Статья "Элементы логики, комбинаторики, и теории вероятности"

Выступление в рамках августовской конференции педагогических работников Высокогорского муниципального района на секции учителей математики на тему: "Элементы логики, комбинаторики, и теории вероятности в условиях реализациигосударственного стандарта основного и среднего общего образования по математике"

учитель Костравтова Валентина Сергеевна

Аннотация

Настоящее методическое пособие в первую очередь нацелено на оказание методической помощи учителям математики, приступающим к преподаванию теории вероятностей и статистики. В нём подробно освещены задачи, стоящие перед курсом теории вероятностей и статистики в средней общеобразовательной школе. Обращается внимание учителя на наиболее важные вопросы курса и на связи между ними. Даны решения и способы записи наиболее важных типовых задач. Большой объем практических заданий поможет учащимся без труда освоить основы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Материал, изложенный в пособии, может быть полезен и школьным учителям при подготовке к урокам, и преподавателям методики обучения математике в школе, и родителям учащихся.

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

А.Н.Колмогоров

Пояснительная записка

В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики. Об этом речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

В соответствии с федеральным компонентом Государственного стандарта образования и программу по математике за курс основной (средней) школы включаются элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления о жёстких связях, и о случайном. Необходимо научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

Теория вероятностей как наука начала складываться в XVII веке. Источником задач для неё служили азартные игры. В частности, игра в кости, которая тогда была распространена в Западной Европе. В этих задачах главное – выбор равновозможных элементарных событий. Одновременно с развитием теории вероятностей стала развиваться статистика. К XVII веку относятся и первые научные применения статистики в демографии и страховании, идеи о случайных ошибках в измерениях.

Теория вероятностей и статистика долгое время развивались как естественные науки, хотя и с большой математической составляющей. В отрасль математики теория вероятностей превратилась только в XX веке. На аксиоматическую основу её поставил наш великий соотечественник А.Н. Колмогоров. До него некоторые сложные понятия теории вероятностей не были полностью изучены. В школьном курсе мы не касаемся аксиоматики Колмогорова, но пользуемся введёнными им и общепринятыми сейчас понятиями: случайный эксперимент, элементарное событие и так далее.

Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов математики в самых различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило во многих развитых странах вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. В России этот вопрос начал обсуждаться ещё раньше. Ещё в 1914 году он рассматривался на заседании секции математики Российской академии наук, рекомендовавшей включение элементов теории вероятности и статистики в школьные программы.

В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественно – научных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

В 2003-2004 гг. были изданы специальные дополнения к учебникам математики для 7-9 классов, в которых изложен теоретический материал и приводится большое количество задач и упражнений по элементам статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Материал по данному курсу включён уже в некоторые учебники математики. Но в каждом из них отражён авторский подход к отбору материала и последовательности изложения тем.

При разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе следует руководствоваться следующими положениями:

• дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистики и их тесной взаимосвязи;

• подчёркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов;

• избегать излишнего формализма;

• избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр;

• иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей входят в материалы для итоговой аттестации выпускников основной школы. При изучении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе следует ориентироваться на следующее содержание:

• Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.

• Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результаты измерений.

• Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений.

Государственным стандартом образования предусмотрен обязательный минимум, и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

Для основного общего образования, по теме – Элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей на данный момент установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

В результате изучения математики ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов.

В результате изучения элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащийся должен уметь:

• Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.

• Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.

• Вычислять среднее значения результатов измерений

• Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные

• Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц

• Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов

• Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией

Изучение элементов комбинаторики, вероятности, статистики целесообразно начинать в 5 классе и продолжать в течение всего дальнейшего периода обучения (постепенный переход от простого к сложному).

На всех ступенях обучения фактически формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами.

Рассмотрю примерное содержание обучения для каждого этапа обучения.

5-6 классы

Существование и построение комбинаций с какими-либо заданными свойствами. Перебор возможных вариантов. 
Достоверное, невозможное, случайное событие. Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных соображений, на классической, статистической основах, с помощью геометрических соображений. 
Представление данных. Чтение таблиц, диаграмм.

7-9 классы

Комбинаторные правила произведения и сложения. Решение комбинаторных задач на правила умножения и сложения. 
Эксперимент со случайными исходами, случайное событие. Операции над событиями. Частота события. Вероятность события. Вычисление вероятности наступления случайных событий на классической, статистической, геометрической основах. 
Первичная обработка статистических данных. Наглядное представление статистической информации. Статистические характеристики. Статистические исследования. Статистическое оценивание и прогноз.

10-11 классы

Размещения, перестановки, сочетания. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. 
Вероятностное пространство. Вероятность события. Вероятности суммы и произведения событий. Решение задач. [Случайные величины и их характеристики.Понятие о законе больших чисел.] 
В ходе изложения вопросов данной линии включаются сведения по историческому становлению и развитию изучаемых явлений.

Цели и задачи раздела

Основная цель изучения раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» – ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчета их числа; ввести понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Изучение темы начинается с решения задач, в которых требуется составить те или иные комбинации элементов и подсчитать их число. Разъясняется комбинаторное правило умножения, которое используется в дальнейшем при выводе формул для подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний.

При изучении данного материала необходимо обратить внимание учащихся на различие понятий «размещение» и «сочетание», сформулировать у них умение определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче.

В данной теме учащиеся знакомятся с начальными сведениями из теории вероятностей. Вводятся понятия «случайное событие», «относительная частота», «вероятность случайного события». Рассматриваются статистический и классический подходы к определению вероятности случайного события. Важно обратить внимание учащихся на то, что классическое определение вероятности можно применить только к таким моделям реальных событий, в которых все исходы являются равновозможными.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, – стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.Не умея и/или не желая учиться, не понимая необходимости этого, подросток тратит много времени и сил на домашние задания, испытывает перегрузку, отсутствие радости и отрицательные чувства к учению. Причины неуспеваемости в средних классах связаны с отсутствием адекватной мотивации учения, со смещением акцентов на формальные элементы учебной деятельности.

Таким образом, решающее значение для развития теоретического мышления и логической памяти имеет организация и мотивация учебной деятельности в средних классах школы, содержание учебных программ, система методов подачи учебного материала и контроля за его усвоением.

Ожидаемые результаты освоения раздела программы

В результате изучения раздела «Элементы комбинаторики и теория вероятностей» обучающийся должен:

Знать/понимать:

• понятия перестановки, размещения, сочетания и соответствующие формулы для их подсчета;

• понятия относительной частоты и вероятности случайного события;

• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира.

Уметь:

• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;

• вычислять средние значения результатов измерений;

• находить частоту события;

• находить вероятности случайных событий в простейших случаях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;

• распознавания логически некорректных рассуждений;

• решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

• сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;

• понимания статистических утверждений.