Симметрия вокруг нас

В презентации рассматриваются различные виды симметрии, в том числе симметрия правильных многогранников

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Симметрия вокруг нас»

Симметрия вокруг нас

10 класс

Что такое симметрия?

"Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Герман Вейль.

В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка А переходит в другую точку А' относительно некоторой плоскости (или прямой).

Виды симметрии, которые встречаются в природе.

Выделяются три основных вида симметрии:

Центральная симметрия;

Осевая симметрия ;

Зеркальная симметрия.

Центральная симметрия – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных таким образом точек даст фигуру Ф1.

Центральная симметрия.

Ф1

Осевая симметрия – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой a остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой a, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой a . Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1.

Осевая симметрия.

Ф1

Зеркальная симметрия – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (A-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки X получается такая точка X1, что плоскость A проходит через середину отрезка XX1, перпендикулярно к нему.

Чтобы построить фигуру Ф1,симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.

Зеркальная симметрия.

Симметрия в окружающем нас мире.

Симметрия в растениях

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее все ее виды – от простейших до самых сложных.

Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных.

Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных.

Симметрия встречается и в животном мире. Однако в отличие от мира растений симметрия в животном мире наблюдается не так часто.

Симметрия в неживой природе.

Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии.

Симметрия в архитектуре .

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре.

Правильные многогранники.

Многогранник называется правильным , если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Виды правильных многогранников.

Тетраэдр

(« тетраэдр » означает четырехгранник).

каждая грань многогранника – правильный треугольник.

Гексаэдр - является кубом (« гексаэдр» - шестигранник), у которого каждая грань – квадрат.Любой параллелепипед – гексаэдр.

Октаэдр

( «октаэдр» -- восьмигранник),

у которого каждая грань – правильный треугольник.

Додекаэдр

(« додекаэдр » -- двенадцатигранник), у которого каждая грань – правильный пятиугольник.

Икосаэдр

(« икосаэдр » - двадцатигранник), у которого каждая грань – правильный треугольник.

№ 276

Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?

а) Параллелепипед имеет один центр симметрии-точка пересечения его диагоналей.

б) Правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.

в) Двугранный угол не имеет центра симметрии.

г) Середина отрезка является центром симметрии .

№ 277 . Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб.

а) В пространстве отрезок имеет бесконечное множество симметрий .

б) У правильного треугольника три оси симметрии .

в) Куб имеет 9 осей симметрии.

№ 278. Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырехугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида.

а) Правильная четырехугольная призма, отличная от куба имеет 5 плоскостей.

б ) Правильная четырехугольная пирамида имеет 4 плоскости симметрии. Две из них состоят из апофем боковых граней, а две другие из высоты и боковых ребер.

в) Правильная треугольная пирамида имеет 3 плоскости симметрии.

Различные элементы симметрии.

Правильный тетраэдр.

У правильного тетраэдра нет центра симметрии. Осью симметрии правильного тетраэдра является прямая, проходящая через середину двух противоположных ребер. То есть правильный тетраэдр имеет три оси симметрии.

Плоскостью симметрии правильного тетраэдра будет плоскость, проходящая через ребро, перпендикулярно к противоположному ребру. То есть правильный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии .

Элементами симметрии многогранника называют центр симметрии, ось симметрии. плоскость симметрии.

Куб или правильный гексаэдр.

Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Проводя через каждые две оси симметрии плоскость, мы получим плоскость симметрии куба. То есть у куба девять плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр.

Осями симметрии правильного октаэдра будут прямые, которые проходят через противоположные вершины октаэдра и прямые, которые проходят через середины противоположных ребер. То есть у октаэдра девять осей симметрии.

Точка пересечения осей симметрии октаэдра будет центром симметрии.

Плоскостями симметрии октаэдра будут плоскости, которые проходят через каждые четыре вершины октаэдра. Таких плоскостей три. И плоскости, которые проходят через две вершины, не лежащие в одной грани, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей шесть. То есть у правильного октаэдра девять плоскостей симметрии.

Правильный додекаэдр.

Плоскости, проходящие в каждой грани через вершину и середину противолежащего ребра, будут плоскостями симметрии.

Осями симметрии додекаэдра будут прямые, проходящие через середины противоположных параллельных ребер. Их пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать осей симметрии.

Центром симметрии правильного додекаэдра будет точка пересечения всех осей симметрии.

Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать плоскостей симметрии

Правильный икосаэдр.

Осями симметрии правильного икосаэдра являются прямые, которые проходят через середины противолежащих параллельных ребер. Таких прямых пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать осей симметрии.

Центром симметрии правильного икосаэдра является точка пересечения всех осей симметрии.

Плоскости симметрии правильного икосаэдра проходят через четыре вершины, которые лежат в одной плоскости, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.