kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Критические точки и экстремумы функции

Нажмите, чтобы узнать подробности

Уметь находить критические точки и экстремумы функции

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Критические точки и экстремумы функции»

Тема:  Критические точки и экстремумы функции Цель урока:  уметь находить критические точки,  и экстремумы  точка min точка max называются точками экстремума

Тема: Критические точки и экстремумы функции

Цель урока: уметь находить критические точки,

и экстремумы

точка min

точка max

называются точками экстремума

нет экстр не сущ-ет

нет экстр

не сущ-ет

Определение . Внутренние точки области определения функции,    в которых производная равна нулю или не существует,  называются критическими точками.      Теорема. (необходимое условие существования экстремума)  Если точка является точкой экстремума и в  окрестности этой точки функция f(x) имеет  производную, то производная в этой точке равна  нулю, т.е. f' () = 0.

Определение . Внутренние точки области определения функции,

 

в которых производная равна нулю или не существует,

называются критическими точками.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума)

Если точка является точкой экстремума и в

окрестности этой точки функция f(x) имеет

производную, то производная в этой точке равна

нулю, т.е. f' () = 0.

y Пример №1. Дана функция y = 3x + 2 Решение. yˊ = (3x + 2)´ = 3 – критическ.точек нет у = kх+b -прямая x - 1.    Пример № 2. Дана функция f(x) = - 1.    Найдем f ˊ(x) = Решим уравнение f ˊ(x) = 0,  тогда 3 = 0 или x = 0.  f ˊ(0) =3· 0 = 0, но экстремума в этой точке функция  не имеет. Точка перегиба

y

Пример №1. Дана функция y = 3x + 2

Решение. yˊ = (3x + 2)´ = 3 – критическ.точек нет у = kх+b -прямая

x

- 1.

 

Пример № 2. Дана функция f(x) = - 1.

 

Найдем f ˊ(x) = Решим уравнение f ˊ(x) = 0,

тогда 3 = 0 или x = 0.

f ˊ(0) =3· 0 = 0, но экстремума в этой точке функция

не имеет.

Точка перегиба

0, то точка является точкой минимума. Теорема. Если функция f(x) в точке непрерывна, а на интервале (a;) f´(x) 0, на интервале   (; b) f ˊ(x)" width="640"

y

y

(

 

x

 

x

 

Теорема. Если функция f(x) в точке непрерывна , а на интервале (а; f´(x)

fˊ (x) 0, то точка является точкой минимума.

Теорема. Если функция f(x) в точке непрерывна, а на интервале (a;) f´(x) 0, на интервале

 

(; b) f ˊ(x)

Пример №3 y = + x - 2 n = - = - и  m = - - 2 = - 1     = -  

Пример №3 y = + x - 2 n = - = - и m = - - 2 = - 1

 

= -

 

0   f ˊ(- ) =   4 · (­ -1) ( +1)     f ˊ( ) = 1 - 1 0 0 4 · (2) (2 -1) (2+1) f ˊ(2) =" width="640"

 

Пример №4 Дана функция f(x) = - 2

f´(x) = - 4x , - 4x = 0, 4x ( - 1) = 0, 4x(x -1) (x +1) = 0

- = ( a – b) (a +b)

4x = 0 , x – 1 = 0 , x + 1 = 0

x = 0 x = 1 x = - 1 -1; 0; 1 – критичес. точки

min

min

max

-

+

+

-

4 · (-2) (-2 -1) (-2+1) = - 24

- 1

f ˊ(-2) =

1

0

4 · (­ - -1) (- +1) 0

 

f ˊ(- ) =

 

4 · (­ -1) ( +1)

 

 

f ˊ( ) =

1

- 1

0

0

4 · (2) (2 -1) (2+1)

f ˊ(2) =

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:  найти производную функции; решить уравнение f‘ (x) = 0, найти критические точки с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях  критических точек; используя достаточное условие существования экстремума, найти точки  максимума и минимум а

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

  • найти производную функции;
  • решить уравнение f‘ (x) = 0, найти критические точки
  • с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях

критических точек;

  • используя достаточное условие существования экстремума, найти точки

максимума и минимум а

0   4 4 ) в окрестности точки x = - производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума , получаем , что точка   x = - - это точка максимума, а x = 1 – точка минимума. Ответ: = - , =1" width="640"

 

Рассмотрим примеры на нахождение с точек экстремума

Пример №5. Определим точки экстремума функции f (x) = 2- - 4x + 5

Решение . Для нахождения точек экстремума используем данный алгоритм :

  • y - - 4x + 5)ˊ = 6 - 2x – 4 = 2 ( - x – 2 );
  • Решим уравнение f '(x) = 0

2 ( - x – 2) = 0, - x – 2 = 0 , = 1, = - 1; - -к.т

3) на числовой прямой отметим = 1, = - , и определим знак производной на каждом интервале.

-

+

+

 

1

fˊ(0) = 3· - 0 – 2 = - 4 0 fˊ(2) = 3· - 2 – 2 = 8 0

 

4 4 ) в окрестности точки x = - производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума , получаем , что точка

 

x = - - это точка максимума, а x = 1 – точка минимума.

Ответ: = - , =1

Самостоятельно решите .    f (x) = - 3x + 1  f (x) = - - 18x + 6  f (x) = -

Самостоятельно решите .

 

f (x) = - 3x + 1

f (x) = - - 18x + 6

f (x) = -


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Критические точки и экстремумы функции

Автор: Мейрманова Нуркуль Еркимбековна

Дата: 31.05.2020

Номер свидетельства: 552109

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(174) "Методическая разработка урока по математике "Критические точки функции, максимумы и минимумы" "
    ["seo_title"] => string(101) "mietodichieskaia-razrabotka-uroka-po-matiematikie-kritichieskiie-tochki-funktsii-maksimumy-i-minimumy"
    ["file_id"] => string(6) "157821"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421657978"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(137) "Конспект урока математики по теме "Критические точки. Экстремумы функции." "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-kritichieskiie-tochki-ekstriemumy-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "205833"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1430039402"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "конспект урока математики по теме  "Признаки возрастания и убывания функции". "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-priznaki-vozrastaniia-i-ubyvaniia-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "116382"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1412439795"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(131) "Тема урока: Критические точки  функции, ее максимумы и минимумы. 10 класс "
    ["seo_title"] => string(77) "tiema-uroka-kritichieskiie-tochki-funktsii-ieie-maksimumy-i-minimumy-10-klass"
    ["file_id"] => string(6) "102907"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402559040"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(109) "Урок-зачет "Применение производной к исследованию функций" "
    ["seo_title"] => string(64) "urok-zachiet-primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "121702"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414053528"
  }
}




ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства