Понятие предела функции

• Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (х α ),   показательная функция (a x ), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках. 

у =  x 2

Предел функции    при   x  → 2 равен 4 ( при   x  → 2 значения функции → 4).

Примеры функций, имеющих предел в точке

Предел функций    при   x  → 0 равен 0.

Примеры функций, не имеющих предел в точке

у

у

у

А

1

х

О

а

х

О

а

О

х

-1

Свойства предела функции в точке

Если функции   f   ( x )   и   g   ( x )   имеют конечные пределы в точке   a , причем      

То

  если   B   ≠   0   и если   g   ( x )   ≠   0   в δ-окрестности точки   a .

Вычисление предела функции в точке

Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Найдем

Предел числителя

Предел знаменателя

.

Используя теорему о пределе частного, получим

Найдем

Предел числителя

Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.

Величина 1/( x -3) является бесконечно большой величиной при x →3. Тогда

Раскрытие неопределенности

• При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
• Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.  

Разделим числитель и знаменатель на  х 2

Разделим числитель и знаменатель на х 4  

  Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться  конечное число , ноль или бесконечность.

Разделим числитель и знаменатель на  х 2

  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Очевидно, что можно сократить на  (х+1)

Вычислить предел 

:

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

  В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0

Общее правило:  если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия  нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Найти предел 

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. 

Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют  метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.  

Замечательные пределы

• первый замечательный предел

• второй замечательный предел

Примеры

 0 существует δ  0 такое, что для всех    выполняется неравенство   При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А 1   А 1 + ε А 1 А 1 - ε а х О а-δ" width="640"

Односторонние пределы

Предел функции  слева

у

• Число  A 1  называется  пределом функции f (x) слева  в точке  a , если для каждого ε  0 существует δ  0 такое, что для всех    выполняется неравенство  
• При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А 1  

А 1 + ε

А 1

А 1 - ε

а

х

О

а-δ

 0 существует δ  0 такое, что для всех    выполняется неравенство  При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А 2   А 2 + ε А 2 А 2 - ε а х О а+δ у Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева. А х О а" width="640"

Предел функции  справа

у

• Число  A 2  называется  пределом функции f (x) справа  в точке  a , если для каждого ε  0 существует δ  0 такое, что для всех    выполняется неравенство 
• При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А 2  

А 2 + ε

А 2

А 2 - ε

а

х

О

а+δ

у

• Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.

А

х

О

а