Решение задач по теории вероятности и статистике

Задания В10

ЕГЭ по математике

Базовый уровень

Автор: учитель математики МКОУ «Безголосовская СОШ»

Николайцева Лариса Николаевна

Тип задания.

Задание на:

• построение и исследование простейших математических моделей,
• моделирование реальных ситуаций с использованием статистических и вероятностных методов,
• решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием известных формул;
• вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчёта числа исходов.

Характеристика задания. Несложная задача по теории вероятностей или статистике. Комментарий. Для решения задачи достаточно уметь находить отношение числа благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу всех равновозможных исходов.

Типичные ошибки

• вероятность события - это десятичная дробь, а не целое число.

Справочный материал

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

А

называется противоположным событию А , если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Вероятности противоположных событий:

Формула сложения вероятностей:

Формула сложения для несовместных событий:

Условная вероятность В при условии, что А наступило

Формула умножения вероятностей:

Формула Бернулли вероятности k успехов в серии из n испытаний :

р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема решения задач:

• Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события . Убедиться, что они равновероятны.
• Найти общее число элементарных событий ( N ).
• Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А , и найти их число N(A) .
• Найти вероятность события А по формуле:

Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя.

Решение:

Случайный эксперимент – бросание жребия .

Элементарное событие – участник, который выиграл жребий .

Число элементарных событий: N=4

Событие А = { жребий выиграл Петя } , N(A)=1

Ответ: 0,25

Реши самостоятельно!

Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек.

Алексей

Иван

Татьяна

Ольга

Ответ: 0,5

Реши самостоятельно!

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Ответ: 0,3

Реши самостоятельно!

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Ф/1

Ф/2

ОР

Ф/3

ОР

ОР

ОР

ОР

ОР

ОР

РО

РО

ОР

РО

РО

РО

ОР

РО

РО

ОР

ОР

РО

РО

РО

РО

ОР

РО

О – орел (первый)

Р – решка (второй)

Ответ: 0,375

Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4 .

Решение:

Случайный эксперимент – бросание кубика .

Элементарное событие – число на выпавшей грани .

Всего граней:

Элементарные события:

1, 2, 3, 4, 5, 6

N=6

N(A)=2

Ответ:1/3

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 0,5

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 0,5

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 1/3

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение:

Возможные исходы события:

1 бросок

2 бросок

N=4

О

О

Р

О

N(A)=2

решка - Р

орел - О

О

Р

4 исхода

Р

Р

Ответ:0,5

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй -РЕШКА)

1

О

2

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,25

Реши самостоятельно!

Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ.

1

О

2

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,75

Задача 4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение:

N=36

Множество элементарных исходов:

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

A= {сумма равна 8}

N(А)=5

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Ответ:5/36

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6.

Числа на выпавших сторонах

6

1

2

5

4

3

3

4

2

5

6

1

Всего вариантов 36

Комбинаций с первой «6»

61,62,63,64,65,66

Ответ: 1/6

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков.

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

Ответ: 1/6

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А= { сумма очков равна 5 }

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

Ответ: 4

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна?

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

Ответ: 7

Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.

N=8

Множество элементарных исходов:

Решение:

N(А)=3

1 бросок

2 бросок

3 бросок

A= {орел выпал ровно 2 }

О

О

О

О

Р

О

О

О

Р

Р

О

Р

8 исходов

О

Р

О

О

Р

Р

О

Р

Р

Р

Р

Р

Ответ: 0,375

Реши самостоятельно!

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы?

1

2

О

О

О

3

О

О

О

Р

Р

О

Р

Р

О

Р

О

Р

О

О

Р

Р

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,5

Реши самостоятельно!

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны.

1

2

О

О

О

3

О

О

О

Р

Р

О

Р

Р

О

Р

О

Р

О

О

Р

Р

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,5

1

2

О

О

О

3

О

О

О

4

О

О

О

О

Р

О

О

Р

Р

О

О

Р

О

Р

Р

О

Р

О

О

О

Р

Р

Р

Р

О

О

Р

Р

О

Р

Р

О

О

Р

О

О

О

Р

Р

Р

Р

Р

Р

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

Реши самостоятельно!

