Исследование функций с помощью производной

Исследование и построение графиков различных функций с помощью производной.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Исследование функций с помощью производной»

( алгоритм)

I курс

алгебра

Алгоритм

Найти область определения функции
Определить чётность функции
Найти точки пересечения графика с осями координат
Найти f ´(x) – производную функции
Найти критические точки функции
Установить промежутки монотонности и экстремумы
Найти значения функции в критических точках
Полученные сведения о производной функции и о функции поместить в таблицу
Построить график функции

1 2 3 4 5 67

Примеры

Область определения функции

функция задаётся формулой
область определения – это множество значений аргумента “x” функции, при которых выполняются действия, указанные в формуле
область определения обозначается “D”
при нахождении области определения надо обращать внимание на действия: деление, извлечение квадратного корня ;

У = х 2 +1

У = √ х

У = - 6 /х

Чётность функции

чтобы установить чётность функции, надо найти f (-x)

если f (-x) = - f (x) , то функция нечётная

если f (-x)   f (x) , то функция ни чётная, ни нечётная

если f (-x) = f (x) , то функция чётная

график симметричен относительно начала координат

график не симметричен относительно оси «у» и начала координат

график симметричен относительно оси «у»

Точки пересечения с осями координат

точки пересечения с осью «ох» (нули функции)

точка пересечения с осью «оу»

функцию приравнять к «0» и решить уравнение f (x) = 0

найти f ( 0 ) = ….

Критические точки функции

найти производную
приравнять производную к «0»
решить уравнение f ´ (x) = 0

внутренние точки области определения, в которых f ´ (x) = 0

точки, в которых производная не существует

0  f (x)  f ´(x)  f (x)   f (x)       f ´(x) х 1 х 6 х 5 х 4 х 2 х 3 + + - - + - + max max min min перегиб перегиб" width="640"

Промежутки монотонности и экстремумы

f ´(x) 0  f (x) 

f ´(x)  f (x) 



f (x)









f ´(x)

х 1

х 6

х 5

х 4

х 2

х 3

max

min

перегиб

Таблица

x

(-∞; x 1 )
f ´(x)
+
f (x)

x 1

(x 1 ; x 2 )
0


-

x 2

f (x 1 )

m a x

0

(x 2 ; x 3 )
+

x 3

f (x 2 )
0

(x 3 ; +∞)

m i n
+

f (x 3 )

П е р е г и б

График
На координатной плоскости отметить:
Точки пересечения с осью «х»
Точку пересечения с осью «у»
Точки минимума, максимума, перегиба
При проведении кривой через точки учитывать
Область определения функции
Симметричность графика функции
Промежутки возрастания и убывания функции
0  f ´ (x) 0  f (x) возрастает на D  функция не имеет критических точек  нет “max” и “min” График имеет вид у 1 х 0 -0,5" width="640"
Задание: исследовать функцию и построить её график
1
f (x) = 1 + 2x
D = ……………..
f (- x) = 1 + 2 (-x) = 1 – 2x = - (-1 + 2x)….  f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  1 + 2x = 0  2x = - 1  x = -1/2  график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 1 + 2 · 0 = 1  график пересекает ось «у» в точке …..
f ´ (x) = (1 + 2x) ´= 0 + 2 = 2
2 0  f ´ (x) 0  f (x) возрастает на D  функция не имеет критических точек  нет “max” и “min”
График имеет вид
у
1
х
0
-0,5

Задание: исследовать функцию и построить её график
2
f (x) = 2 – 3 x
D = ……………..
f (- x) = 2 - 3 (-x) = 2 + 3 x = - (- 2 - 3 x)….  f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  2 - 3 x = 0  - 3 x = - 2  x = 2 / 3  график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 2 - 3 · 0 = 2  график пересекает ось «у» в точке …..
f ´ (x) = (2 - 3 x) ´= 0 - 3 = - 3
- 3  f ´ (x)  f (x) убывает на D  функция не имеет критических точек  нет “max” и “min”
График имеет вид
у
2
х
0
2/3

Задание: исследовать функцию и построить её график
3
f (x) = – x 3
D = ……………..
f (- x) = - (-x) 3 = x 3 = - f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  - x 3 = 0  x = 0  график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = - 0 3 = 0  график пересекает ось «у» в точке …..
f ´ (x) = ( - x 3 ) ´= - 3 х 2
- 3 х 2 = 0  х 2 = 0  х = 0 - критическая точка функции
( - ∞ ) - 0 - ( + ∞ ) f ´(-1) = - 3·(- 1) 2 = - 3
f ´(1) = - 3·( 1) 2 = - 3

7.
x
(-∞; 0)
f ´(x)
0
f (x)
-
(0; +∞ )
0


-
0

П - б
у
8. График
0
х

4
Задание: исследовать функцию и построить её график
Вариант II
Вариант I
Вариант III
f(x)
1
f(x) = x 2 – 10x + 9
D = (- ∞; +∞)
f(x) = x 2 + 2x + 1
2
f(x) = - x 2 + 4x - 5
D = (- ∞; +∞ )
f( - x)= (- x ) 2 – 10 (- x ) + 9 = = х 2 + 10х + 9   f(x)  функция ни чётная, ни нечётная
3
D = (- ∞; +∞)
f( - x) = (- x ) 2 + 2 (- x ) + 1 = = х 2 – 2х + 1   f(x)  функция ни чётная, ни нечётная
А) «нули» функции:
x 2 – 10x + 9 = 0
D = 64
x 1 = 1 x 2 = 9  график пересекает ось «х» в точках: (1; 0) , (9;0)
В) f (0) = 9  график пересекает ось «у» в точке (0;9)
f( - x) = - (- x ) 2 + 4 (- x ) –5 =
= - х 2 - 4х - 5   f(x)  функция ни чётная, ни нечётная
А) «нули» функции:
x 2 + 2 x + 1 = 0
D = 0
х = - 1  график пересекает ось «х» в точке (-1; 0)
В) f (0) = 1  график пересекает ось «у» в точке (0;1)
А) «нули» функции:
- x 2 + 4 x - 5 = 0
D = - 4  уравнение корней не имеет  график не пересекает ось «х»
В) f (0) = - 5  график пересекает ось «у» в точке (0;-5)

Вариант I
Вариант III
Вариант II
4
f ´ (x) = (x 2 – 10x + 9) ´ = = 2x - 10
5
f ´ (x) = (x 2 + 2x + 1) ´=
= 2x + 2
f ´ (x) = 0
2x – 10 = 0
2x = 10 x = 5 - критическая точка
6
f ´ (x) = (- x 2 + 4x – 5) ´=
= - 2x + 4
f ´ (x) = 0
2x + 2 = 0
2х = - 2 х = - 1 – критическая точка

f ´ ( 1 ) = 2 · 1 – 10 = - 8
f ´ ( 6 ) = 2 · 6 – 10 = 2
7
f ´ (x) = 0
- 2x + 4 = 0
- 2х = - 4
х = 2 – критическая точка
8
f( 5 )= 5 2 – 10 · 5 + 9 = - 16

f ´ ( -2 ) = 2 · (-2) + 2 = - 2
f ´ ( 0 ) = 2 · 0 + 2 = 2

f( -1 )= (-1) 2 + 2 · (-1) + 1 = 0

f ´ ( 0 ) = - 2 · 0 + 4 = 4
f ´ ( 3 ) = - 2 · 3 + 4 = - 2
f ( 2 ) = - 2 2 + 4 · 2 – 5 = -1
+
-
+
+
-
-
- 1
2
5
х
х
х
f ´(x)
(- ∞;2)
f ´(x)
(- ∞;-1)
(- ∞;5)
f ´(x)
f (x)
-1
5
f (x)
2
f (x)
-
+
-
(-1;+ ∞)
(2;+ ∞)
(5;+ ∞)
0
0
0



-
-1
0
+
+
-16
min

min


max

Вариант I
Вариант II
Вариант III
9
f (x) = x 2 – 10x + 9

f (x) = x 2 + 2x + 1
f (x) = - x 2 + 4x – 5
y
y
y
0
x
x
2
-1
5
1
0
9
1
5
0
-1
x
- 16

Задание: исследовать функцию и построить её график
5
f (x) = 3x – x 3
D = ……………..
f (- x) = 3(-x) - (-x) 3 = - 3x + x 3 = -(3x – x 3 ) = - f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  3x - x 3 = 0  x(3 – x 2 ) = 0 
x = 0 или 3 – x 2 = 0 x 2 = 3 x =  √3 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( √3 ;0), (- √3 ;0) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0 3 = 0  график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´ (x) = ( 3х - x 3 ) ´= 3 - 3 х 2

5. 3 - 3 х 2 = 0  3х 2 = 3  х 2 = 1  х =  1 - критические точки функции
у
х
0 f ´ ( 2 ) = 3 - 3 ( 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9 f (- 1) = 3(-1) - (-1) 3 = - 3 + 1 3 = - 2 f ( 1 ) = 3 · 1 - 1 3 = 3 - 1 = 2 8. - 1 1 x f ´(x) (- ∞; -1) f (x) - -1  ( -1; 1) 0 + 1 - 2 0  (1;+ ∞) min 2 -  max" width="640"
-
-
+
6.

