Перпендикулярность прямых и плоскостей.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными,если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярные прямые могут пересекаться ( а и в) и скрещиваться (а и с)

ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а ll в , а  c

Доказать: в  c

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1)Через произвольную точку М

пространства,не лежащую на данных

прямых,проведем прямые МА и МС,

параллельные соответственно прямым а и с . Так как а  c , то  АМС =90 

2)По условию в ll а , а по построению а ll МА,потому в ll МА. Итак,

прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90  Это означает, что угол между

прямыми в и с также равен 90 

MA II в 2) а   c, MC II C = MA  MC 3) MA   MC, MA II в, МС II C = в  С." width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) МА II a, a II в = MA II в

2) а   c, MC II C = MA  MC

3) MA   MC, MA II в, МС II C = в  С.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается: а  α.

Если прямая перпендикулярна к плоскости,то она пересекает её.

ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ

Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Теорема 2: Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой.

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ

Дано: а   а ll а 1

Доказать: а 1  

Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости  .Так как а   ,то

а  х .По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к

третьей а 1  х  .Таким образом,прямая а 1 перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в плоскости  ,т.е. а 1  

a   x 2) a II a 1 , a   x = a 1   x = а 1     т.к. х – произвольная прямая плоскости " width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) а   , х   = a   x

2) a II a 1 , a   x = a 1   x = а 1     т.к. х – произвольная прямая плоскости 

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ

А )

Дано: а    в  

Б)

Доказать: а ll в

Доказательство:

1)Через какую-нибудь точку М прямой в проведём прямую в 1 , параллельную прямой а . По предыдущей теореме в 1   .Докажем, что в 1 совпадает с прямой в . Тем самым будет доказано,что а ll в .

2)Допустим,что прямые в и в 1 не совпадают.Тогда в плоскости  содержащей прямые в и в 1 ,через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с , по которой пересекаются плоскости  и   Но это невозможно,следовательно, а ll в

в  с 3) а   , с   = а  с 4) а  с , в 1 II а = в 1  с 5) в  с , в 1  с, М  в , М  в 1 = в  в 1 6) в 1 II а , в  в 1 = а ll в" width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Пусть в не II а. Проведем в 1 II а (М  в , М  в 1 )

2) в   , с   = в  с

3) а   , с   = а  с

4) а  с , в 1 II а = в 1  с

5) в  с , в 1  с, М  в , М  в 1 = в  в 1

6) в 1 II а , в  в 1 = а ll в

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ТЕОРЕМА:

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости

Дано: а  р, а  q ,р    

q    р  q=0

Доказать: а  

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости  . Рассмотрим случай,когда прямая m проходит через точку О.Проведем через точку О прямую l ,параллельную прямой m .Отметим на прямой точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка АВ,и проведем в плоскости  прямую,пересекающую прямые p , q и l соответственно в точках Р, Q и L .

Так как прямые p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и А Q =В Q . Следовательно,  АР Q=  BPQ по трём сторонам. Поэтому  APQ=  BPQ . Рассмотрим  АР L и  BPL .Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР, PL- общая сторона,  APL=  BPL ), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник АВ L равнобедренный и его медиана LO является высотой, т.е. l  а .Так как и l ll m , то m  а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой m плоскости  , т.е. а  а .

Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а 1 , параллельную прямой а . По упомянутой лемме а 1  p и а 1  q , поэтому по доказанному в первом случае а 1   .Отсюда (по теореме о двух параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а  а .

  APQ =   BPQ 4)   APL =   BPL = AL = BL 5) Медиана OL   ABL – высота, т.е. АВ  OL или а  OL Этап 2: m – произвольная прямая плоскости  OL II m . Т.к. а  OL , то а  m = а   " width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Этап 1:

1) АО = ВО

2) АР =ВР, AQ = BQ

3)   APQ =   BPQ =   APQ =   BPQ

4)   APL =   BPL = AL = BL

5) Медиана OL   ABL – высота, т.е. АВ  OL или а  OL

Этап 2: m – произвольная прямая плоскости  OL II m . Т.к. а  OL , то а  m = а   

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ

ТЕОРЕМА:

Через любую точку пространства проходит прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом только одна

Дано: М, 

Доказать: 1)через точку М проходит

прямая, перпендикулярная 

• 2)такая прямая только одна

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1) Проведем в плоскости  произвольную прямую а и рассмотрим плоскость  , проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а . Обозначим буквой в прямую, по которой пересекаются плоскости  и  .

В плоскости  через точку М проведем прямую с , перпендикулярную к прямой в . Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости  , так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости( с  в , с  а, т.к.   а ).

2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая (обозначим её через с 1 ), перпендикулярная к плоскости  . Тогда с ll с 1 , что невозможно, так как прямые с и с 1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости  .

4) с – единственная прямая" width="640"

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ

1) а: а  

2)  М 

3)  в

4) с: М  С ,  с   в

Доказательство:

1) М  с

2) с  в по построению

3) с  а, т.к. 

с   (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

=

4) с – единственная прямая

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

НА РИСУНКЕ :

АН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости 

Н – основание перпендикуляра

АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости 

М – основание наклонной

НМ – проекция наклонной на плоскость 

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая

СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ

1  Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки

2  У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны

3  Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

ТЕОРЕМА:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Дано:М  а, АН-перпендикуляр,АМ - наклонная,НМ - проекция наклонной, а  НМ

Доказать: а  АМ

Доказательство:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН( а 

НМ по условию и а  АН, т.к. АН   ) . Отсюда следует, что

прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости

АМН, в частности а  АМ .

а  АН а  НМ (по условию) = а  АНМ) 2) а  АНМ), АМ   АНМ) = а  АМ" width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) АН   а  = а  АН

а  НМ (по условию)

=

а  АНМ)

2) а  АНМ), АМ   АНМ) = а  АМ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Углом между прямой и плоскостью,пересекающей эту прямую и не перпендикулярной её, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость

0     90 

  если прямая параллельна плоскости

 90  если прямая перпендикулярна плоскости

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащим одной плоскости

Двугранный угол может быть острым , тупым и прямым

линейный

угол

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на его ребре

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла равны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 °.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ :

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Дано: АВ   , АВ  

Доказать:   

Доказательство:

• Плоскости  и   пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ  АС, так как по условию АВ  , т.е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости  .
• Проведём в плоскости прямую А D , перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD -- линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей  и   . Но

 BAD =90  (так как АВ   ). Следовательно, угол между плоскостями  и   равен 90  , т.е.    .

АВ  АС (  АС ) 2) АВ  , А D  = АВ  А D ( А D   AC ) 3)  (  ) =   BAD = 90   =   " width="640"

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) АВ  , АС  = АВ  АС (  АС )

2) АВ  , А D  = АВ  А D ( А D   AC )

3)  (  ) =   BAD = 90   =   