Мини проект "Симметрия вокруг нас"

Введение

Тема нашего проекта была выбрана после изучения курса «Математика 6 класса», раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановились мы именно на этой теме не случайно, нам хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе. А особенно виды симметрии, встречающиеся в казахских узорах.

Как говорил академик А.В. Шубников, посвятивший изучению симметрии всю свою долгую жизнь: «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло её в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встреча­емся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий облада­ют осевой симметрией. В боль­шинстве случаев симметричны отно­сительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зуб­чатые колеса.

Нам это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы и даже культуру народа. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.

Мы обратили внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

Нам это важно, потому что для многих людей математика – скучная и сложная наука. Мы же хотим объяснить на примере симметрии, что математика – не только цифры, уравнения и решения, но и красота в строении геометрических тел, живых организмов и даже является фундаментом для многих наук от простых до самых сложных.

Цели нашего проекта были следующими:

1. раскрыть особенности видов симметрии;

2. рассказать как проявляется гармоничность симметрии в казахских орнаментах;

3. показать всю привлекательность математики как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

Задачи:

1. сбор материала по теме проекта и его обработка;

2. обобщение обработанного материала;

3. выводы о проделанной работе;

4. оформление обобщенного материала;

5. подготовка презентации;

6. презентация проекта.

Приступив к исследованию, я заметила, что симметрия не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а также в творениях человека. По этому я поставила перед собой такие проблемные вопросы:

- Как проявляется гармоничность симметрии в природе;

- Какие виды симметрий, встречаются в природе;

- Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тему своего исследования я назвала «Симметрия вокруг нас».

I Симметрия в математике 1.1. Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметрич­ной относительно точки О, если для каж­дой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре (Рисунок 1.1.1). Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фи­гура обладает центральной симметрией [1].

Понятия центра симметрии в «Началах» Евклида нет, однако в 38-ом предложении XI книги содержится понятие пространственной оси симметрии. Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI в. В одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр». Лежандр, который впервые ввёл в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к рёбрам, а другие 6 проходят через диагонали граней [3].

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окруж­ность и параллелограмм (Рисунок 1.2.1). Центром симметрии окружности является центр ок­ружности, а центром симметрии паралле­лограмма – точка пересечения его диагона­лей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружно­сти и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно мно­го – любая точка прямой является её цен­тром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является про­извольный треугольник.

В алгебре при изучении чётных и нечётных функций рассматриваются их графики. График чётной функции при построении симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции – относительно начала координат, т.е. точки О. Значит, нечётная функция обладает центральной симметрией, а чётная функция – осевой.

Таким образом, две центрально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга, не выводя их из общей плоскости. Для этого достаточно одну из них повернуть на угол 180° около центра симметрии.

Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симмет­рии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в пло­скости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.

1.2. Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметрич­ной относительно прямой а, если для каж­дой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фи­гура обладает осевой симметрией (Рисунок 1.3.1).

В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обла­дает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадле­жащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпенди­кулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения де­лится пополам. Рассмотренная выше (гл. 1) пара треугольников обладает (кроме центральной) еще осевой симметрией. Её ось симметрии проходит через точку С перпендикулярно к плоскости чертежа.

Приведём примеры фигур, обла­дающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссект­риса угла. Равнобедренный (но не равносто­ронний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треуголь­ник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконеч­но много — любая прямая, проходящая че­рез её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отлич­ный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

1.3. Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело) (Рисунок 1.4.1). [1]

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» — это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от неё, движется обратно параллельно направлению первого удара.

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Рассмотрим пример. Если плоская фигура ABCDE (приложение 3) симметрична относительно плоскости Р (что возможно лишь в случае взаимной перпендикуляр­ности плоскостей ABCDE и Р), то прямая KL, по которой пересекаются упомянутые плоскости, служит осью сим­метрии (второго порядка) фигуры ABCDE. Обратно, если плоская фигура ABCDE имеет ось симметрии KL, лежа­щую в её плоскости, то эта фигура симметрична относи­тельно плоскости Р, проведённой через KL перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому ось КЕ можно назвать также зеркальной L прямой плоской фигуры ABCDE.

Две зеркально симметричные пло­ские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Вообще зеркально равными телами (или фигурами) на­зываются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две поло­вины зеркально симметричного тела (или фигуры).

1.4. Симметрия вращения

Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360^º/n, где n целое число, около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением. Если число n равно 2, 3, 4 и т.д., то ось симметрии называется осью второго, третьего и т.д. порядка (Рисунок 2.1).

