Тема: «Критические точки функции, максимумы и минимумы»
Знать: определения точек максимума и минимума функции; необходимое и достаточное условие существования экстремума, алгоритм исследования функции на экстремум.
Уметь: определять критические точки, находить экстремумы функции.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока.
1.Орг. момент.
2.Математический диктант:
3. новая тема
у
Y=f(x)
f (x1)
f (x2)
х
X1 X2
Точка х0 из области определения функции f( x) называется точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такая окрестность этой точки, что для всех
х ≠ х0 из указанной окрестности выполняется неравенство f′(x) < f( х0) (f′(x) > f( х0) ) .
значение функции в точке максимума(минимума) называется максимумом (минимумом) этой функции: тах f′(x)= f( x0) (тіп f( x) = f( x0) ). Точки максимума(минимума) функции называются её точками экстремума, а максимум и минимум функции – экстремумом этой функции. Для функции у = f( x), изображенной на рисунке:
х1 – точка максимума; тах f′(x)= f( x1);
х2 – точка минимума; тіп f( x) = f( x2).
При нахождении экстремума функции используется теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если х0 – точка экстремума функции у = f( x) то производная в этой точке равна 0, т.е. f′(x0) = 0, или не существует.
Определение:
Точки, в которой f′(x) = 0 или f′(x) не существует, называются критическими.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Чтобы определить, является ли критическая точка точкой экстремума, используется достаточный признак экстремума.
Если при переходе (слева направо) через критическую точку (в которой функция определена) производная меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, с «-» на «+» то точкой минимума данной функции. Если при переходе через критическую точку производная знака не меняет, то эта точка не является точкой экстремума рассматриваемой функции
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию.
у = x3 – 3х. D(у) = R; у′ = 3 х2 – 3 = 3 ? (х2 -1 );
4.Работа по карточкам.
5.Закрепление темы.
№ 288
а) f( x) = 4 – 2х + 7х2 , D(f)=R; f′( x) = -2 + 14х;
-2 + 14х = 0
х = ;
6.Тест по теории .
7. Дополнительное задание.
№ 294
Постройте эскиз графика функции обладающей следующими свойствами:
А) D(f)=, f′( х) > 0, при х € (-3;1), f′( х) < 0, при х € (1;5) и f′( 1) = 0.
Б) D(f)= , f′( х) < 0, при х € (-3;1), f′( х) > 0, при х € (1;5); функция f не имеет производной в точке 1.
8. Контрольные вопросы.
Какую точку называют критической точкой функции?
Сформулируйте признак максимума(минимума) функции?
9. Задание на дом.
- № 288 (б,в)
- № 293 (а,в)
- № 295 (а,в)
- Реферат на тему:«Пьер Ферма»
10. Итог урока.
