Просмотр содержимого документа
«Критические точки и экстремумы функции»
Тема: Критические точки и экстремумы функции
Цель урока: уметь находить критические точки,
и экстремумы
точка min
точка max
называютсяточками экстремума
нет экстр
не сущ-ет
Определение . Внутренние точки области определения функции,
в которых производная равна нулю или не существует,
называютсякритическими точками.
Теорема.(необходимое условие существования экстремума)
Если точка является точкой экстремума и в
окрестности этой точки функция f(x) имеет
производную, то производная в этой точке равна
нулю, т.е. f' () = 0.
y
Пример №1. Дана функция y = 3x + 2
Решение. yˊ = (3x + 2)´ = 3 – критическ.точек нет у = kх+b -прямая
x
- 1.
Пример № 2. Дана функция f(x) = - 1.
Найдем f ˊ(x) = Решим уравнение f ˊ(x) = 0,
тогда 3 = 0 или x = 0.
f ˊ(0) =3· 0 = 0, но экстремума в этой точке функция
не имеет.
Точка перегиба
0, то точка является точкой минимума. Теорема. Если функция f(x) в точке непрерывна, а на интервале (a;) f´(x) 0, на интервале (; b) f ˊ(x)" width="640"
y
y
(
x
x
Теорема.Если функция f(x) в точке непрерывна , а на интервале (а; f´(x)
fˊ (x) 0, то точка является точкой минимума.
Теорема.Если функция f(x) в точке непрерывна, а на интервале (a;) f´(x) 0, на интервале
(; b) f ˊ(x)
Пример №3 y = + x - 2 n = - = - и m = - - 2 = - 1
= -
0 f ˊ(- ) = 4 · ( -1) ( +1) f ˊ( ) = 1 - 1 0 0 4 · (2) (2 -1) (2+1) f ˊ(2) =" width="640"
решить уравнение f‘ (x) = 0, найти критические точки
с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях
критических точек;
используя достаточное условие существования экстремума, найти точки
максимума и минимум а
0 4 4 ) в окрестности точки x = - производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума , получаем , что точка x = - - это точка максимума, а x = 1 – точка минимума. Ответ: = - , =1" width="640"
Рассмотрим примеры на нахождение с точек экстремума
Пример №5. Определим точки экстремума функции f (x) = 2- - 4x + 5
Решение . Для нахождения точек экстремума используем данный алгоритм :
y - - 4x + 5)ˊ = 6 - 2x – 4 = 2 ( - x – 2 );
Решим уравнение f '(x) = 0
2 ( - x – 2) = 0,- x – 2 = 0, = 1, = - 1; - -к.т
3) на числовой прямой отметим = 1, = - , и определим знак производной на каждом интервале.
44) в окрестности точки x = - производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума , получаем , что точка
x = - - это точка максимума, а x = 1 – точка минимума.