kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Работа ученицы исследовательский проект

Нажмите, чтобы узнать подробности

Изучение истории возникновения часто используемых  формул и способов их доказательства.

Просмотр содержимого документа
«Работа ученицы исследовательский проект»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ» ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ   Секция МАТЕМАТИКА Работу выполнила: Епифанцева Марина, ученица 7И класса Руководитель: Морозова Татьяна Владимировна, учитель математики высшей квалификационной категории БЕРДСК – 2019

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

И

ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

  Секция МАТЕМАТИКА

Работу выполнила:

Епифанцева Марина, ученица 7И класса

Руководитель: Морозова Татьяна Владимировна,

учитель математики

высшей квалификационной категории

БЕРДСК – 2019

Цель: Изучение истории возникновения некоторых часто используемых математических формул. Доказательство формул сокращённого умножения геометрическим способом.  Задачи:

Цель:

Изучение истории возникновения некоторых часто используемых математических формул. Доказательство формул сокращённого умножения геометрическим способом.

Задачи:

  • Познакомится с предметом геометрической алгебры.
  • Проанализировать научную литературу и интернет-источники по данному вопросу.
  • Сравнить алгебраические и геометрические доказательства формул сокращенного умножения.
  • Систематизировать и обобщить полученные знания.
  • Создать презентацию и бумажную модель для вывода формулы сумма кубов .
Краткая историческая справка  Греки времён Евклида решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков.  Это направление в развитие математики получило название  геометрической алгебры.

Краткая историческая справка

Греки времён Евклида решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков.

Это направление в развитие математики получило название  геометрической алгебры.

Геометрическая алгебра.  Основные положения.

Геометрическая алгебра.  Основные положения.

  • Алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам. 
  • Сумма чисел или алгебраических переменных представлялась в виде отрезка, составленного из слагаемых отрезков.
  • Произведение двух чисел или переменных представлялось в виде прямоугольника со сторонами равными отрезкам-множителям.
Геометрическая алгебра.  Основные положения.

Геометрическая алгебра.  Основные положения.

  • Вычитание происходило путём отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку.
  • Деление осуществлялось с помощью понижения размерности сторон для площадей прямоугольников;
  • В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.
Доказательство Евклида или геометрическое доказательство формулы суммы квадратов.  ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2   Шаг 1. Рассмотрим квадрат со стороной а + b .  S = (а + b ) 2  Шаг 2.  Разделим стороны квадрата на отрезки a и b . Шаг 3.  В результате образовалось четыре прямоугольника. Площадь каждого из них:  S 1 = a 2 , S 2 = ab , S 3 = ab , S 4 = b 2 Шаг 4.  Площадь большого квадрата будет равна сумме площадей этих четырех фигур:  S = ab + b 2 + a 2 +  ab , но S = (а + b ) 2  Вывод:  Так как равны левые части уравнения , то равны и правые: ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 .  Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида или геометрическое доказательство формулы суммы квадратов. ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а + b .

S = (а + b ) 2

Шаг 2.

Разделим стороны квадрата на отрезки a и b .

Шаг 3.

В результате образовалось четыре прямоугольника. Площадь каждого из них:

S 1 = a 2 , S 2 = ab , S 3 = ab , S 4 = b 2

Шаг 4.

Площадь большого квадрата будет равна сумме площадей этих четырех фигур:

S = ab + b 2 + a 2 + ab , но S = (а + b ) 2

Вывод:

Так как равны левые части уравнения , то равны и правые: ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 .

Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы разности  квадратов  ( а - b )  ( а + b )= а 2 - b 2  Шаг 1.  Рассмотрим квадрат со стороной а . Площадь квадрата S = а 2  Шаг 2.  Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной b .  Его площадь S = b 2 .  Шаг 3.  Продолжим стороны квадрата со сторонами b , до пересечения со сторонами исходного квадрата. В результате образовалось три прямоугольника.  S 1 = b 2 , S 2 = а ( а - b ) , S 3 = b ( а - b ) Шаг  4 .  Тогда : S – S 1 = S 2 + S 3 , т . е .  а 2 - b 2 = ( а - b )  ( а + b )=a( а - b) + b( а - b) Вывод: ( а - b )  ( а + b )= а 2 - b 2 .  Что и требовалось доказать.  

Геометрическое доказательство формулы разности квадратов ( а - b ) ( а + b )= а 2 - b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а . Площадь квадрата S = а 2

Шаг 2.

Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной b .