Например, если мы разрежем круг на три части с центральными углами по 120º, наложим эти секторы друг на друга (не переворачивая их другой стороной) и прорежем на них фигуру а произвольной формы, то, сложив снова части так, как они лежали, получим фигуру (круг с дырочками), обладающую осью симметрии 3-его порядка. Эта ось перпендикулярна к плоскости чертежа. Поворотом на 120^º фигура полностью совмещается со своим исходным положением.

Радиальная симметрия – форма симметрии, сохраняющаяся при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей симметрии. Подобными объектами могут быть круг, шар, цилиндр или конус.

Приведу примеры тел, обладающих перечисленными видами симметрии.

Шар обладает и центральной, и зеркальной, и осевой симметрией. Центром симметрии является центр шара, плоскостью симметрии — плоскость любого большого круга; осью — любой диаметр шара. Порядок оси — любое целое число.

Круглый конус имеет осевую симметрию (любого по­рядка); ось симметрии — ось конуса.

Правильная пятиугольная призма имеет плоскость симметрии, идущую параллельно основаниям на равном от них расстоянии, и ось симметрии пятого порядка, со­впадающую с осью призмы. Плоскостью симметрии может также служить плоскость, делящая пополам один из двугранных углов, образуемых боковыми гранями.

II Симметрия вокруг нас 2.1. Симметрия в физике

Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, начиная с симметрий обычного трехмерного «физического пространства» (такими, например, как зеркальная симметрия), кончая более абстрактными и менее наглядными. Некоторые симметрии в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. Исторически использование симметрии в физике прослеживается с древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало применение такого принципа симметрии, как принцип относительности (как у Галилея, так и у Пуанкаре-Лоренца-Эйнштейна), ставшего затем как бы образцом для введения и использования в теоретической физике других принципов симметрии, которые привели к общей теории относительности Эйнштейна.

В теоретической физике поведение физической системы описывается обычно некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин. Например, следует, что инвариантность (неизменность) уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; инвариантность относительно сдвигов в пространстве – к закону сохранения импульса; инвариантность относительно вращений – к закону сохранения момента импульса (Рисунок 2.1.1).

2.2. Симметрия в биологий

Изображения на плоскости мно­гих предметов окружающего нас мира име­ют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120^º, для колокольчика – 72^º, для нарцисса – 60^º [4]. Поворотную ось можно характеризовать и с помощью дру­гой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360^º. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третье­го, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой сим­метрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным поло­жением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси (Рисунок 2.2.1).

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ря­ды, идущие в различных направлениях.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного [6].

В биологии о радиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.

Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих, кишечнополостных. Взрослые формы иглокожих приближаются к радиальной симметрии, в то время как их личинки билатерально симметричны.

Можно сказать также, что каждое животное (будь то насекомое, рыба или птица) состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфы – пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого (например, пара перчаток). Иными словами – это объект и его зазеркальный двойник при условии, что сам объект зеркально асимметричен.

Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тело которых сферической формы, а его части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

Человек - существо симметричное

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе (рисунок 2.2.1).

Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи (приложение 7). Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлинённым черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлинённой формы. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчёркивают эту симметрию. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа или делая асимметричную стрижку. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или, надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой). Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от неё и придают характерные, индивидуальные черты.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

2.3. Симметрия в химий

Ещё более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, а именно в кристаллах. «Кристаллы блещут симметрией», - писал Е. С. Федоров в своём «Курсе кристаллографии». При слове «кристалл» в воображении рисуется первый среди драгоценных камней – алмаз: «кристальная» чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная, правильная форма. Но теперь алмазы не только предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твёрдых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается, не только алмаз кристалл. Обычный сахар и поваренная соль, лёд и песок состоят из множества кристалликов. Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов. Словом, большинство строительных материалов – металлы, камень, песок, глина – кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живём в домах, построенных из кристаллов. Неудивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и рёбра­ми для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, числа граней и рёбер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Нам известны некоторые элементы симметрии: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси. Кристалл каждого вещества характеризуется определённым набором элементов симметрии – видом (классом) симметрии. Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы – молекулы, атомы, ионы или их группы (рисунок 2.3.1).

Сама пра­вильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым строением, т. е. в конечном счёте, определяется симметрией их структуры.

Следует признать, что значение симметрии в кристаллах, где она играет роль своеобразного закона формообразования, шире, чем в живой природе, в которой она выступает как некая очевидная, но недостаточно последовательно выраженная тенден­ция.

2.4. Симметрия в языках

Явление стилистической симметрии удобнее всего показать на примерах псалмов, от которых она в основном (но не исключительно) и ведет свое начало в древнерусской литературе.

