Обобщающий урок по теме ”Квадратные уравнения”

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если х 1 и х 2 ─ корни уравнения х 2 + px + q =0, то

x 1 + x 2 = ─ p,

х 1 · x 2 = q,

ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0,

x 1 + x 2 =

x 1 x 2 =

Найдите в каждой группе уравнений «лишнее»:

А: 1. 3х 2 −х = 0, Б: 1. х 2 −7х +1=0,

2. х 2 −25 = 0, 2. 7х 2 − 4х +8 = 0,

3. 4х 2 + х −3 = 0, 3. х 2 + 4х −4 = 0,

4. 4х 2 = 0. 4. х 2 −5х −3 = 0.

Не решая уравнения, найдите корни:

а) (х −6)(х + 13) = 0;

б) х · (х + 0,7) = 0;

в) х 2 − 4х = 0;

г) 16х 2 −1 = 0;

д) 4,5 х 2 = 0.

Какие из уравнений не имеют

корней:

1. х 2 −1 = 0;

2. (х −3) = 0;

3. (х −4) + 6 = 0;

4. х + 4 = 0;

5. х 2 + 7 = 0.

Не решая уравнение

х 2 −8х + 7 = 0.

Найдите:

а) сумму корней:

б) произведение корней:

в) корни данного уравнения:

Найдите сумму и произведение корней в

следующих уравнениях:

а) 2х 2 −7х + 20 = 0;

б) 3х 2 + 21х + 1 = 0.

Работа в классе

• Найдите корень уравнения:
• 1. 13х2 + 18х - 31 = 0 2. 5х2 -27х + 22 = 0
• 3. Из пункта А одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового. Через 1,5 ч расстояние между ними составило 150 км. Найдите скорости автомобилей

Выполни тест по теме Квадратные уравнения и теорема Виета

1 вариант

1. Дискриминант какого из уравнений равен 121?

а) 3х2 -5х + 4 = 0; б) 3х2 +5х - 8 = 0; в) х2 -11х + 1 = 0; г) -3х2 - 11х - 8 = 0.

2. Решите уравнение: х2 - 8х + 7 = 0.

а) -1; 7; б) 1; -7; в) 1; 7; г) -1; ?7.

3. Найдите сумму корней уравнения: 4х2 + 22х - 7 = 0.

а) -22; б) корней нет; в) 22; г) -5,5.

4. Найдите произведение корней уравнения: 5х2 - 2х + 9 = 0.

а) 9; б) ?9; в) корней нет; г) 1,8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 -8х - 11.

а) (х - 8)2 - 5; б) (х - 3)2 + х; в) (х - 4)2 - 5; г) (х - 4)2 - 27.

2 вариант

1. Дискриминант какого из уравнений равен 25?

а) 2х2 +7х + 3 = 0; б) -2х2 +7х + 3 = 0; в) х2 -5х + 1 = 0; г) -2х2 - 7х + 3 = 0.

2. Решите уравнение: х2 - 5х - 36 = 0.

а) 4; -9; б) -4; 9; в) 4; 9; г) -4; -9.

3. Найдите сумму корней уравнения: 5х2 - 13х + 9 = 0.

а) 13; б) -13; в) корней нет; г) 2,6.

4. Найдите произведение корней уравнения: 3х2 - 7х - 8 = 0.

а) -8; б) 2 в) корней нет; г) 8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 +10х - 14.

а) (х - 10)2 - 6; б) (х + 6)2 - 22х; в) (х + 4)2 - 39; г) (х + 5)2 - 24.

Ответы к тесту

• Ответ: 1 2 3 4 5
• В 1 б в г в г
• В 2 а б в б в

История развития квадратных

уравнений:

Квадратные уравнения в Багдаде(9 век).

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Индии.

Квадратные уравнения в Европе 13 -17в.в.

Квадратные уравнения в Багдаде (9 век):

Впервые квадратные уравнения

появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путем, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод Ал-Хорезми почти алгебраический.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х 2 + х = х 2 ─ х =

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила, Почти все найденные до сих пор клинописные тексты, приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены, Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “ Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические

задачи ”.

Квадратные уравнения в Европе в 13-17 веках:

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были

Впервые изложены в 1202 году итальянским математиком

Леонардо Фибоначчи.

Общее правило решения квадратных

уравнений, приведенных к единому

каноническому виду а x 2 + bx + c = 0 ,было

Сформулировано в Европе лишь в 1544

Году немецким математиком

Михаэлем Штифелем .

Виды квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных

Уравнений (х 2 + х = а) умели решать Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду

a х 2 + bx + c = 0 , где а ≠ 0,дал индийский ученый Брахмагупта (7век).

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 веке учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Выводы:

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего

Египта. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне

(около 2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений,

сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский ( III век).

Правило решения квадратных уравнений дал индийский учёный

Брахмагупта ( VII век).

Общее правило решения квадратных уравнений было

Сформулировано немецким математиком М. Штифелем.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Ф. Виет .

ФРАНСУА ВИЕТ

Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя Символику во все алгебраические доказательства путём применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и тригонометрии.

Д.Бернал.

Франсуа Виет родился в городке Фонтене-ле-Конт, недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель. Получил юридическое образование, но стал секретарём и домашним учителем. Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

В 1571 году Виет переехал в Париж, где возобновил адвокатскую практику а позже стал советником парламента в Британии. Занял должность тайного советника сначала при короле Генрихе III ,а затем при Генрихе IV .

Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра из 500 знаков, меняющихся время от времени, которыми пользовались испанцы.

Из-за религиозных противоречий1 был отстранён от двора и вернулся на службу лишь после разрыва короля с герцогами Гизами.

Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, где он работал самозабвенно. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал “ Искусство анализа или Новая алгебра ” . Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.