Различные способы решения квадратных уравнений

Различные способы решения

квадратных уравнений

У.У.Сойер:"Человеку изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт".

Способы

решения

квадратного

уравнения

Х 2 +4x-5=0

• 1СПОСОБ . Разложение левой части уравнения на множители .

Решим уравнение х 2 + 4x – 5 = 0.

Разложим левую часть на множители:

x 2 -x+5 х – 5 = 0 ;

( х 2 – х ) + ( 5 х – 5) = 0;

х ( х – 1 ) + 5( х – 1 ) = 0;

( х – 1 )( х +5 ) = 0

Тогда х 1 = 1 и х 2 = - 5

Ответ: 1; -5

• 2СПОСОБ . Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

х 2 +4x=5;

х 2 + 2  2х=5;

х 2 + 2  2 х +4=5+4;

( х + 2 ) 2 =9.

Следовательно,

х + 2= 3 или х +2= - 3

х 1 = 1 х 2 = -5

Ответ: 1; -5

• 3СПОСОБ .Решение квадратных уравнений по формуле.

1)Уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0, имеет корни

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0, а ≠ 0.

x 1 =-4+ 16-4  1(-5)= -4+ 36 = -4+6 =1

2  1 2 2

x 1 = -4- 16-4•1(-5)= -4- 36 = -4-6 = -5

2  1 2 2

Ответ: 1; -5

0;k=2. Ответ: 1; -5" width="640"

2)Уравнение ax 2 +2kx+c=0, a=0 имеет корни

x 1,2 =

Решим уравнение x 2 +4x-5=0,a0;k=2.

Ответ: 1; -5

• 4СПОСОБ. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

х2 + px + q = 0.

  Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при

а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p.

Применим этот способ к нашему уравнению

  x 2 +4x-5=0.

x 1 +x 2 =-4, x 1 =1,

x 1 •x 2 =-5; x 2 =-5.

Ответ: 1; -5

• 5СПОСОБ. Решение уравнений способом «переброски».

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а .

Применим этот способ к нашему уравнению:

х 2 + 4х –5= 0 , ах = у, а=1.

у 2 + 4у – 5= 0

По т.Виета у 1 = 1,у 2 = -5.

Значит , x 1 =1,x 2 =-5.

Ответ: 1; -5

Рассмотрим другое уравнение

2x 2 +3x+1=0;

4x 2 +6x+2=0;

y 2 +3y+2=0;

D=9-4  1  2=1

x 1 =-1, x 2 =-1/2

Ответ:-1;-1/2

• 6СПОСОБ. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, a=0.

1)Если a+b+c=0, то x 1 =1,x 2 =c/a.

2) Если a-b+c=0, то x 1 =-1,x 2 =-c/a.

Применим этот способ к нашему уравнению:

х 2 + 4х -5 = 0.

а + b + с = 0, 1 + 4 – 5= 0

х 1 = 1,

х 2 = с/а = -5/1= -5.

Ответ: 1; -5

• 7СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х 2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = – рх – q.

Построим

графики зависимостей

у = х 2 и у = – рх – q.

(рис.1)

1)Если прямая и парабола пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два решения.

2) Если прямая и парабола пересекаются в одной точке, то уравнение имеет одно решение.

3)Если прямая и парабола не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

3)

1)

2)

Решим графически уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

x 2 =-4x+5

Построим y=x 2 и y=-4x+5

Прямая и парабола пересекаются в двух точках абсциссами х 1 = 1, х 2 = -5

Ответ: 1; -5

• 8СПОСОБ. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

1)Построим точки S ( -b/2a ; (а+с) /2a )(центр окружности) и А (0 ; 1).

2)Проведем окружность с радиусом SA;

3)Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ОХ является корнями исходного квадратного уравнения.

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

1. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

S ( - b/2a ;(а+с )/2a )

х = - b/2a = -4/2 = -2

у = (а+с) /2a =(1+(-5)):2 = - 2

S ( - 2 ; - 2) и А ( 0 ; 1 ).

2. Проведем окружность с R = SA , где А ( 0 ; 1 ).