Сущность этой симметрии состоит в следующем: об одном и том же в сходной синтаксической форме говорится дважды; это как бы некоторая остановка в повествовании, повторение близкой мысли, близкого суждения, или новое суждение, но о том же самом явлении. Второй член симметрии говорит о том же, о чём и первый член, в других словах и другими образами. Мысль варьируется, но сущность её не меняется. Стилистическую симметрию обычно смешивают с художественным параллелизмом и со стилистическими повторами. Однако от художественного параллелизма стилистическую симметрию отличает то, что она не сопоставляет два различных явления, а дважды говорит об одном и том же; от стилистических же повторов (обычных, в частности, в фольклоре) стилистическую симметрию отличает то, что она хотя и говорит о том же самом, но в другой форме, другими словами.

Конечно, название «стилистическая симметрия» условно. Одна из важнейших особенностей стилистической симметрии состоит в неполноте симметрического построения. Оба члена симметрии хотя и говорят об одном и том же, но говорят по-разному. Эта точность соответствия обоих членов симметрии связана с характерным отличием поэтического описания от описания научного. Первое всегда несколько «неточно»: «неточна» метафора, «неточна» метонимия, «неточен» любой художественный образ. Эта «неточность» в искусстве особого рода: она динамична, всегда как бы восполняется читателем, слушателем или зрителем. Благодаря этой «неточности» восприятие произведения искусства является до известной степени сотворчеством. Мы как бы решаем некую задачу, поставленную перед нами в произведении искусства.

Но наряду с такого рода «вечной» особенностью всякого произведения искусства в стилистической симметрии есть и черта, прямо противоположная эстетическим принципам нового времени. Обратим внимание на следующее. Стилистическая симметрия может рассматриваться как своеобразное явление синонимии и в широком смысле этого слова. Синонимия же может иметь различные функции: уточнения, конкретизации, развития и т. д. Из всех функций синонимии стилистическая симметрия по преимуществу преследует цели ограничения и абстрагирования значения. Эта абстрагирующая тенденция прямо противоположна конкретизирующему стремлению искусства нового времени. Вот почему стилистическая симметрия и не употребляется в искусстве нового времени.

Все мы читали сказку А.Толстого «Золотой ключик» и смотрели фильм или мультфильм. Там Мальвина диктовала Буратино всем известную «волшебную» фразу: «А роза упала на лапу Азора». Она читается и слева направо и справа налево одинаково. Автором этой фразы считается русский поэт XIX века А.А.Фет.

Это и есть так называемый «палиндром». Палиндромом (от гр. Palindromos – бегущий обратно) можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу; текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево. В зависимости от числа и вариации места словоразделов, а также меры совпадения прямого и обратного чтения палиндромы классифицируются по степени сложности и точности. Прямой текст палиндрома, читающийся в соответствии с нормальным направлением чтения в данной письменности (во всех видах кириллической и латинской письменности – слева направо), называется прямоходом, обратный – ракоходом или реверсом (справа налево). Классический пример палиндрома:

Я – арка края (В.Брюсов).

Существует несколько разновидностей палиндромов: буквопалиндромы – читаются туда и обратно точно по буквам; словодромы (читаются уже не по буквам, а по словам и в ту, и в другую сторону); слогодромы и др. Также распространены и оборотни, читаемые справа налево иначе, чем слева направо. Причем, при их обратном прочтении текст, обычно имеет противоположный, замаскированный смысл. Например, на Ритке снег (С.Федин). А обратно получается нечто оригинальное: Генсек - тиран.

История палиндрома уходит в далекую древность. Отдельные палиндромические словосочетания и фразы известны с глубокой древности, когда им зачастую придавался магически-сакральный смысл (не лишена этого оттенка, например, фраза На в лоб, болван, использовавшаяся русскими скоморохами в качестве высказывания). Палиндромические стихи были известны еще в древнем Китае. Многими исследователями отмечаются и заговорно-молитвенные свойства палиндромов, которые позволяли использовать их в качестве заклятий. Так, считалось, что при произнесении «оборачиваемой» фразы «уведи у вора корову и деву» должна была восторжествовать справедливость. Народные пословичные построения также нередко имели палиндромическую структуру, например, «Аки лев и та мати велика». Авторское творчество в области палиндрома начинается, по-видимому, в Средние века. В русской литературе достоверно известно об авторском палиндромном стихе Державина «Я иду съ мечемъ судия».

Приведу примеры некоторых палиндромов:

А Вера - рева
А к порту тропка
Аргентина манит негра
Бел хлеб
Вор в лесу сел в ров
Голод долог
Диван нежен на вид
Ешь немытого ты меньше!
Ишаку казак сено нес, казаку - каши
Кит на море - романтик
Колька нес сена клок
Конус и рисунок
Лепил и пел
Леша на полке клопа нашел
Мокнет Оксана с котенком
Мороз узором
Тропа налево повела, на порт
Туши рано фонари, шут!

Встречаются иногда отрывки из стихотворений. Например,

Весна мутила дали... Туман, сев.

