Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности плоскостей

Это

мы знаем

Предстоит

узнать

Это мы знаем

Прямая и плоскость в пространстве

Какие варианты расположения плоскости и прямой мы изучили?

Прямая лежит в плоскости

a  

а

α

Прямая не лежит в плоскости

а

a ∩  = М

M

α

а

a || 

α

m 

m

α

Вспомним план изучения темы

• Определение
• Признаки
• Свойства
• Задачи на построение
• Применение к решению задач разного типа

Каково взаимное расположение двух плоскостей в пространстве?

Две плоскости имеют общую точку, то

по аксиоме пересечения двух плоскостей -общую прямую.

Такие плоскости называются

пресекающимися .

β

а

α

M

Две плоскости не имеют общей точки.

Такие плоскости называются

параллельными.

 || β

α

β

Это мы изучим сегодня

Параллельность

плоскостей

План изучения темы:

• Определение параллельных плоскостей
• Признаки
• Свойства параллельных плоскостей
• Применение при решении задач

Определение.

Две плоскости, не имеющие общей точки, называются параллельными.

 || β

Теорема ( I признак параллельности плоскостей)

Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то данные плоскости параллельны.

Теорема ( I признак параллельности плоскостей)

Дано:

a  

b  

a ∩ b = M

a || β

b || β

Доказать:

 || β

b

а

M

α

β

Идея:

Рассуждаем методом от противного

Пусть  ∩ β = c,

т.е. c   и c  β .

III случай

I случай

II случай

a ∩ c = K,

b | | c

b ∩ c = E,

a | | c

a ∩ c и b ∩ c

Е

b

а

а

b

M

α

α

К

β

с

β

Е

а

Пусть  ∩ β = c, т.е. c   и c  β .

b

α

К

с

β

a ∩ c и b ∩ c, то

b ∩ c = E, то

a ∩ c = K, то

К  a , К  β 

a ∩ β

Е  b , Е  β 

b ∩ β ,

что противоречит условию

Е  b ,

Е  β , т.к.

Е  c и c  β .

К  a ,

К  β , т.к.

К  c и c  β .





a ∩ β , что противоречит условию

a || β

b ∩ β, что противоречит условию

b || β

a || β и b || β

Вывод:

Наше предположение, что  ∩ β неверно, следовательно,  || β.

Теорема доказана.

Теорема ( II признак параллельности плоскостей)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Докажите самостоятельно.

Затребованная помощь

• I карточка: условие и заключения теоремы.
• II карточка: рисунок.
• III карточка: идея доказательства.
• IV карточка: I этап доказательства.
• V карточка: II этап доказательства.

I карточка: условие и заключения теоремы.

Дано:

 , β, a   , b   , a ∩ b = M,

a 1  β, b 1  β,

a || a 1 , b || b 1

Доказать:

 || β

II карточка: рисунок.

b

а

M

α

b

а

1

1

β

III карточка: идея доказательства.

• Используй предыдущую теорему

I признак параллельности плоскостей

IV карточка: I этап доказательства.

• a || a 1 , a 1  β  a || β (по признаку параллельности прямой и плоскости)
• b || b 1 , b 1  β  b || β (по признаку параллельности прямой и плоскости)

V карточка: II этап доказательства.

Т.к. a || β и b || β, a ∩ b = M,

согласно I признаку

 || β.

Дано:

 , β, a   , b   , a ∩ b = M,

a 1  β, b 1  β, a || a 1 , b || b 1

Доказать:  || β

b

а

M

α

b

а

1

1

β

Доказательство:

Идея : Использовать при доказательстве

I признак параллельности плоскостей.

I этап: доказать, что a || β и b || β.

a || a 1 , a 1  β  a || β

b || b 1 , b 1  β  b || β

(по признаку параллельности прямой и плоскости)

II этап: согласно I признаку.

a || β и b || β, a ∩ b = M, то

Вывод:  || β

II способ доказательства

Дано:

 , β, a   , b   ,

a ∩ b = M,

a 1  β, b 1  β,

a || a 1 , b || b 1

Доказать:

 || β

b

а

M

α

b

а

1

1

β

Идея : Используем метод от противного.

с

а

b

M

а 1

b 1

Доказательство:

Идея : Используем метод от противного.

Допустим  ∩ β = с, т.е. с  β и с  

I этап:

a || β и b || β по признаку параллельности прямой и плоскости, то a и b не пересекают с, т.к. с  β 

а || с и b || с, т.к. они лежат в одной плоскости.

II этап: получили противоречие с аксиомой параллельных: через точку М можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Вывод: предположение, что  ∩ β неверно, т.е.

 || β