знать свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту. Треугольники CLM и CDM имеют общую высоту и их основания LM и DM лежат на одной

прямой, следовательно, . Тогда

Тогда . О т в е т: 80.

Чтобы решить данную задачу учащимся необходимо знать свойства площадей подобных треугольников и треугольников, имеющих равные высоты .

Отбираем из экзаменационных материалов задачи, при решении которых используются выделенные теоретические положения.

Задача 1. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площадь треугольника BOC равна 9, а площадь треугольника AOD равна 16. Найдите площадь трапеции ABCD .

Р е ш е н и е.

Треугольники ВОС и AOD подобны, следовательно, .

Тогда .

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту и их основания BO и OD лежат на одной прямой, следовательно,

Аналогично,

Тогда

3х

C

B

9

12

12

O

16

4х

A

D

Следующие задачи получаются из данной с помощью варьирования условий.

Это позволяет учащимся:

• несколько раз повторить выделенные теоретические положения;
• уяснить смысл коэффициента пропорциональности;
• сделать обобщение.

(Решение этих задач можно организовать фронтально, выполняя чертеж и делая необходимые записи. Не следует требовать от учащихся полного оформления решения).

Задача 2. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . BC : AD =3:5. Площадь треугольника AOD равна 25. Найдите площадь треугольника AOB .

Р е ш е н и е.

1)

2)

3х

C

B

9

15

15

O

25

5х

A

D

О т в е т: 15.

Задача 3. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . AC : OC =8:3. Площадь треугольника BOC равна 18 . Чему равна площадь треугольника ABD ?

Р е ш е н и е.

1)

2)

3х

B

C

18

30

30

O

50

5х

A

D

О т в е т: 80.

Задача 4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . BO : OD =2:3. Площадь треугольника BCD равна 10. Чему равна площадь трапеции ABCD ?

Р е ш е н и е.

1) .

2) .

3) .

4) .

О т в е т: 25.

2х

B

C

4

6

6

O

9

3х

A

D

Задача 5. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площадь треугольника AOD равна 36, а площадь треугольника AOB равна 18. Найдите площадь трапеции ABCD .

Р е ш е н и е.

1) .

2) , ,

х

C

B

9

18

18

O

36

2х

A

D

О т в е т: 81.

Задача 6. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . BC =6, AD =10. Площадь треугольника COD равна 15. Чему равна площадь трапеции ABCD ?

(Продолжаем отбор задач из экзаменационных материалов, решаемых с помощью выделенных свойств площадей треугольников. Следующая задача из КИМов ЕГЭ по математике за 2010 год).

Задача 7. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD , причем ВМ:МС=2:3. Луч АМ пересекает продолжение стороны CD в точке N . Площадь треугольника CMN равна 45. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

Чтобы учащиеся запомнили способ решения данной задачи, несущественно варьируем ее условие и получаем следующую задачу.

Задача 8. Точка K лежит на стороне AD параллелограмма ABCD , причем АК =3, KD =5. Луч ВК пересекает продолжение стороны CD в точке N . Площадь треугольника BCN равна 128. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

(Чтобы вспомнить свойство биссектрисы параллелограмма, накладываем на луч, выходящий из вершины параллелограмма, соответствующее условие).

(Если луч, выходящий из вершины параллелограмма, пересекает его противоположную сторону в середине, то уместно вспомнить равновеликость фигур).

Решаем задачу, которая послужила причиной составления нашей системы .

Задача 9. Вершина С параллелограмма ABCD соединена с точкой К на стороне AD . Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N . Площадь треугольника C DN равна 12, а площадь треугольника DKN равна 9. Найдите площадь параллелограмма ABCD . О т в е т: 56.

Вывод:

Решили 4 задачи из экзаменационных материалов и 8 задач – производных из них.

Но ценным является обобщение, установление учащимися связей между материалом, изучаемым в разных темах систематического курса геометрии, вооружение их приемом решения не одной конкретной экзаменационной задачи, а целого класса задач.

Алгоритм конструирования задач типа С1 :

1) Составить квадратное уравнение с корнями и , хотя бы один из которых по модулю меньше или равен единице.

2) Заменить или на любую другую тригонометрическую функцию.

3) Включить в структуру уравнения функцию, имеющую ограничения на область определения. Их всего пять – дробь, корень четной степени, логарифм, арксинус, арккосинус.