Презентация на тему: "Арифметический корень степени n"

Арифметический корень степени n

Учитель: Ивашко Марина Фирсовна

МБОУ «Лицей №8»

г. Сосновый Бор

Ленинградская обл.

Корнем степени n , (n ≥ 2) из числа b называют такое число a ( если оно существует ) , n -я степень которого равна b .

Для нечётного n существует только один корень из любого числа b. Понятия корня степени n из неотрицательного числа b и арифметического корня той же степени из того же числа b совпадают.

Корнем степени n , (n ≥ 2) из числа b называют такое число a ( если оно существует ) , n -я степень которого равна b .

Для чётного n существуют два корня из положительного числа b. Один из них положительный :

это арифметический корень степени n из числа b .

это не арифметический

корень.

Утверждения

1. Если b — неотрицательное число, а n — любое натуральное число ( n ≥ 2), то запись

означает арифметический корень степе ни n из числа b .

2. Если b- отрицательное число, а n = 2 m + 1 ( m ≥ 1) — нечётное число, то запись означает корень степени 2 m + 1 из числа b , но этот корень не является арифметическим корнем.

3. Если b — отрицательное число, а n = 2 m ( m ≥ 1)— четное число,

то запись не имеет смысла.

Пример 1.

- это записи арифметических корней.

а) Записи

б) Записи

• это записи корней,

не являющихся арифметическими.

- не имеют смысла.

в) Записи

Утверждение

Например:

Теорема 1. Для натурального числа n ( n ≥ 2 ) и неотрицательного числа а справедливы равенства

Теорема 1.

Доказательство.

Т. к. а – неотрицательной число, то

есть по определению неотрицательное число,

n- я степень которого есть а.

Это и выражается равенством 1).

Теорема 1.

Доказательство.

Т. к. а – неотрицательной число, то а n ≥ 0

и есть по определению неотрицательное число, n- я степень которого есть а n . Таким числом является а.

Это и выражается равенством 2).

Пример 2.

Теорема 2. Для натурального числа n (n ≥ 2) и неотрицательных чисел а и b из равенства

а n = b n следует равенство а = b.

Доказательство.

Известно, что существует только один корень n- й степени из неотрицательного числа. Поэтому для неотрицательных чисел из их равенства корней n- й степени из них, т. е. из равенства а n = b n следует равенство

Учитывая, что а ≥ 0 и b ≥ 0, и используя

равенство 2)

получаем, что

Следовательно, а = b.

Теорема 3. Для натурального числа n (n ≥ 2) и неотрицательных чисел а, b и с (с ≠ 0 ) из справедливы равенства

Теорема 3.

Доказательство.

Из равенства имеем

Правые части полученных равенств равны. Следовательно, равны и левые их части

Т. к. числа неотрицательны, то, применяя теорему 2, получаем, что справедливо равенство (3).

Аналогично доказывается равенство

Пример 3.

Замечание. 1). Если n – нечётное число, то теоремы 1, 2, 3 справедливы для любых действительных чисел а, b и с (с ≠0).

2). Для натурального числа m и любого действительного числа а справедливо равенство

потому, что

Пример 4.

Вынесение множителя из под знака корня.

Пример 5.

Вопросы

1.Что называют корнем степени n , (n ≥ 2 )

из числа b ? Привести примеры.

Корнем степени n , (n ≥ 2) из числа b называют такое число a ( если оно существует ) , n -я степень которого равна b .

2. Что называют арифметическим корнем степени n , (n ≥ 2) из числа b ? Привести примеры .

Неотрицательный корень степени n , (n ≥ 2) из неотрицательного числа b называют арифметическим корнем степени n из числа b .

Вопросы

3. Для каких чисел а Є R введено понятие арифметического корня степени n , (n ≥ 2) из числа а?

a ≥0 .

4. Сколько существует арифметических корней степени n , (n ≥ 2) из данного числа? .

Не более одного.

Вопросы

5. Чему равен корень степени n , (n ≥ 2) из

произведения неотрицательных чисел?

Р a вен произведению корней степени n , из

этих чисел.

6. Чему равен корень степени n , (n ≥ 2) из

частного положительных чисел?

Р a вен частному корней степени n , из

этих чисел.

Вопросы

7. Является ли записью

арифметического корня выражение ?

нет

нет

да

нет

да

Верны ли утверждения

Нет

2 ). Если а n ≥ b n , то а ≥ b.

Нет

3) Для каких значений а и b утверждения 1) и 2) будут верными?

Для неотрицательных

Вычислите

Ответы

Литература

• Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений.

С. М. Никольский, М. К. Потапов,

Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин.