Подготовка к ЕГЭ. Задание №18

Геометрия является неотъемлемой частью математического образования и интеллектуального развития учащихся. Задания по геометрии входят и в 1 и во 2 части ЕГЭ по математике. В частности ,задача №18 (С4)- задача повышенной сложности по планиметрии.

Не секрет, что большая часть учащихся не приступает к решению этой задачи. Даже не прочитав условие, они уверены, что не решат ее. Поэтому очень важно , изучая теоремы, следствия из них, показывать их применение в различных ситуациях, даже самых неожиданных на первый взгляд. Некоторые задачи повышенной сложности можно рассматривать, например, с учащимися 8 класса. Так при изучении темы « Площадь треугольника» очень важно обратить внимание на следующие свойства медианы:1) медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника ; 2)медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. (Слайды 2,3) Для закрепления можно предложить решить задачу №18а из тренировочной работы №2 ( Математика.Типовые тестовые задания 2015, под редакцией И.В. Ященко) .(слайды 4) Для того, чтобы доказать, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади заданного треугольника, учащиеся должны увидеть, что площади всех треугольников , на которые он разбивается медианами , равны. А площадь каждого треугольника из шести ,на которые разбивается шестиугольник, равна половине площади этих треугольников...( Слайды5,6)

Рассмотрим еще одну задача ,где используется 1 свойство медианы. (alexlarin.net Тренировочный вариант №95 ) . (Слайд11) Здесь учащиеся должны применить это свойство дважды, чтобы доказать равенство площадей треугольников, через площади которых можно выразить площади искомых треугольников…(Сл.12,13)

Еще одна интересная задача (alexlarin.net. Тренировочный вариант №99) . (Слайды16,17)Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD , нужно сначала доказать, что площади треугольников AOB иCOE равны (это как раз задание а)) и треугольники COB и AOE подобны, а дальше увидеть, что площадь треугольника AOB в 2 раза больше площади треугольника AOE. Здесь используется еще одно следствие из теоремы о площади треугольника:если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. А для нахождения площади треугольника ECD опять воспользуемся тем, что медиана делит треугольник на два равновелих треугольника…(Слайд 18)

Теперь рассморим свойство биссектрисы треугольника:биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.(Слайд 20) С этим свойством учащиеся 8 класса знакомятся при изучении темы «Подобные треугольники».

Рассмотрим задачу (alexlarin.net. Тренировочный вариант №98 ). Ответив на вопрос а), т.е. доказав ,что CL- биссектриса и воспользовавшись приведенным свойством, легко получим ответ.(Слайды 21,24,25)

В следующей задаче свойство биссектрисы используется для того,чтобы правильно сделать чертеж. ( Слайд26).

МОУ “Гимназия №89”г. Саратов

Подготовка к ЕГЭ по математике. Задание 18 (Задачи по планиметрии)

Учитель математики:

Кубракова Ирина Анатольевна

Свойства медианы треугольника.

Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади(равновеликих треугольника).

Доказательство:

Проведем извершинытреугольника

медиану и высоту

Заметим, что

Поскольку отрезок является медианой, то

,

что и требовалось доказать.

Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство:

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник равна площади треугольника Для этого рассмотрим, например, треугольник и опустим из вершины перпендикуляр  на прямую 

Тогда

В силу предыдущей теоремы,

.

Тренировочная работа № 2 (ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания, под редакцией И.В. Ященко)

Медианы AA 1 , BB 1 , CC 1 треугольника ABC пересекаются в точке M . Точки A 2 , B 2 , C 2 - середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 вдвое меньше площади треугольника ABC .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4 ,

BC = 7 и АС = 8 .

18.

C

C 2

A 1

B 1

M

A 2

B 2

А

C 1

B

4

Решение:

а) Обозначим ∆ABC = .

Тогда площадь каждого из треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна

C

C 2

B 1

A 1

M

A 2

B 2

B

А

C 1

5

Заметим, что C 1 A 2 – медиана треугольника АC 1 M ,поэтому

Аналогичные равенства выполняются для остальных пяти треугольников, составляющих шестиугольник A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 . Следовательно, площадь этого шестиугольника равна

5

б) Обозначим

По формуле для квадрата медианы находим, что

C

C 2

A 1

B 1

M

A 2

B 2

B

А

C 1

5

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

Стороны и средние линии треугольников и

поэтому

5

C

Аналогично,

C 2

A 1

B 1

M

A 2

B 2

B

А

C 1

5

Следовательно, сумма квадратов всех сторон шестиугольника равна

Ответ:

C

B 1

A 1

M

B

А

C 1

5

Тренировочный вариант № 95 ( alexlarin.net )

В треугольнике на стороне выбрана точка так, что Точка – середина стороны Отрезки и пересекаются в точке

а) Докажите, что треугольники и имеют равные площади.

б) Найдите площадь треугольника если площадь треугольника равна 120.

Решение:

а) – медиана треугольника

Следовательно, .

Аналогично, – медиана треугольника

Следовательно, .

Или что и требовалось доказать.

B

б) Из условия задачи относительно точки также вытекает:

E

K

P

C

А

Если то

Пусть

тогда

Но

Значит,

В таком случае:

Тренировочный вариант № 99 ( alexlarin.net )

Точка – середина стороны параллелограммапрямые и взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке

а) Докажите, что площади треугольников и равны.

б) Найдите площадь параллелограмма , если

Решение:

а)

т.к. имеют общее основание и равные высоты.

Следовательно,

б) 1.с

Пусть тогда

тогда

.

=

2. Из имеем

Из Тогда

и .

Ответ:

1

2

Свойствo биссектрисы треугольника.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

A

C

B

D

Тренировочный вариант № 98 ( alexlarin.net )

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике из вершины прямого угла проведены высотамедиана и биссектриса

а) Докажите, что является биссектрисой угла.

б) Найдите длину биссектрисы если ,

C

B

А

M

L

H

Решение:

а) Пусть катет

Медиана в прямоугольном треугольнике является радиусом описанной окружности.

Т.е.

Значит, равнобедренный,



тогда

биссектриса, тогда

C

B

А

M

H

L

Найдем углыи и покажем, что они равны.



Из прямоугольного





 биссектриса

C

А

B

M

L

H

б) Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е.

Пусть тогда

C

А

B

M

L

H

Из прямоугольного имеем:

Из прямоугольного треугольника

Ответ:

C

А

B

M

H

L

Задача 6.20 (Р.К.Гордин, ЕГЭ 2014 Математика.

Решение задачи С4.)

В треугольнике проведена высота Прямые, одна из которых содержит медиануа вторая биссектрису , делят эту высоту на три равных отрезка. Известно, что Найти

Решение:

Пусть и - точки пересечения и с отрезком

Заметим, что точка не может лежать между точками и , т.к. по свойству биссектрисы в прямоугольном треугольнике стороны и пропорциональны отрезкам и

Т.о. т.е. гипотенуза меньше катета, что невозможно. Следовательно, точка лежит между и

Тогда, т.к. то

B

4

C

E

K

А

M

N

D

Поскольку середина , а середина

отрезок средняя линия треугольника

Значит, .

Т.к. середина и , то средняя линия

B

4

C

E

K

А

M

N

D

Следовательно, середина

Тогда, и из прямоугольного треугольника находим, что

Ответ: