Решение уравнений в целых числах

Задачи с целочисленными неизвестными

Павловская Нина Михайловна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 92

г. Кемерово

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения получили название диофантовых уравнений .

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

• Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида

ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0

Если с = 0 , то решение очевидно х = 0, у = 0.

Если с ≠ 0 , и решение (х 0 ; у 0 ) , то целое число

ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b) , поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b .

Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.

• Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ) , и (a ; b) = 1 , то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение.

Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х 0 =1; у 0 =2

6

16

11

х

1

у

?

2

?

?

?

?

?

-4

-1

-7

Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение вида не имеет решений в натуральных числах.

Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.

Метод разложения на множители .

1) Решить в целых числах уравнение

x + y = xy.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

2. Решите в целых числах уравнение:

3х² + 4ху – 7у²= 13.

Решение: 3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,

3х(х – у) +7у(х – у) = 13,

(х – у)(3х + 7у) = 13.

Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,

1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2,

3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1

2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2,

3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8.

3 . х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2,

3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = -1.

4. х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2,

3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8.

Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)

3 . Решите в целых числах уравнение:

9х² + 4х – ху +3у = 88.

Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,

9х² + 4х – 88 = у(х – 3)

так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то

х

у

- 2

2

12

4

44

8

72

104