И гул поля, радуя, ударял о плуги.

Некоторые слова и числа также обладают симметрией, например, поп, кок, шалаш, наган и числа 101, 404, 1991, 2002 и др. Можно составить огромное количество симметричных чисел, используя только цифры от 0 до 9.

2.5. Симметрия в архитектуре

Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.

Термин «симметрия» в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем. Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. Те же развалины Парфенона на Акрополе служат доказательством этого.

Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в форме креста), в готике (архитектурные конструкции имели прямоугольный или крестообразный вид). На смену готике пришёл стиль «барокко», который использовал асимметрию. Но смену этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных стилей. Практически поворот на 180 градусов произошел при смене классицизма модерном. Стиль «модерн» использует асимметрию – волнообразное построение архитектурных композиций. В настоящее время каких-либо стилей нет, каждый архитектор работает в своей манере.

Композиция в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. Применение симметрии основывалось на особенностях зрительного восприятия сооружений в натуре. Поэтому на чертежах и планах симметрия может отсутствовать.

В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.

Немалую роль симметрия играет в архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос. В вопросе о симметрии архитектурного сооружения важно помнить, что сама функция постройки часто диктует симметричность или асимметричность построения. Так зрелищные сооружения (цирки, театры), мемориальные комплексы и другие архитектурные композиции, где есть явно выраженный главный функциональный элемент (сцена, главный монумент) тяготеют к симметричности, к организованности пространства вокруг этого главного элемента. И вовсе не случайно строго симметричные сооружения использовались для воплощения идей строгой централизации общества и строгого упорядочения устройства мира (Мавзолей В.И. Ленина в Москве) (приложение 9). Напротив, сложные в функциональном отношении сооружения требуют свободного, асимметричного расположения элементов, т.к. симметричное построение композиции трудно осуществимо. Например, никогда еще не удавалось уложить в строгую симметричную схему такое многофункциональное сооружение, как город. В этих случаях применяют в архитектуре асимметрию. Средством создания единства в асимметричных композициях является зрительное равновесие частей по массе, фактуре, цвету и пр. В сложных композициях могут сочетаться симметрия и асимметрия.

В конкретном архитектурном сооружении зрительное восприятие симметрии достигается выявлением плоскостей или осей симметрии. Для этого на них ставятся акценты — особо значимые элементы (купола, шпили, шатры, парадные входы и лестницы, балконы и эркеры). Но архитектор – прежде всего художник. И потому даже самые «классические» стили чаще использовали дисимметрию – нюансное отклонение от чистой симметрии или асимметрию – нарочито несимметричное построение. При этом довольно трудной задачей является зрительное (тектоническое) уравновешивание масс – объёмов и пространств. В симметричной композиции такое равновесие достигается само собой. В асимметричной композиции этого приходится специально добиваться, используя все средства архитектурной формы (геометрический вид, положение в пространстве, массу, величину, фактуру, а часто и цвет).

Таким образом, архитектор, используя объективные свойства архитектурных форм (геометрический вид, положение в пространстве, величину, массу, фактуру, свет и цвет), с помощью ритма, пропорционирования, масштабирования, используя тождество, нюанс, контраст и симметрию, создает целостную архитектурную композицию. Всеми вышеперечисленными приёмами он выстраивает программу восприятия зрителем архитектурного образа.

Примеры сетчатого геометрического орнамента можно увидеть в композициях ряда металлических решеток и оград, плиточных покрытий полов, в декоративном решении стен с узорной кирпичной кладкой. Ленточный орнамент использован в порезках карнизов античных храмов, в росписях стен древнерусских храмов. Орнаментальные заполнения филёнок, пилястр и панно чаще имели симметричные композиции, за исключением стилей рококо и модерн, где встречались асимметричные.

III Симметрия в казахских орнаментах

3.1. Типовые виды казахских орнаментов

Орнамент (лат. ornamentum — украшение) — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов; предназначается для украшения различных предметов (утварь, орудия и оружие, текстильные изделия, мебель, книги и т. д.), архитектурных сооружений (как извне, так и в интерьере), произведений пластических искусств (главным образом прикладных), у первобытных народов также самого человеческого тела (раскраска, татуировка). Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет или акцентирует архитектонику предмета, на который он нанесён. Орнамент либо оперирует отвлечёнными формами, либо стилизует реальные мотивы, зачастую схематизируя их до неузнаваемости.