R=

3. Абсцисса точек пересечения этой окружности с осью ОХ х 1 = 1, х 2 = - 5

Ответ: 1; -5

• 9СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z 2 +pz+q=0

Если это уравнение имеет корни разных знаков , то , найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят ,вычитая положительный из -p .В случае ,когда оба корня отрицательны, берут

z=-t и находят по номограмме два положительных корня t 1 и t 2 уравнения t 2 -pt+q=0,а затем z 1 =-t 1 , z 2 =-t 2 .Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнение

Уравнение, где k берется с таким расчётом, чтобы имели место неравенства:

Для решения нашего уравнения

х 2 + 4х –5 = 0

номограмма дает корень

х 1 = 1

Найдем x 2

x 2 =-p-1=-4-1=-5.

Ответ: 1; -5

• 10СПОСОБ. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Решим уравнение х 2 + 4х= 5.

Sпрям = 1  х

Sкв = 1  1= 1

S ABCD = х 2 + 4  Sпрям + 4  Sкв

S ABCD = х 2 + 4  1х + 4  1= х 2 + 4х + 4

заменяя х 2 + 4х числом 5, получим, что S = 5+ 4 =9.

Имеем (x+2) 2 =9

АВ = 3

х = 3 – 1 –1= 1.

Ответ: 1; -5

C

D

1

х

х

1

1

Х 2

х

х

1

A

B

11 СПОСОБ. Д ля нахождения корней приведённого квадратного уравнения х 2 + px + q = 0 полезно воспользоваться формулой

Применим этот способ к нашему уравнению

х 2 + 4х= 5.

Ответ: 1; -5

12 СПОСОБ. Формула Герона для решения квадратных уравнений

ax 2 + bx = c

Применим этот способ к нашему уравнению x 2 +4x-5=0.   x 2 +4x=5 x 1 =1,x 2 =-5 Ответ: 1;-5  

13СПОСОБ. Альтернативный метод решения квадратных уравнений.

( А.В.Борисов, канд.техн.наук, Л.Н.Королевич )

Рассмотрим новый метод решения квадрат-

ных уравнений, который применим к приведенным квадратным

уравнениям

Обозначения

a tr, b tr – длины катетов прямоугольного тре-

угольника (далее просто катеты);

c tr – длина гипотенузы прямоугольного тре-

угольника (далее просто гипотенуза);

αtr, βtr – острые углы против катетов a tr и b tr

соответственно;

φtr – один из острых углов прямоугольного

треугольника (atr или btr );

m tr – длина медианы, опущенной на гипоте-

нузу (далее просто медиана);

h tr – длина высоты, опущенной на гипотенузу

(далее просто высота);

θtr – угол между медианой и высотой;

𝝌 tr – угол между медианой и гипотенузой.

Для этого необходимо:

1. определить величину угла θ (соответст-

вует углу φ tr ), как

2. определить величину угла φ (соответст-

вует углу φ tr ), как

или как

3. определить первый корень:

4. определить второй корень:

или

Применим этот способ к нашему уравнению

x 2 +4x-5=0.

Промежуточные величины определяются по формулам

Тогда

=

Ответ: 1; -5

Но как мы видим этот способ нельзя назвать самым удачным.

заключение

• Великий Д.Пойа говорил: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Мне хочется продолжить, если хотите научиться решать уравнения, то решайте их и не просто решайте, а решайте с вдохновением самым удачным и подходящим способом. Ведь Г.Лейбниц заметил: «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым». Ваше решение должно приносить Вам удовлетворение!

Литература

• Материалы сайта http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/EiS/2010_1/12_Korolevich.pdf
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов-М., «Советская Энциклопедия»,1979.
• Справочник по математике.-3-е изд., перераб./ Гусев В.А., Мордкович А.Г.-М.: Просвещение,1995.
• Газета «Математика» №24 июнь 1995 г.
• Журнал «Квант» №2 1996 г.
• В.В. Ткачук «Математика абитуриенту» 2001 г.
• «Энциклопедия элементарной математики» Книга вторая. Алгебра, 1951 г.
• Л.Ф.Пичурин «За страницами учебника алгебры"

Спасибо за внимание