Его площадь S = b 2 .

Шаг 3.

Продолжим стороны квадрата со сторонами b , до пересечения со сторонами исходного квадрата. В результате образовалось три прямоугольника.

S 1 = b 2 , S 2 = а ( а - b ) , S 3 = b ( а - b )

Шаг 4 .

Тогда : S – S 1 = S 2 + S 3 , т . е .

а 2 - b 2 = ( а - b ) ( а + b )=a( а - b) + b( а - b)

Вывод: ( а - b ) ( а + b )= а 2 - b 2 .

Что и требовалось доказать.

 

Геометрическое доказательство формулы  квадрат разности   ( а - b ) 2 = а 2 - 2а b + b 2    Шаг 1.  Рассмотрим квадрат со стороной а  и площадью S = а 2 . Шаг 2.  Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной ( а - b ). Его площадь будет S = ( а - b ) 2 .  Шаг 3.  Продолжим стороны этих квадратов до пересечения со сторонами исходного квадрата. Найдём площадь каждого из образовавшихся прямоугольников :  S 1 = ( а - b ) 2 , S 2 = b ( а - b ) , S 3 = b ( а - b ) ,   S 4 = b 2 Шаг 4.  S = S 1 + S 2 +  S 3 +  S 4 .  Площадь квадрата S 1 =  S – ( S 2 +  S 3 +  S 4 ).  Вывод:  S 1 = а 2 - b ( а - b ) - b ( а - b ) - b 2 = а 2 - 2а b + b 2 . Что и требовалось доказать.  

Геометрическое доказательство формулы квадрат разности ( а - b ) 2 = а 2 - 2а b + b 2

Шаг 1.

Рассмотрим квадрат со стороной а

и площадью S = а 2 .

Шаг 2.

Отложим на стороне квадрата отрезок b , так чтобы получился квадрат со стороной ( а - b ). Его площадь будет S = ( а - b ) 2 .

Шаг 3.

Продолжим стороны этих квадратов до пересечения со сторонами исходного квадрата. Найдём площадь каждого из образовавшихся прямоугольников :

S 1 = ( а - b ) 2 , S 2 = b ( а - b ) , S 3 = b ( а - b ) ,

S 4 = b 2

Шаг 4.

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 .

Площадь квадрата S 1 = S – ( S 2 + S 3 + S 4 ).

Вывод:

S 1 = а 2 - b ( а - b ) - b ( а - b ) - b 2 = а 2 - 2а b + b 2 . Что и требовалось доказать.

 

Геометрическое доказательство формулы  (a+b) 3 =a 3 + 3 a 2 b+ 3a b 2 + b 3   ( a+b) 3  = a 3  + b ( a + b )( a + b ) + a (а+ b ) b + аа b  = = a 3  + b ( a 2 +2а b + b 2 )+  +aab+abb+aab= = a 3 + a 2 b+  2а b 2 + b 3 + a 2 b+ а b 2 + a 2 b= = a 3 + 3a 2 b+  3 а b 2 + b 3 . V = V 1 + V 2 + V 3 + V 4

Геометрическое доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 + 3 a 2 b+ 3a b 2 + b 3

( a+b) 3 = a 3 + b ( a + b )( a + b ) + a (а+ b ) b + аа b =

= a 3 + b ( a 2 +2а b + b 2 )+ +aab+abb+aab=

= a 3 + a 2 b+ 2а b 2 + b 3 + a 2 b+ а b 2 + a 2 b=

= a 3 + 3a 2 b+ 3 а b 2 + b 3 .

V = V 1 + V 2 + V 3 + V 4

Геометрическое доказательство формулы сумма кубов.   а 3 + b 3 = ( а + b )  ( а 2 - а b + b 2 )   Шаг 1. Надо взять куб с длиной ребра а и куб с длиной ребра b . Объём полученного многогранника V = V 1+  V 2 = а 3 + b 3 Шаг 2 . Рассмотрим прямоугольный параллелепипед у которого одно ребро (а + b ), а два другие равны а. Объём прямоугольного параллелепипеда  V 3 = ( а + b ) а 2 Шаг 3. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, b и а состоит куба объём которого V 2 =  b 3 , Прямоугольного параллелепипеда объём которого V 4 = ( а - b ) b 2 и прямоугольного параллелепипеда объём которого V 5 = ( а - b ) а b  . Тогда: V 1 + V 2 = V 3 - ( V 4 + V 5 ) или а 3 + b 3 = ( а + b ) а 2 - ( а - b ) b 2 -( а - b ) а b =  а 2 ( а + b ) - b ( а - b ) ( а + b ) = ( а + b )  ( а 2 - а b + b 2 ).  Получили: а 3 + b 3 = ( а + b )  ( а 2 - а b + b 2 ). Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы сумма кубов. а 3 + b 3 = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 )