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Ответ: 0,25

Задача 6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение:

Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25

N=25

A= {последний из Швеции}

N(А)=9

Ответ: 0,36

Задача 7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение:

N= 1000

A= {аккумулятор исправен}

N(A)= 1000 – 6 = 994

Ответ: 0,994

Задача 8 . В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США , остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение:

Проверка:

Реши самостоятельно

A= {первой будет спортсменка из Китая}

• Определите N
• Определите N(A)

N = 20

N(A)= 20 – 8 – 7 = 5

Ответ: 0,25

2 способ : использование формулы сложения вероятностей несовместных событий

R={первая из России}

A={первая из США}

C={Первая из Китая}

P(R) + P(A) + P(C) = 1

P(C) = 1 - P(R) - P(A)

Задача 9 . В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе.

Решение:

Множество элементарных событий: N=16

A={команда России во второй группе}

С номером «2» четыре карточки: N(A)=4

Ответ: 0,25

Реши самостоятельно!

В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин?

Ответ: 0,125

Реши самостоятельно!

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России.

Ответ: 0,35

Реши самостоятельно!

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

5000 – 2512 = 2488

Ответ: 0,498

Задача 10. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Решение:

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

Ответ: 0,9

Задача 11. Н а экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}

B={вопрос на тему «Параллелограмм»}

События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно

С={вопрос по одной из этих тем}

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,2 + 0,15=0,35

Ответ: 0,35

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

А={кофе закончится в первом автомате}

B={кофе закончится во втором автомате}

Решение:

Р(А)=Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей:

Ответ: 0,52

Диагн. работа 7. 12.2011 В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

• Поскольку обе двухрублевые монеты оказались в одном кармане, то возможны 2 варианта: либо Петя их вообще не перекладывал, либо переложил сразу обе.

• В первом случае, когда двухрублевые монеты не перекладывались, придется переложить 3 монеты по рублю. Поскольку всего таких монет 4, число способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 3: C 4 3 .

Во втором случае, когда обе двухрублевые монеты были переложены, придется переложить еще одну рублевую монету. Ее надо выбрать из 4 существующих, и число способов так поступить равно числу сочетаний из 4 по 1: C 4 1 .

Ответ: 0,4

Диагн. работа 7. 12.2011 В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

• Чтобы пятирублевые монеты лежали в разных карманах, надо переложить только одну из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 2 по 1: C 2 1 .

• Поскольку всего Петя переложил 3 монеты, придется переложить еще 2 монеты по 10 рублей. Таких монет у Пети 4, поэтому количество способов равно числу сочетаний из 4 по 2: C 4 2 .

• Осталось найти, сколько всего есть вариантов переложить 3 монеты из 6 имеющихся. Это количество равно числу сочетаний из 6 по 3: C 6 3 .

• В последнем шаге мы умножали число способов выбрать двухрублевые монеты и число способов выбрать десятирублевые, поскольку данные события независимы.

Ответ: 0,6

Тренир. раб. 27.11.11

Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того. Что при одном из бросков у нее выпало 2 очка.

2

6

6

4

2

4

3

5

5

3

Ответ: 0,4

Трен. раб. 27. 11. 11

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение:

Всего 80 возможных исходов.

Благоприятен исход, когда россиянин займет одну из 18 позиций в списке выступающих третьего дня конкурса. (80 -8) : 4 = 18

Вероятность находим, как отношение благоприятных исходов эксперимента 18

к числу всех возможных исходов 80.

Ответ: 0,225

18/80 = 0,225

Трен. раб. 11. 02. 12 Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каком-либо шахматистом из России.

Решение

• Итак, всего участников 76, исключая Ефимова, остается 75. Александр Ефимов равновероятно окажется с любым из этих 75 оставшихся шахматистов, т.е. это всего исходов.
• Затем определяем количество благоприятных исходов. У нас их 3, т.к. кроме Александра, у нас еще 3 шахматиста из России.

Ответ: 0,04

Источник материала:

ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь

Авторы: И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко