"Производная. Основные понятия"

Владикавказское художественное училище имени Азанбека Джанаева

Выполнил: Беглецов Артем

1 ДИ

Содержание:

• Приращение функции
• Понятие о производной
• Определение производной
• Правила вычисления производной
• Производная сложной функции
• Производные тригонометрических функций

Приращение функции.

Δ f=f(x 0 + Δ x)-f(x 0 )

конспект

Определение.

Производной функции ƒ в точке

х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при Δ х, стремящемся к нулю.

Конец .

Понятие о производной.

(x 2 ) ΄ = Δ у / Δ x=(x 0 + Δ x) 2 -x 0 2 / Δ x=x 2 0 +2x Δ x+

+ Δ x 2 -x 0 2 / Δ x=2x 0 Δ x+ Δ x 2 / Δ x=2x 0 + Δ x →2x 0

↓

0

Назад

Определение производной.

f ΄ (x 0 )=lim / Δ x → 0

f(x 0 + Δ x)-f(x 0 )/ Δ x

f (x)- дифференцируема

с΄=0 ; x ΄ =1; (c x) ΄ =c (x) ΄ = c

Далее.

Правило вычисления производных.

( u ± v ) ΄ = u ΄ ± v ΄

(u · v ) ΄ = u ΄ v + u v ΄

(u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄ / v 2

(x n ) ΄ =n x n-1

Вперед.

Производная сложной функции.

h ( x ) = g ( f ( x ) )

h ΄ (x 0 )=g ΄ (f(x 0 )) ·f ΄ (x 0 )

Далее .

Производные тригонометрических функций.

( sin x) ΄ =cos x

(cos x) ΄ = - sin x

(tg x) ΄ = 1/cos 2

(ctg x) ΄ = -1/sin 2 x

h( x)=g ( f ( x ) )

h ΄ (x 0 )=g ΄ (f(x 0 )) ·f ΄ (x 0 )

Далее.

Дифференцирование.

Функцию, имеющую производную в точке х о называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D 1 -множество точек, в которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х € D 1 число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения D 1 .Эта функция называется производной функции

y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х 3 )=3х 2

(х 2 )=2х,( k х +b ) ΄ =k .В формуле k=0 , b= С

где С произвольная постоянная получаем

что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.

Приращение функции.

При сравнении значения функции ƒ в некоторой фиксированной точке х 0 значениями этой функции в различных

Точках х лежащих в окрестности х 0 ,удобно выражать разность ƒ (х)-ƒ (х 0 )

Через разность х-х 0 ,пользуясь понятиями «приращение аргумента»и

«приращение функции».

Δ х = х-х 0 → х = х 0 + Δ х.

Вследствие этого функции ƒ изменится на

Величину ƒ (х)- ƒ (х 0 )= ƒ (х 0 + Δ х)-ƒ (х 0 ).

Приращение функции.

Эта разность называется приращением

Функции ƒ в точке х 0 соответствующим

приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ ,

Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х 0 + Δ х)- ƒ (х 0 ),

откуда

ƒ(х)= ƒ (х 0 + Δ х)= ƒ (х 0 )+ Δ ƒ .

Обратите внимание :при фиксированном х 0

Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х.

Δ ƒ называют также приращением зависимой

Переменной и обозначают через Δ у для функции

У= ƒ (х).

ДАЛЬШЕ

Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х 0 ,а функция g имеет производную в точке у 0 = f( х 0 ),то сложная

функция h( х)= g (f( х)) также имеет производную в точке х 0 ,причем

h ΄ ( х 0 )= g ΄ (f( х 0 )) · f ΄ ( х 0 ).

Далее.

Приращение функции.

Пример 1.Найдем приращения Δ х и Δ f в точке х 0 ,если f( х ) = Х 2 ,А) Х 0 =2 и : Х=1,9 ;

Δ х = х-х 0 =1,9-2= - 0,1 ;

Δ f =f(1 ,9)- f(2)=1 ,9 2 -2 2 = - 0,39

НАЗАД

Производная сложной функции.

Пример 1.Найдем производную функции

h (x)=(2x+3) 100

Функцию h можно представить в виде сложной функции

h (x)=g (f (x)) , где g (y)=y 100 , y=f (x)=2x+3 .

Так как f ΄ (x)=2 и g ΄ (y)=100y 99 , имеем

h ΄ (x)=2 · 100y 99 =200(2x+3) 99

Назад.

Правила вычисления производных.

Правило 1.Если функции U и v дифференцируемое в точке х 0 ,то их сумма дифференцируема в этой точке и производная суммы равна сумме производных.

(U + v) ΄ = U΄ + v΄ .

Правило 2.Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0 ,то их произведение дифференцируемо в этой точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄.

Правило 3.Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0 и функции v не равна нулю в этой точке то

Частное u / v также дифференцируемо в х 0 и

(u / v ) ΄ =(u΄ v- u v΄) / v 2 .

Далее.

Правила вычисления производных.

Пример 1. Найдем производные функций :

А) f (x)=x 2 -1/x

(1/x) ΄ = - x ΄ /x 2 = -1/x 2 , поэтому (x 2 - 1/x ) ΄=

=(х 2 ) ΄-(1 /x) ΄ =2x-(-1/x 2 )=2x+1/x 2

Конец.

Производные тригонометрических функций.

Формула производной синуса. Докажем, что функция синуса имеет производную в любой точке и ( sin x) ΄ = cos x .

Применяя формулу

sin α –sin β =2cos α β /2 · sin α + β /2 ,

Находим

Δ sin x/ Δ x=sin(x 0 + Δ x)-sin x 0 / Δ x =

=2cos(x 0 + Δ x/2)sin Δ x/2/ Δ x=

= sin Δ x/2/ Δ x/2cos(x 0 + Δ x/2) .

Далее.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формулы достаточно показать ,что

а) sin Δ x/2/ Δ x/2 → 1 при Δ x → 0;

б) cos(x 0 + Δ x/2) → cos x 0 при Δ x → 0

Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу. Действительно, при Δ х→0

(x 0 + Δ x/2) Δ Δ sin x/ Δ x=sin Δ x/2/ Δ x/2 Δ· cos →

→ 1 · cos x 0 =cos x 0 .

Конец.

Формула приближенного вычисления.

У= f(x 0 )+f ΄ (x 0 )(x-x 0 )

У ≈ f(x 0 )+f '(x 0 ) Δ x

Производная в физике и технике.

V ср ( Δ t)= Δ x/ Δ t →v(t 0 )

Δ x/ Δ t →x'(t 0 )

V (t)= x´(t)

a=v' (t)

f 2 f и f ≠ 0 = (± со ns)" width="640"

Метод интервалов.

1 f Δ f →0 при Δ х → 0

f (x) →(a) при х → а

f '= f

2 f и f ≠ 0 = (± со ns)

Метод интервалов.

У= k x + b A(x 0 ;f(x 0 ))

У =f '(x) • x + b

f(x 0 ) =f´(x 0 ) • x 0 + b

b= f(x 0 )-f´(x 0 ) • x 0

У= f ´(x 0 ) x + f(x 0 )-f´(x 0 ) • x 0

У= f(x 0 )+f´(x 0 ) (x-x 0 )

0; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )f ´(x 1 )=1; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )=-1" width="640"

Касательная к графику функции.

k=f ´(x 0 )=tgα

f ´(x 1 )0; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )

f ´(x 1 )=1; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )=-1

Касательная к графику функции.

f (c)= f (b ) – f ( a ) / b - a