Каждый орнамент, узор имеет свое значение. Например, орнамент "подбоченившаяся девушка" напоминает фигуру женщины, уперевшейся руками в бока. Этот орнамент чаще используется в производстве ковров, чулок и варежек. На алматинских коврах встречаются орнаменты, напоминающие по форме петуха. Наряду с этим изображаются и мелкие узоры в форме рогатины, бахромы, восьмиугольной звезды, следа кошки, букв U(y) и V(B). Эти орнаменты символизируют пятикратную молитву — намаз. Тюрки по-особенному относились к орнаментам. По орнаменту на головном уборе можно легко определить принадлежность человека к определенной нации (узбеки, татары, таджики, казахи, кыргызы), которые когда-то имели общие корни.

У кыргызов имеются такие виды орнаментов, как "бараний рог", "амулет", "цветок миндаля", у узбеков — "цветок хлопка", "миндаль". Казахские орнаменты подразделяют на три группы: симметричные, комбинированные, непарные узоры. Основным среди них является "бараний рог". Сам орнамент "рог" делится на несколько разновидностей. Иными словами, в быту широко использовался именно этот орнамент. Существует большое разнообразие казахских национальных узоров и орнаментов. Создаются они народными умельцами весьма своеобразно и творчески. Способы изготовления казахских узоров чем-то напоминают древнее японское искусство оригами, но кроме складывания разными хитрыми способами материала, из которого делается узор, происходит еще вырезание. При разворачивании такого "оригами" возникают весьма интересные узоры. Но нельзя сказать, что они случайны. В этих узорах проявляется своеобразный образный мир казахов. Тут можно встретить и "След верблюда" (Туьйе табан), и "Бараний рог" (Къошкар муьйiз), "Кость" (Жiлiншiк) и "Позвоночник" (Омырткъа), и "Собачий хвост" (Ит къуъйрыкъ). Кроме зооморфных узоров попадаются и элементы окружающей природы, такие как "Зигзаг, Вода" (ирек, су), "Цветок" (гуьл) и т.д. Часто встречаются древние магические символы в виде геометрически правильных фигур, как утверждают, указывающие иногда на принадлежность к роду или жузу. Прямые линии, круги, ромбы, чередующиеся треугольники довольно часто встречаются в изделиях народных мастеров. Казахские орнаменты весьма красивы и, как говорят, обладают свойствами отгонять злых степных духов. Насчет духов не знаю, но практическое применение орнаментов в современном творчестве, как мне кажется, вполне оправдано и необходимо. Нужны только умеренность и вкус. “Тортайшык" — полумесяц — орнамент, изображающий полумесяц. Каждая ветвь орнамента "тортайшык" состоит из простых элементов, изображающих полумесяц. Из элементов "тортайшак, « можно вырезать орнамент, следующий до бесконечности.

"Жулдыз" — звезда. Этот орнамент изображает ломаную линию, часто — звезду. Звезда, как правило, находится в самой середине орнамента и имеет пятиконечную форму.

"Жулдызгул" — звездный цветок. Этот орнамент похож на увитый цветами пятиконечный цветок. Им украшают тускиизы.

— настенные ковры, покрывала, середину носовых платков, спинную часть верхней одежды или нижний край подола чапана — два нижних
угла передней полки.

"Жулдызкурт" — звездный червь. Данный орнамент представляет собой переплетение черных и белых, красных и зеленых, синих и желтых цветов. Его используют при приготовлении циновок из чия, на краях сырмаков.

"Кун" — солнце. Орнамент символизирует солнце. Орнаментом "кун" украшают середину ковров, тускиизов, а также он применяется в элементах вышивки или при крашении изделий из дерева, кости.

"Кемтркрсак" - радуга. Орнамент состоит из полосок разных цветов. У казахов цвета имеют символическое значение. Например, синий цвет

— символ неба. Белый — цвет истины, радости; желтый — цвет мудрости, разума, печали; зеленый — цвет весны и молодости.

"Қырықмүйіз" — сорок рогов. Этот орнамент состоит из множества узоров, соединенных слож­ными переплетениями роговидных элементов. В большинстве случаев он заключается в прямо­угольник или круг. А порой разветвляется в стороны, подобно кроне дерева, и представляет сложнейшую композицию. Используется при украшении тускиизов, дубленок, сырмаков, кежимов, текеметов, в архитектуре и зодчестве.

“Сынықмүйіз" — сломанный рог. Орнамент представляет собой изломанный прямоугольник, четыре раза загибающийся внутрь. Этот орнамент применяется для украшения ковров, изделий из чия, баскуров и алаша, а также различных сумок. Внешний вид орнамента напоминает сломанный рог животного.

"Төртқұлақ”— крестовина. Четыре крестовины орнамента состоят из зооморфных, "растительных" линий, середина имеет подобие креста. Элементы орнамента могут завершаться круговыми линиями, четырехугольными элементами. Этот орнамент используется при украшении кебеже, жукаяков, аяккапов, спинной части чапанов батыров, щитов, наколенников брюк, середины додеге или его углов.