Шаг 1. Надо взять куб с длиной ребра а и куб с длиной ребра b . Объём полученного многогранника V = V 1+ V 2 = а 3 + b 3

Шаг 2 . Рассмотрим прямоугольный параллелепипед у которого одно ребро (а + b ), а два другие равны а. Объём прямоугольного параллелепипеда

V 3 = ( а + b ) а 2

Шаг 3. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, b и а состоит куба объём которого V 2 = b 3 , Прямоугольного параллелепипеда объём которого

V 4 = ( а - b ) b 2 и прямоугольного параллелепипеда объём которого

V 5 = ( а - b ) а b .

Тогда: V 1 + V 2 = V 3 - ( V 4 + V 5 ) или а 3 + b 3 = ( а + b ) а 2 - ( а - b ) b 2 -( а - b ) а b = а 2 ( а + b ) - b ( а - b ) ( а + b ) = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 ).

Получили: а 3 + b 3 = ( а + b ) ( а 2 - а b + b 2 ). Что и требовалось доказать.

Выводы

Выводы

  • С помощью таких геометрических объектов, как отрезок, прямоугольник и параллелограмм, т.е. с помощью геометрической алгебры мне удалось доказать формулы сокращенного умножения .
  • Геометрический способ доказательства формул сокращённого умножения нагляднее алгебраического и достаточно простой.
Список используемых источников информации

Список используемых источников информации

  • Справочник по элементарной математике. Выгодский М. Я. ,Москва, 2006
  • http :// n - t . ru / N – T . ru Электронная библиотека. Наука и техника. Родословная формулы Р. САФАРОВ (Институт истории АН Таджикистана)
  • http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg . Геометрическая алгебра.
  • https://mathvox.ru/algebra/formuli-sokraschennogo-umnojeniya . Геометрическое доказательство формул сокращённого умножения.
  • http://www.kvadromir.com/geom_alg.html . История математики. Геометрическая алгебра.
Спасибо за внимание

Спасибо за внимание


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Работа ученицы исследовательский проект

Автор: Морозова Татьяна Владимировна

Дата: 15.03.2020

Номер свидетельства: 542841

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(147) "Презентация исследовательского проекта "Была ли альтернатива Ливонской войне?" "
    ["seo_title"] => string(85) "priezientatsiia-issliedovatiel-skogho-proiekta-byla-li-al-tiernativa-livonskoi-voinie"
    ["file_id"] => string(6) "191310"
    ["category_seo"] => string(8) "istoriya"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1427292039"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(176) "Краеведческая работа как средство формирования  проектно – исследовательских умений учащихся "
    ["seo_title"] => string(107) "kraieviedchieskaia-rabota-kak-sriedstvo-formirovaniia-proiektno-issliedovatiel-skikh-umienii-uchashchikhsia"
    ["file_id"] => string(6) "113386"
    ["category_seo"] => string(10) "vneurochka"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1410083291"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(163) "Исследовательский проект: «Победа ковалась не только на фронте,  победа ковалась в тылу» "
    ["seo_title"] => string(88) "issliedovatiel-skii-proiekt-pobieda-kovalas-nie-tol-ko-na-frontie-pobieda-kovalas-v-tylu"
    ["file_id"] => string(6) "210322"
    ["category_seo"] => string(16) "nachalniyeKlassi"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1431424026"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(97) ""Народные приметы о погоде" исследовательский проект"
    ["seo_title"] => string(57) "narodnyie_primiety_o_poghodie_issliedovatiel_skii_proiekt"
    ["file_id"] => string(6) "373600"
    ["category_seo"] => string(12) "russkiyYazik"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1482767422"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(136) "Исследовательский проект "Влияние социальных сетей на психику подростка" "
    ["seo_title"] => string(80) "issliedovatiel-skii-proiekt-vliianiie-sotsial-nykh-sietiei-na-psikhiku-podrostka"
    ["file_id"] => string(6) "110963"
    ["category_seo"] => string(9) "psihologu"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1406834783"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1800 руб.
2400 руб.
1700 руб.
2270 руб.
1610 руб.
2140 руб.
1640 руб.
2180 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства