Параллельность в пространстве

Параллельность

прямых

плоскостей

прямой и

плоскости

Способы задания плоскостей

Изображение пространственных фигур на плоскости

Взаимное

расположение

прямых в

пространстве

Признак

параллельности

прямых в

пространстве

Существование в пространстве

прямой, параллельной

данной прямой

Практическая работа:

Возьмите две прямые ( ручки и т. д. ) и расположите их на плоскости ( столешнице парты ) так, чтобы они  не имели общих точек;  имели одну общую точку;  имели множество общих точек.

Проделайте эту же работу, но располагайте прямые в пространстве .



С д е л а й т е в ы в о д

Сколько способов взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве существует?

На плоскости

В пространстве

3

4

• параллельными

• пересекающимися

• скрещивающимися

• совпадающими

Прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

а

b



a II b

b

Две прямые в пространстве называются пересекающимися , если они имеют одну общую точку.

а

C

a  b = C

Две прямые в пространстве называются c крещивающимися , если они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся .

а

b

А





a b

Признак

скрещивающихся

прямых

Две прямые в пространстве называются совпадающими , если они имеют две общие точки.

a

b

a Ξ b

A

0

B

вывод

Взаимное расположение

двух прямых в пространстве

Пересекающиеся

Совпадающие

Прямые имеют

общие точки

2

1

Прямые не имеют

общих точек

Параллельные

Скрещивающиеся

Т е о р е м а

В пространстве через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и притом только одну.

b

А

а

А  а

А  b b II a

b - единственная

Т е о р е м а

Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

а

b

с

a II c b II c

}  a II b

Взаимное

расположение

прямой и

плоскости в

пространстве

Признак

параллельности

прямой и

плоскости в

пространстве

Примечания

Практическая работа:

Возьмите прямую ( ручку или карандаш ) и расположите её так к плоскости ( столешнице парты ) , чтобы они  были параллельными;  были пересекающимися;  прямая лежала в плоскости.

Сколько общих точек есть у прямой и плоскости в каждом случае?

?

С д е л а й т е в ы в о д

Дайте определение каждого из трёх случаев взаимного расположения прямой и плоскости.

• прямая параллельна плоскости
• прямая пересекает плоскость
• прямая лежит на плоскости

а

Прямая и плоскость называются параллельными , если у них нет общих точек.

а II 



B 1

C 1

A 1

B

C

A

а

Прямая и плоскость называются пересекающимися , если у них есть одна общая точка.

В



а   = В

Прямая лежит на плоскости , если у них есть две общие точки.

а



а  

Итак

Взаимное расположение прямой

и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость

имеют общие точки

1

2

Прямая и

плоскость

не имеют

общих точек

Т е о р е м а

Если прямая, не лежащая на плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Выделите условие и заключение теоремы.

!

С д е л а й т е в ы в о д

• Сколько прямых и плоскостей дано?
• Как они расположены относительно друг друга?



Дано : a II b a   ; b  

а

С

Доказать: a II 



b

Составьте план доказательства

• Имея две параллельные прямые «а» и « b » можно провести ………

• Пусть а II   прямая « a » и плоскость «  » …………

• Точка пересечения «С» должна находиться на общей прямой плоскостей «  » и «  » , то есть на…....

• Получили: прямые «а» и « b » ………

• Полученный результат не возможен , т. к. по условию прямые …………

Т е о р е м а 1

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

a  

a II 

    b



}  a II b



а

b

Т е о р е м а 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо также параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

а

а

b

b

a II b a II 





b  

b II 

Взаимное

расположение

плоскостей в

пространстве

Признак

параллельности

плоскостей в

пространстве

Свойства

параллельных

плоскостей

Практическая работа:

Возьмите плоскость ( листок бумаги ) и расположите её к другой плоскости ( столешнице парты ) так, чтобы у них  не было общих точек;  была одна общая точка;  было три общих точки, не лежащие на одной прямой.

Каково взаимное расположение плоскостей в каждом случае?

?

С д е л а й т е в ы в о д

Дайте определение каждого из трёх случаев взаимного расположения двух плоскостей.

• плоскости параллельны
• плоскости пересекаются
• плоскости совпадают

Две различные плоскости называются параллельными , если у них нет общих точек.





 II 



Две различные плоскости называются пересекающимися , если у них есть общая точка.



 А

а

   = а

Пересечением плоскостей является прямая, проходящая через общую точку плоскостей.

!

Две плоскости называются совпадающими , если у них есть три общие точки, не лежащие на одной прямой.

 А



 С

 В



 Ξ 

В 1

С 1

А 1

Каково взаимное расположение плоскостей, имеющих три общие точки, лежащие на одной прямой?

?

0

В

С

А

Плоскости, имеющие три общие точки, лежащие на одной прямой, могут быть пересекающимися.





 С



 В

 А

а



Итак

Т е о р е м а 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Выделите условие и заключение теоремы.

!

С д е л а й т е в ы в о д

• Сколько плоскостей дано?
• Как они расположены относительно друг друга?