"Үшқұлақ" или "жапырақ" — трехлистник. Стены бани города Тараз, построенной в Х-XI веках, украшены орнаментом "трехлистник".

"Түйемойын" — верблюжья шея. Орнамент похож на верблюжью шею. Концы его завершаются роговидными элементами. Этот орнамент встре­чается обычно в совокупности с другими рого­видными орнаментами, хотя и выделяется своими особыми линиями, напоминающими длинные верблюжьи шеи.

"Жіліншік" — берцовая кость. Орнамент, своей формой напоминает кость животного. Это не­обычный узор, состояший из двух вертикальных штрихов, соединенных своеобразным элементом. Используется при украшении алаша, кошм, тыскапов, бау, баскуров.

"'Тіс" — зуб. Орнамент напоминает зубы животного. Состоит из отдельных клеточек черного и белого цвета, напоминающих шахматную доску. Используется в искусстве вышивки. Его называют также "итпе" — собачьи зубы.

"Таңдай" — небо. Орнамент напоминает по своей форме нёбо животного. Узоры расположены диагонально. Этот орнамент наносится на край изделий из дерева, кости, рогов, на воротники одежды, на кимешеки (головной убор для пожилых женщин). Орнамент "тандай" встречается и у других тюркских народов.

"Бөріқұлақ”, "бөрікөз" - волчьи уши, волчьи глаза. Орнамент напоминает по своей форме волчьи глаза, волчью голову, уши.

"Итемшек"- собачьи соски. Орнамент похож на орнамент "тортшайык", и состоит из сложных элементов. Основа орнамента — четырехлистник "итемшек", похожий на луну. Мелкие элементы,

находящиеся внизу четырехлистника, напоминают собачьи соски.

"Иттабан"— собачья ступня. Этим орнаментом украшают жукаяки (приспособление, на которое складываются одеяла и подушки), изделия из чия, деревянные кровати, деревянные двери юрт, ворота.

"Түйетабан" — верблюжья ступня. Орнамент похож на верблюжий след. Он отличается сложной композицией, состоящей из оригинальных, сложных узоров. Стоящие рядом две фигуры в виде буквы "3" не соединяются. Две детали орнамента, напоминающие верблюжий след, находятся всегда рядом.

"Сыңарөкше" — одна пятка. Данный орнамент, как орнамент "сынармушз", имеет однорогий элемент, подобный пятке сапога, и повторяется до бесконечности. Орнамент создается в основном из элемента "кошкармушз".

"Балта" — топор. Орнамент является остаточным элементом родовых тамг "балгатанба", "балтатацба". Эта тамга напоминает буквы "Г" или "Т". Данным орнаментом украшаются тас кап — чехлы для посуды, кесе кап — чехлы для пиал, тускиизы, покрывала для кроватей, баскуры — элементы юрты.

"Балдақ" — костыль. Орнамент напоминает головку костыля — приспособления из железа, которую беркутчи одевают на руку в то время, когда держат беркута. Орнамент "балдак", соединяясь с друг другом,создает сложный узор. Этот орнамент используется при украшении войлочных изделий, в вышивке, и в др.

"Мөр", "таңба", "бестаңба" — печать, знак, пятизначие. Орнамент напоминает тамгу (клеймо) животных и символизирует четыре конца света. Орнаменты "танба" и "бестанба" используются для метки животных в качестве официальной печати какого-либо частного учреждения и в украшении алаша, сундуков, кроватей, кебеже.

"Итқұйрық" — собачий хвост. Орнамент по форме напоминает задранный собачий хвост. Им украшают изделия из кости и дерева (двери юрт, или части деревянных кроватей), а также изделия из войлока.

"Тулкібас" — лисья голова. Орнамент напо­минает лисью или кошачью голову и состоит из овальных кругов, грушеобразных элементов. Он наносится на изделия из кости, дерева, чия, используется при вшивании.

"Жылан", "жыланбас" — змея или змеиная голова. Орнамент похож на змеиный череп, который издревле пришивали к детским шапочкам "такия", чтобы "избежать сглаза". Орнамент "жыланбас" или "жылан" символизирует образ змеи. "Жыланбауыр" — змеиное брюхо. Орнамент напоминает змеиное брюхо. В узорах зергеров — ювелиров из Отрара, косые штрихи, напоминающие тонкие девичьи брови, перемежаются точками величиной с просяное зернышко.

"Тышқаніз" — мышиный след. Орнамент используется для украшения ковров, коржынов, аяккапа и других предметов домашнего обихода. Он наносится на край внешней полоски, проходящей по краю изделия.

