Основные понятия комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.

Основные понятия комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.

Выполнила преподаватель математики

ГБПОУ БАТТ

Нурисламова Р.Г.

« Незнающие пусть научатся,

знающие - вспомнят еще раз».

(Античный афоризм .)

Цели урока

• Закрепить комбинаторное мышление через решение задач;
• Повторить:

• основные понятия комбинаторики;
• бином Ньютона и треугольник Паскаля и взаимосвязь между ними;
• основные понятия: теории вероятностей.
• основные типы вероятностных задач;

• Показать учащимся с помощью задач, что шанс выиграть в лотереях и других азартных играх очень мал;

• Рассмотреть методы сбора и обработки статистических

данных для получения практических выводов

• Научится применять полученные знания, как при решении

задач, так и практической деятельности; в жизненной

ситуации;

• Комбинаторика- это раздел математики который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

• Вероятность - это отношение числа появления события к числу экспериментов.

• Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе.

Основные понятия комбинаторики

Перестановки

Р k =1*2*3*4……k

Размещения

Бином Ньютона

Коэффициенты

Сочетания

Треугольник Паскаля

Расписание уроков.

В группе 625 в пятницу 7 уроков: математика, информатика, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура.

Сколько вариантов расписания можно составить?

Задача 1.

Всего вариантов расписания

Расставляем предметы по порядку

Предмет

Число вариантов

7!=

1•2•3•4•5•6•7=

7

Математика

=5040

6

Информатика

Литература

5

Русский язык

4

3

Английский язык

2

Биология

1

Физкультура

Задача 2

Сколько словарей надо создать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из пяти языков на любой другой из этих языков?

Решение:

Ответ: 20 словарей.

Задача 3

Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике?

Решение :

- Найдите количество отрезков, которыми можно соединить 10 точек.

отрезков

- Сколько из них являются сторонами?

10 являются сторонами, а остальные

45 – 10 = 35 будут диагоналями

Ответ: 35 диагоналей

Задача 4

Вычислите шанс угадать 6 номеров лотереи из 45?.

Решение:

Шанс угадать 6 номеров лотереи из 45 равен «1 к 8 145 060».

Теперь понимаете, почему лотереи столь выгодны?

Записать формулу бинома Ньютона для (а+в) 7.

Решение:

(а+в) 7 =а 7 +7а 6 в +21 а 5 в 2 +35 а 4 в 3 + +35 а 3 в 4 +21 а 2 в 5 +7 ав 6 +в 7

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.

Бином Ньютона упоминается: в фильме «Расписание на послезавтра»

В повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;

Математическая пьеса «Бесплатный обед»

Математическая пьеса «Бесплатный обед»

Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окончание семестра в кафе, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогда никому не будет обидно.

Второй. Нет, сядем по возрасту.

Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.

Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам не школа, да и надоело.

Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никаких проблем.

Шестой. Устроим здесь физкультуру, не так ли?

Седьмой. Придется тащить жребий.

Восьмой. Ну уж нет.

Девятый. По-моему, уже обед остыл.

Десятый. Я сажусь, где придется, и вы давайте за мной.

Появляется официант.

Официант. Вы еще не расселись? Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало.

Официант. Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-иному, и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы сегодня, тогда обещаю торжественно – я начну ежедневно угощать вас всех бесплатно самыми изысканными обедами.

Друзья (почти хором). Вот здорово, будем каждый день обедать у вас.

Третий

Давайте посчитаем через сколько дней мы будем есть бесплатно

По формуле перестановки мы имеем P n =n!

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10=3 628 800. Разделим на 365 дней в году и получим приблизительно 9 942 года.

Друзьям не пришлось дождаться того дня, когда они стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещание, а потому что число всех возможных размещений за столом чересчур велико.

Вам может показаться невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами.

« Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению»

Лаплас

Какие события мы знаем?

Достоверные

Равновозможные

Невозможные

• Используя выражения « более вероятно», «менее вероятно», «равновероятные события», сравните возможность наступления случайных событий А и В:

1) Вы просыпаетесь утром

А={это будний день}; В={это выходной}.

2) Вы бросаете игральный кубик

А={выпадает шестёрка} ;

В={выпадает не шестёрка}.

3) Сборная России играет в хоккей со сборной Чехии

А={выигрывает Россия};

В={сборная России не выигрывает}.

4) При подбрасывании кнопки она упадёт

А={остриём вниз}; В={упадёт на кружок}.

Вероятностью события А называется отношение

числа благоприятных для него исходов испытания к

числу всех равновозможных исходов.

P(A)=

где m - число исходов, благоприятствующих

осуществлению события,

а n - число всех возможных исходов.

Решение задач

по теории вероятностей.

Задача 1. В группе 21 студент, среди них 2 друга – Миша и Дима. На уроке физкультуры группа случайным образом разбивают на 3 равные группы . Найдите вероятность того, что Миша и Дима попали в одну группу.

Решение:

21:3=7 –количество студентов в одной группе;

- вероятность того, что Миша попадет в первую группу;

– вероятность того, что Дима

попадет в ту же группу;

=0,1- вероятность того, что

Миша и Дима попадут в первую

группу;

Всего групп три. Поэтому

Р=0,1+0,1+0,1=0,1*3=0,3

Ответ: 0,3

Задача № 2 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Благоприятное событие А: первой выступает

спортсменка из Канады

К-во всех событий группы: n=?

К-во благоприятных

событий: m=?

Соответствует количеству всех гимнасток.

n=50

Соответствует

количеству

гимнасток

из Канады.

m=50-(24+13)=13

5/24/17

Задача № 3 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Благоприятное событие А: купленная сумка

оказалась качественной.

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует количеству всех сумок.

n=190+8=198

К-во благоприятных

событий: m=?

Соответствует

количеству

качественных

сумок.

m=190

5/24/17

Задача 4. При проведении контроля качества среди 1000 выбранных наугад деталей 5 оказались бракованными. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25000 деталей?

Решение:

P(A)=5/1000=1/200

25000/200=125 (деталей).

События бывают более и менее вероятными. Мы предлагаем отправиться в путешествие к таким, вероятность которых настолько близка к нулю, что аж захватывает дух.

Вероятность того, что при игре в «орлянку» монетка встанет на ребро, не так мала, как может показаться.

Например, если вы совершите миллион бросков, то это случится около 150 раз, то есть в среднем 1 раз в 2 дня если вы будете кидать целый год по 8 часов в день.

Если же вы захотите дождаться того, чтобы монета встала на ребро два раза подряд, то придется кидать монеты в том же темпе около 35 лет.

Вероятность погибнуть от цунами — « 1 к 500 000 » .

Шансы получить « флеш рояль » в покере тоже примерно в этом диапазоне — « 1 к 649 740 » .

Вероятность глобальной катастрофы для цивилизации в результате падения крупного астероида — « 1 к 10 миллионам »

(впрочем, для одного конкретного человека

шанс погибнуть от астероида равен « 1 к 500 тысячам » , так что будьте осторожны).

Вероятность с первой попытки найти иголку в стоге сена — примерно «1 к 100 миллионам».

С юмором о

вероятности.

«Доктор, – спрашивает пациент – пойдут ли у меня дела на поправку?»

«Несомненно, – отвечает врач – потому что теория вероятностей говорит, что один пациент из 10 выздоравливает при этой болезни».

«Но почему же при этом именно я должен выздороветь?»

«Потому что вы как раз и есть мой десятый больной».

Вчера, на симпозиуме по высшей математике Автандил Гогоберидзе опроверг теорию вероятностей при помощи трех наперстков и одного шарика.

. «Какова вероятность встретить мамонта на нашей улице?» – спросили у одной дамы. «Вероятность равна : либо встретишь мамонта, либо нет» – ответила дама.

Решили ученые провести эксперимент по теории вероятностей. Посадили сто обезьян за сто компьютеров и стали ждать, когда они напишут «Войну и мир». Через неделю руководитель группы собирает пресс-конференцию и объявляет о завершении эксперимента.

– Ну, какие результаты? – интересуются журналисты.

– Знаете, – отвечает ученый, – игрушки они научились запускать практически сразу, а на шестой день уже скачали «Войну и мир» с библиотеки Мошкова.

Оптимист – человек, который уверен в том, что если бутерброд намазать маслом с двух сторон, то, не решив на какую сторону падать, тот повиснет в воздухе.

Пессимист убежден в том, что, упав на пол, бутерброд подпрыгнет и шлепнется еще раз, но уже другой стороной.

Термин «статистика» произошел от латинского слова «статус» ( status ), что означает «состояние и положение вещей».

Математическая статистика

это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства.

Домашнее задание. (На выбор)

• Подготовить доклад: По свойствам треугольника Паскаля которые мы с вами не изучали.

2.Также можно подготовить доклад о интересных и шуточных фактах по теории вероятностей.

3.Или составить статистику по своей группе.

Рефлексия деятельности на уроке «Лестница успеха»

Умею

Понимаю

Знаю