Дано :  II      a;     b

b

а



Доказать : a II b

Докажите теорему

методом «от противного»

!

Наводящие вопросы:

• какими могут быть между собой прямые «а» и « b »?
• если прямые «а» и « b » пересекаются, то какие между собой плоскости «  » и «  »?
• почему прямые «а» и « b » не могут быть скрещивающимися?
• какому условию противоречат итоги? Сделайте вывод о прямых «а» и « b » .

Т е о р е м а 2

Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Выделите условие и заключение теоремы.

!

С д е л а й т е в ы в о д

• Сколько прямых и плоскостей дано?
• Как они расположены относительно друг друга?

В



Дано :  II  AC II BD

А

D

Доказать: AC = BD



С

Докажите теорему

!

Подсказка:

• рассмотрите четырёхугольник АВС D ; что он из себя представляет?; почему?
• докажите, что АВС D - параллелограмм; на основании какой теоремы АВ II С D ?
• воспользуйтесь свойствами сторон параллелограмма;

• сделайте вывод об отрезках АС и В D

Т е о р е м а

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то данные плоскости параллельны.

Выделите условие и заключение теоремы.

!

С д е л а й т е в ы в о д

• Сколько прямых и плоскостей дано?
• Как они расположены относительно друг друга?

Дано : a   ; b   ; a  b=M a 1   ; b 1   ; a II a 1 ; b II b 1

a 1

b 1



а

Доказать:  II 

b

 M



Взаимное расположение

плоскостей в пространстве

Плоскости имеют

общие точки

1

3

Плоскости

не имеют

общих точек

Выберите аксиому стереометрии , следствия из аксиом и определение , в которых говорится о существовании единственной плоскости.

!

В

0

П

Р

0

С

Какой набор основных элементов ( точек и прямых ) необходимо иметь, чтобы задать единственную плоскость?

Две пересекающиеся прямые

Э

Т

0

Две параллельные прямые

Прямая и точка вне этой прямой

Три точки, не лежащие на одной прямой

Из истории начертательной геометрии

Ещё в древности человек чертил и рисовал на скалах, предметах быта изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей. Основное требование – изображение должно было вызывать правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

С ростом практических и технических применений изображений к ним стали предъявлять требования , чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней.

Строгие геометрически обоснованные правила изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию математической ветви – начертательной геометрии .

Французский математик Г. Монж разработал метод ортогонального проектирования пространственных фигур на две взаимно перпендикулярные плоскости, получая двойное изображение оригинала – на горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Это даёт возможность решить и обратную задачу: восстановление пространственной фигуры или изучение её геометрических свойств по заданным плоским изображениям.

В школе наиболее употребительным является более наглядный аксонометрический метод (измерение по осям), основанный на параллельной проекции.

Проектирование называется параллельным, если проектирующие прямые параллельны некоторой заданной прямой.

Параллельное

проектирование

F

m

Фигура F 1 – параллельная проекция фигуры F .

F 1



Свойства

параллельного

проектирования

а

m

а 1



В 

C 

А 

а

В 

А 

b

m

m

m

В 1 

C 1 

А 1 

а 1

А 1 

В 1 

b 1







A 1 C 1 / C 1 B 1 =AC / CB

Определение: изображением пространственной фигуры на плоскости называется её параллельная проекция.

Примечание: выбирая различные плоскости изображения и направления проектирования можно получить различные изображения данной фигуры.

Требования к изображению:

• наглядность
• удобство для выполнения на нём дополнительных построений

Примеры

а

а

m

m

а 1

 А











m

m

m

А

В

 1









• Изображением треугольника (прямоугольного, равнобедренного) может быть произвольный треугольник .

• Изображением параллелограмма (прямоугольника, ромба, квадрата) может быть произвольный параллелограмм .

m

m





• Изображением трапеции (прямоугольной, равнобедренной) может быть произвольная трапеция .

• Изображением окружности (произвольного радиуса) является эллипс; изображением центра окружности – центр эллипса.

m

m





Параллельной проекцией тетраэдра (треугольной пирамиды) является четырёхугольник .

Изображения тетраэдра

m

Изображения n – угольной пирамиды .

Четырёхугольная правильная пирамида

Пятиугольная пирамида

Изображения параллелепипеда .

Куб

Параллелепипед

Наличие общих точек

Нет

Есть

Не лежат в

плоскости

Лежат в

плоскости

2

1

С

К

Р

Е

Щ

И

В

А

Ю

Щ

И

Е

С

Я

П

Е

Р

Е

С

Е

К

А

Ю

Щ

И

Е

С

Я

С

О

В

П

А

Д

А

Ю

Щ

И

Е

П

А

Р

А

Л

Л

Е

Л

Ь

Н

Ы

Е

• Какое условие ставится в основу каждого определения?
• Имеет ли значение количество общих точек двух прямых?
• Определите пересекающиеся и совпадающие прямые.
• Отсутствие общих точек приводит к однозначному варианту?
• Укажите основное отличие параллельных и скрещивающихся прямых.

Составьте схему