"Құсқанаты" — птичьи крылья. Орнамент, напоминающий птичьи крылья, следует за рого­видными элементами или за орнаментом, напо­минающим шахматные клетки. Изображение этого орнамента на отдельных изделиях напоминают летящую птицу. В настоящее время орнамент "к,уск,анаты" используется вместе с другими орнаментами.

"Қарғатұяқ" — вороньи когти. Орнамент соединяет в себе геометрические и зооморфные знаки. Он используется в плетении алаша, ковров.

"Шетою" — крайний узор. Это орнамент следует до бесконечности. Один и тот же элемент повторяется множество раз. Им украшают края изделий: деревянных дверей, тексметов, сырмаков, кебеже, одежды, посуды и т.д.

"Ирек", "ирексу" — это геометрический узор. Орнамент состоит из обломков ломаных линий, завершающихся на концах овальными зак­руглениями. Эти линии могут идти до бес­конечности. Орнамент "ирек" (ирексу) представляет собой в соединении с подобными элементами определенные геометрические фигуры в виде прямоугольников и цепочек, напоминающих браслет часов или лестницу. Им украшают бешпеты, камзолы, чапаны, края такии — тюбетеек; а также

ювелирные изделия: кольца, браслеты, капсырму, ожерелья, изделия из

чия, сырмаки, кебеже, жукаяки, края блюд и одежды.

"Қосдөңгелек" —двойное кольцо.

Орнамент напоминает рунические письмена или тамгу, наносимую на животных. Им украшали изделия из войлока: текеметы, сырмаки.

"Тұмарша" — амулет. Орнамент треугольной формы, похожий на амулет. Амулеты треугольной формы, предохраняющие от злого сглаза, прикрепляли не только на одежду человека, но и на юрты и животных. Этот орнамент используется в окаймлении кошм, ковров, текеметов, также в центре этих изделий. По словам Ш. Валиханова: "Киргизы употребляют теперь магометанские, кабалистические мотивы, называют их тумар. В прошлые годы талисманами были разные части тела животных или птиц и кости животных" (Ш. Валиханов, 1961, 485).

"Суөрнегі" — волнообразный узор. Орнамент "суернеп" — волнистая линия между двумя вертикальными чертами. Изгибаясь в прихотливом узоре, они могут создавать круг, четырехугольник. Иногда этот узор называют "бессаусак" — пять пальцев, или "бесгул" — пятицветие . Этот орнамент обычно используют для того, чтобы отделить один орнамент от

"Ромб". Внешняя сторона орнамента — это геометрическая фигура — ромб. Внутри ромба помешается композиция из орнаментов "к,ош-кармушз" или "кусканаты".

"Адаша", "аламыш". Орнамент состоит из

множества разноцветных полос. Иногда среди полос встречаются орнаменты наподобие геометрических фигур или композиции, составленные из орнамента "мушз". "Аламыш" напоминает шахматную доску. Орнамент широко используется в изделиях из чия, в плетеных тесьмах — бау, при украшении ковров, алаша, в узорах на костяных изделиях.

"Гүл", "жетігүл" — цветок, семицветие.

Орнаменты, изображающие растительный мир, используются в искусстве вышивки, в украшении одежды. В "растительных" казахских орнаментах в основном используются элементы цветов и листьев. Этими орнаментами украшаются почти все изделия прикладного искусства.

"Жапырақ" — лист. Орнамент, изображающий листья растений.

Аяққап — чехол для посуды. В каждом регионе Казахстана при изготовлении аяккапов используют разные технологии. Орнаменты, украшающие аяккапы, похожи на те, которые используются на алаша, коврах, текеметах. Аяккап делается из войлока четырехугольной формы или формы, прямой с двух сторон, а внизу вогнутой. По краям аяккапа пришивается бахрома. Этот предмет домашнего обихода, очень нужен для казахов, ведущих кочевой образ жизни.

Кесеқап — чехол для пиал. Делается из войлока в виде конуса и украшается различными видами орнаментов. С двух концов овальной формы пришивается бахрома. В кесекапе имеется веревочка, которой затягивается отверстие. В нем очень удобно перевозить посуду во время кочевок.

Басқұр используется для соединения деревянных деталей юрты друг с другом, также для придавливания внешнего войлочного покрытия юрты. Для этого же используются кур, тацгыш, шалма, туырлык,, узж и веревки тундика: балак, бау, иык, бау, жел бау и другие.

Ақ басқұр плетется методом "терме алаша". На белом фоне разноцветными нитками изображаются различные орнаменты. Баскур используется как для красоты, так и в прак­тических целях — прикрывает место соединения кереге юрты с уыками.

