Работа ученицы исследовательский проект

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

И

ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

  Секция МАТЕМАТИКА

Работу выполнила:

Епифанцева Марина, ученица 7И класса

Руководитель: Морозова Татьяна Владимировна,

учитель математики

высшей квалификационной категории

БЕРДСК – 2019

Цель:

Изучение истории возникновения некоторых часто используемых математических формул. Доказательство формул сокращённого умножения геометрическим способом.

Задачи:

• Познакомится с предметом геометрической алгебры.
• Проанализировать научную литературу и интернет-источники по данному вопросу.
• Сравнить алгебраические и геометрические доказательства формул сокращенного умножения.
• Систематизировать и обобщить полученные знания.
• Создать презентацию и бумажную модель для вывода формулы сумма кубов .

Краткая историческая справка

Греки времён Евклида решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков.

Это направление в развитие математики получило название  геометрической алгебры.

Геометрическая алгебра.  Основные положения.

• Алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам. 
• Сумма чисел или алгебраических переменных представлялась в виде отрезка, составленного из слагаемых отрезков.
• Произведение двух чисел или переменных представлялось в виде прямоугольника со сторонами равными отрезкам-множителям.

Геометрическая алгебра.  Основные положения.

• Вычитание происходило путём отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку.
• Деление осуществлялось с помощью понижения размерности сторон для площадей прямоугольников;
• В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.

Доказательство Евклида или геометрическое доказательство формулы суммы квадратов. ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а + b .

S = (а + b ) 2

Шаг 2.

Разделим стороны квадрата на отрезки a и b .

Шаг 3.

В результате образовалось четыре прямоугольника. Площадь каждого из них:

S 1 = a 2 , S 2 = ab , S 3 = ab , S 4 = b 2

Шаг 4.

Площадь большого квадрата будет равна сумме площадей этих четырех фигур:

S = ab + b 2 + a 2 + ab , но S = (а + b ) 2

Вывод:

Так как равны левые части уравнения , то равны и правые: ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 .

Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы разности квадратов ( а - b ) ( а + b )= а 2 - b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а . Площадь квадрата S = а 2

Шаг 2.

Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной b .

Его площадь S = b 2 .

Шаг 3.

Продолжим стороны квадрата со сторонами b , до пересечения со сторонами исходного квадрата. В результате образовалось три прямоугольника.

S 1 = b 2 , S 2 = а ( а - b ) , S 3 = b ( а - b )

Шаг 4 .

Тогда : S – S 1 = S 2 + S 3 , т . е .

а 2 - b 2 = ( а - b ) ( а + b )=a( а - b) + b( а - b)

Вывод: ( а - b ) ( а + b )= а 2 - b 2 .

Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы квадрат разности ( а - b ) 2 = а 2 - 2а b + b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а

и площадью S = а 2 .

Шаг 2.

Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной ( а - b ). Его площадь будет S = ( а - b ) 2 .

Шаг 3.

Продолжим стороны этих квадратов до пересечения со сторонами исходного квадрата. Найдём площадь каждого из образовавшихся прямоугольников :

S 1 = ( а - b ) 2 , S 2 = b ( а - b ) , S 3 = b ( а - b ) ,

S 4 = b 2

Шаг 4.

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 .

Площадь квадрата S 1 = S – ( S 2 + S 3 + S 4 ).

Вывод:

S 1 = а 2 - b ( а - b ) - b ( а - b ) - b 2 = а 2 - 2а b + b 2 . Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 + 3 a 2 b+ 3a b 2 + b 3

( a+b) 3 = a 3 + b ( a + b )( a + b ) + a (а+ b ) b + аа b =

= a 3 + b ( a 2 +2а b + b 2 )+ +aab+abb+aab=

= a 3 + a 2 b+ 2а b 2 + b 3 + a 2 b+ а b 2 + a 2 b=

= a 3 + 3a 2 b+ 3 а b 2 + b 3 .

V = V 1 + V 2 + V 3 + V 4

Геометрическое доказательство формулы сумма кубов. а 3 + b 3 = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 )

Шаг 1. Надо взять куб с длиной ребра а и куб с длиной ребра b . Объём полученного многогранника V = V 1+ V 2 = а 3 + b 3

Шаг 2 . Рассмотрим прямоугольный параллелепипед у которого одно ребро (а + b ), а два другие равны а. Объём прямоугольного параллелепипеда

V 3 = ( а + b ) а 2

Шаг 3. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, b и а состоит куба объём которого V 2 = b 3 , Прямоугольного параллелепипеда объём которого

V 4 = ( а - b ) b 2 и прямоугольного параллелепипеда объём которого

V 5 = ( а - b ) а b .

Тогда: V 1 + V 2 = V 3 - ( V 4 + V 5 ) или а 3 + b 3 = ( а + b ) а 2 - ( а - b ) b 2 -( а - b ) а b = а 2 ( а + b ) - b ( а - b ) ( а + b ) = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 ).

Получили: а 3 + b 3 = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 ). Что и требовалось доказать.

Выводы

• С помощью таких геометрических объектов, как отрезок, прямоугольник и параллелограмм, т.е. с помощью геометрической алгебры мне удалось доказать формулы сокращенного умножения .
• Геометрический способ доказательства формул сокращённого умножения нагляднее алгебраического и достаточно простой.

Список используемых источников информации

• Справочник по элементарной математике. Выгодский М. Я. ,Москва, 2006
• http :// n - t . ru / N – T . ru Электронная библиотека. Наука и техника. Родословная формулы Р. САФАРОВ (Институт истории АН Таджикистана)
• http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg . Геометрическая алгебра.
• https://mathvox.ru/algebra/formuli-sokraschennogo-umnojeniya . Геометрическое доказательство формул сокращённого умножения.

• http://www.kvadromir.com/geom_alg.html . История математики. Геометрическая алгебра.

Спасибо за внимание