Презентация "Зеркальная симметрия в геометрии"

Зеркальная симметрия

Симметрия  - это гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.

Виды симметрии

а)  Лучевая симметрия  

б) О севая симметрия

в)  Центральная симметрия

г)  Зеркальная симметрия

Центральная симметрия

Зеркальная симметрия

Осевая симметрия

Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М 1 .

М

М

ММ

М

м

К

К

О

О





К 1

М 1

М

М 1

ОМ=ОМ 1 ; ММ 1  

МК=М 1 К 1

• Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии.

• Геометрическая фигура называется  симметричной   относительно плоскости  S ( рис.104 ), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E1 этой же фигуры, так что отрезок EE1 перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE1 ). Плоскость S называется  плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова. Они называются  зеркально равными .

• Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала.

Докажем,что  зеркальная симметрия есть движение .

Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1)

А1, В— В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда АВ=А1В1, т.е.Оху – движение." width="640"

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х1, у =у1, z = -z1.

Если М I Оху , то x=x1, y=y1, z=z1=0

Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А— А1, В— В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда

АВ=А1В1, т.е.Оху – движение.

Зеркально осевая симметрия. 

Если плоская фигура ABCDE  ( рис.107 ) симметрична относительно плоскости S

  ( что возможно, если только  плоская фигура перпендикулярна плоскости S ), то прямая KL, 

по которой эти плоскости пересекаются, является осью   симметрии   фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называется зеркально-симметричной .

•   Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB — зеркально-поворотная ось.

• Прямая призма  обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна её основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря двойственности отдельных элементов сооружение “читается” целиком даже при восприятии с одной стороны.

• Зеркальная симметрия-это симметрия окружающего нас мира. Построение изображения с помощью зеркальной симметрии сходно с изображением в зеркале.

Зеркальная симметрия в природе