3.2. Виды симметрии в орнаментах

Для орнамента также важно соблюдение законов симметрии: обе его стороны должны быть равными. Чтобы вырезать орнамент для определенного изделия, сначала делается образец из бумаги. При создании орнамента необходимо знать, что особую красоту ему придают краски. В казахском прикладном искусстве используются традиционные цвета, которые применяются мастерами в течение многих веков: красные, синие, желтые, зеленые, белые и черные. Эти цвета имеют только им одним присущую символику. Синий - цвет неба; белый - символ истины; желтый - цвет мудрости, нравственности, печали; зеленый — молодости, весны и т.д. Соответствие цветов друг другу, их гармоничное сочетание называют колоритом. В многоцветных узорах-орнаментах часто встречается совершенный колорит. При создании орнаментов, кроме законов симметрии, необходимо также соблюдение ритма.

Вырезание орнамента на бумаге, сложенной в один раз. То есть осевая симметрия встречается в орнаменте "мүйіз" – рог, орнамент "сынықмүйіз" - сломанный рог и т.д.(рисунок 3.2.1).

Вырезание орнамента из листа, сложенного в 3 раза, то есть, центральная симметрия орнамент "төртқұлақ" – крестовина, орнамент "қосалқа" - двойное ожерелье и т.д. (рисунок 3.2.2).

Зеркальная симметрию можно заметить в орнаменте "шетою" — орнамент, следующий до бесконечности (рисунок 3.2.3).

Как и все другие виды творческой деятельности, искусство создания орнаментов оказывает благотворное влияние на повышение интеллектуального уровня человека, содействует совершенствованию уже обретенных им знаний. Человек не только овладевает техникой создания орнаментов, но и знакомится с забытыми понятиями и словами, имеющими прямое отношение к этому виду искусству. С целью пояснения того, какие виды орнаментов используется на изделиях из войлока, а какие — на деревянных изделиях, а также какие виды симметрии используются в орнаментах.

Заключение

Изучив и исследовав тему «Симметрии» я узнала, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.

Декоративные мотивы модерна содержат в себе стилизованные водяные цветы и бутоны с узкими, длинными стеблями и листьями: лилии, кувшинки, тростник, а также цветы и бутоны ирисов, орхидей, цикламенов, хризантем; фигурки насекомых: бабочки, стрекозы; птицы: лебеди, журавли, павлины и их перья, мотивы масок с развевающимися длинными прядями волос, волн, складок развевающегося платья, лебединой шеи и др. Древний человек наделял определенными знаками свои представления об устройстве мира. Например, круг — солнце, квадрат — земля, треугольник — горы, свастика — движение солнца, спираль — развитие, движение и т. д., но они, по всей вероятности, еще не обладали для предметов декоративными качествами (часто покрывались орнаментом скрытые от глаз человека части предметов — днища, оборотные стороны украшений, оберегов, амулетов и др.). Изучая виды орнаментов можно заметить в них все виды симметрии и понять как создается красота руками человека.

И в заключении хочется сказать о том, что быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.

Нам было интересно работать над выбранной темой реферата. Мы узнали много нового. Но наибольший интерес у меня вызвал раздел, касающийся слов и цифр, а также о симметрии в живой природе.

В своей работе мы обобщили собранный по теме реферата материал и подготовили для его защиты презентацию, выполненную в редакторе Power Point.

Хотелось бы сказать, что почти во всём, что нас окружает, есть та или иная симметрия. О ней можно говорить бесконечно.

Список литературы.

1. Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

2. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г. Цыпкин. Под редакцией С.А. Степанова. – Издательство «Наука». – Москва 1984г. – 480 стр.

3. История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

4. Эстетика урока математики. И.Г. Зенкевич. – Издательство «Просвещение». – Москва 1981г. – 79 стр.

5. Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

6. Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

7. С. Кенжеахметулы «Традиции и обряды казахского народа» Алматы 2004 г.

8. Б. Шоптыбай «Қазақтың ою - өрнектері» Алматы - өнер 2006 г.

9. Ресурсы сети Интернет. www.likt590.ru/project/matematika/5/, sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/arhkomp2.htm, www.fondcultura.ru/htmls/method/texts_history/architecture.htm, ru.wikipedia.org/wiki/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Рисунок 1.1.1 Центральная симметрия

О О.

Рисунок 1.2.1 Центральна симметричные фигуры

Рисунок 1.2.1 Симметрия вращения

.

1 Зеркальная симметрия Рисунок 2.1.1 Симметрия в физике

Рисунок 2.1.1 Симметрия в растениях

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

рисунок 2.2.1 Симметрия в человеке

Рисунок 2.3.1 Симметрия в кристаллах

Рисунок 3.2.1 Симметрия в узорах

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Рисунок 3.2.2 Центральная симметрия

Рисунок 3.2.3 Зеркальная симметрия

Рисунок 1.4.1 Симметрия вращения

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Рисунок 31.1.1 Виды казахских орнаментов

24