"Логарифмы" Урок обобщения и систематизации знаний

Урок по алгебре и началам математического анализа “ Решение логарифмических уравнений ” Учитель математики МОУ г. Горловки «ВШ №20» Мокрый В.И.

• Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков; применение их в новых условиях;
• Актуализация опорных знаний решения логарифмических уравнений.
• Совершенствование навыков контроля и самоконтроля знаний, умений и навыков при выполнении тестов

Цели урока:

• Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли;
• Развитие критического мышления при решении задач и умение работать в проблемной ситуации;
• Развитие творческое мышление.
• Расширение общего кругозора.

1

1

• Понятия степени и логарифма;

• Понятие степени с различными показателями;

• Свойства степеней и логарифмов.

мы должны знать

1

1

• находить значения корня, степени, логарифма;
• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов;
• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Мы должны уметь.

1

1

Из истории логарифмов

Слово «логарифм» происходит от греческих слов logoz - число и ariumoz - отношение. Переводится как «отношения чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое –геометрической.

Логарифм- это показатель степени c , в которую необходимо возвести число а , чтобы получить число b

Генри Бригс (1561-1630)

Джон Непер (1550-1617)

Шотландский математик, один из изобретателей логарифмов, автор «Описания удивительной таблицы логарифмов» В честь Джона Непера названы:

Генри Бригс — английский математик, профессор математики в Грешем-колледже, затем в Оксфорде, создатель первых логарифмических таблиц. Развивая идеи Джона Непера, составил и опубликовал первые справочные таблицы десятичных логарифмов: в 1617 году — 8-значные, 1624 — 14-значные. За этот труд в Англии одно время даже называли десятичные логарифмы бригсовыми. В 1633 году также изданы составленные Бригсом таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций.

• кратер на Луне;
• астероид 7096 Непер (1992 год);
• логарифмическая безразмерная единица, измеряющая отношение двух величин;
• университет в Эдинбурге (Edinburgh Napier University).

1

Логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, но нужны ли они сегодня , когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами?

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Зачем логарифмы нужны сегодня?

Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления.

При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

1

1

Логарифмическая спираль

Плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса.

Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности , а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

Самое интересное и удивительное в том, что логарифмическая спираль возникает в нашей жизни в связи с самыми разными природными формами.

Любопытен оптический эффект.

Если вращать рисунок, на котором изображено семейство логарифмических спиралей, то при вращении в одном направлении мы увидим, что спирали будут расширяться, а при вращении в противоположном направлении они будут сужаться.

1

1

Логариф. спираль в природе

• Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали . Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
• Пауки, сплетая паутину , закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
• По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника.

• По логарифмическим спиралям выстраиваются рога многих животных .

• Раковины морских животных растут по логарифмической спирали.
• Раковины морских животных растут по логарифмической спирали.

• Формируется тело циклона . Спиралью закручиваются ураганы и смерчи . Молекула ДНК закручена двойной спиралью.
• Формируется тело циклона .
• Спиралью закручиваются ураганы и смерчи .
• Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

1

1

Логариф. спираль в жизни человека

Схема строения уха:

1 – наружный слуховой проход

2 – барабанная перепонка

3 – плоскость среднего уха

4 – молоточек

5 – наковальня

6 – стремечко

7 - полукружные каналы

8 – «улитка»

9 – евстахиева труба

«Улитка» представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витков

1

1

Логариф. спираль в сел. хозяйстве

Как оказалось, и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов. Например, исследовав рождение телят , оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов по формуле m = m 0 e kt – закон, по которому происходит рост животных,

где m –масса в полмесяца,

m 0 -масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.

1

1

Логариф. спираль в архитектуре

Дом, построенный в виде морской раковины в Мехико, основывается на формуле логарифмической спирали.

Создатели Наутилуса - так называется проект – попытались создать ощущение четвертого измерения, которое должно возникать, если находиться внутри строения.

1

1

Логариф. спираль в космосе

По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности Галактика , которой принадлежит Солнечная система. Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой, второй, третьей и т.д. звездной величины.

Физическая яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Поэтому «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов , составленной по основанию 2,5

1

1

Логариф. спираль в музыке

Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, с такими “странными” вещами, как логарифмы.

Так называемые ступени частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

1

1

Виды логарифмов

Логарифм числа b по основанию a - lоg a b

Десятичный логарифм lg b

(основание 10)

Натуральный логарифм ln b

(основание число е)

Практические упражнения

1

1

Практические упражнения

1

1

Практические советы

• Первым делом смотрим на  основания  степеней.
• Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят  одинаковые  числа в каких угодно степенях.
• Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной.
• Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

1

1

Практические упражнения

1

1

Свойства логарифмов

• 1. log a 1=0, а0, a ≠ 1;
• 2. log a а=1, а0, a ≠ 1.
• 3. log а  ху=log а х + log а у.
• 4. log а  х/у = log а х - log а у.
• 5.  log а х  p  = p · log а х, для любого действительного p.

• log 5 1=0
• log 4 4=1
• log 2 8 + log 2 16= =log 2  8∙16= log 2  128=7
• log 3 45 - log 3 5 = log 3 9=2
•   3log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

0⇒x∈R . х 2 +72=3 4 ; х 2 =9; х 1 =-3; х 2 =3. 3. lg(2x 2  - 4x + 12) = lg(x 2  + 3x) 2x 2  - 4x + 12 = x 2  + 3x x 2  - 7x + 12 = 0. По теореме Виета имеем: x 1  = 3, х 2  = 4. Оба значения х являются корнями исходного уравнения. Ответ x 1  = 3, х 2  = 4. Практические упражнения 1 1" width="640"

Решение логарифмических уравнений

• log 2 x=3; x=2 3 ;;;; ; x=8.
•   log 3 (x 2 +72)=4 .

Решение

ОДЗ:  x 2 +720⇒x∈R . х 2 +72=3 4 ; х 2 =9;

х 1 =-3; х 2 =3.

3. lg(2x 2  - 4x + 12) = lg(x 2  + 3x)

2x 2  - 4x + 12 = x 2  + 3x x 2  - 7x + 12 = 0. По теореме Виета имеем: x 1  = 3, х 2  = 4. Оба значения х являются корнями исходного уравнения. Ответ x 1  = 3, х 2  = 4.

Практические упражнения

1

1

1.1 .Дайте определение логарифма. Запишите на доске

1.2. Как обозначается десятичный логарифм, как обозначается натуральный?

Записать на доске

1.3. Какие свойства логарифмов вы знаете, перечислите.

1.4. Сформулируйте основное логарифмическое тождество.

Практические упражнения

1

1

Подведем итоги!

Мы увидели, что область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика и др.

Логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать

Зачем мы изучаем логарифмы?

1

1