f ´ (- 2 ) = 3 - 3 (- 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9
f ´ ( 0 ) = 3 - 3 ( 0 ) 2 = 3 0 f ´ ( 2 ) = 3 - 3 ( 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9

f (- 1) = 3(-1) - (-1) 3 = - 3 + 1 3 = - 2
f ( 1 ) = 3 · 1 - 1 3 = 3 - 1 = 2

8.
- 1
1
x
f ´(x)
(- ∞; -1)
f (x)
-
-1

( -1; 1)
0
+
1
- 2
0

(1;+ ∞)
min
2
-

max

y
f (x) = 3x – x 3
2
0
1
-1
x
-2

Задание: исследовать функцию и построить её график
6
f (x) = x 4 – 50 х 2
D = ……………..
f (- x) = (-x) 4 - 50 (-x) 2 = x 4 - 50 x 2 = f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  x 4 - 50 x 2 = 0  x 2 (x 2 – 50) = 0 
x = 0 или x 2 - 50 = 0 x 2 = 50 x =  5 √ 2 (≈ 7,1) график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (- 7,1 ;0), (7,1;0) В) f ( 0 ) = 0 4 – 50 · 0 2 = 0  график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´ (x) = (x 4 - 50 x 2 ) ´= 4 х 3 – 50 · 2х = 4х 3 – 100х

4х 3 – 100х = 0 | : 4  х 3 – 25 х = 0  х(х 2 – 25) = 0  х = 0 или х 2 – 25 = 0  х 2 = 25  х =  5 х =  5 - критические точки функции
х = 0
у
}
х
0 f ´ ( 1) = 1 3 – 25 · 1 2 = 1 - 2 5 f ´ ( 6) = 6 3 – 25 · 6 = 216 - 1 50 0 f ( ± 5) = ( ± 5) 4 - 50 · ( ± 5) 2 = 625 - 1250 = - 625 f (0) = 0 8. - 5 5 0 x f ´(x) (- ∞; - 5) f (x) - 5 - ( - 5; 0)  0 0 - 625 +  m I n 0 ( 0; 5) 5 0 - m a x (5;+ ∞) 0  + - 625  m I n" width="640"
+
-
+
-
6.

f ´ (- 6) = (- 6) 3 - 25(- 6) = - 216 + 1 50
f ´ (- 1) = (- 1) 3 - 25(- 1) = -1 + 25 0 f ´ ( 1) = 1 3 – 25 · 1 2 = 1 - 2 5
f ´ ( 6) = 6 3 – 25 · 6 = 216 - 1 50 0

f ( ± 5) = ( ± 5) 4 - 50 · ( ± 5) 2 = 625 - 1250 = - 625
f (0) = 0

8.
- 5
5
0
x
f ´(x)
(- ∞; - 5)
f (x)
- 5
-
( - 5; 0)

0
0
- 625
+

m I n
0
( 0; 5)
5
0
-
m a x
(5;+ ∞)
0

+
- 625

m I n

f (x) = x 4 – 50 х 2
y
5
- 5
-7,1
7,1
0
x
- 625

Задание: исследовать функцию и построить её график
7
f (x) = 2x 3 – x 4
D = ……………..
f (- x) = 2(-x) 3 - (-x) 4 = - 2x 3 - x 4 = -(2x 3 + x 4 )  ± f (x)  функция ………………  график ………………
А) f (x) = 0  2x 3 - x 4 = 0 x 3 (2 – x) = 0  x = 0 или 2 – x = 0 x = 2 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( 2 ;0 ) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0 3 = 0  график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´ (x) = ( 2 х 3 - x 4 ) ´= 2 · 3 x 2 - 4 х 3 = 6x 2 - 4 х 3

6x 2 - 4 х 3 = 0|:2  3х 2 – 2x 3 = 0  х 2 (3 – 2x) = 0  x = 0 или 3 – 2х = 0  х = 1,5 х = 0 - критические точки функции
х = 1,5
у
}
х
0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 - 2 · 1 3 = 3 - 2 = 1 0 f ´ ( 2) = 3 · 2 2 - 2 · 2 3 = 12 - 16 = – 4 f (1,5) = 2 · (1,5) 3 – (1,5) 4 = 2 · 3,375 – 5,0625 ≈ 1,7 f (0) = 0 8. 1,5 0 x f ´(x) (- ∞; 0) f (x) + 0 0  ( 0; 1,5) + 1,5 0  0 (1,5;+ ∞) Пе ре гиб 1,7 -  m a x" width="640"
-
+
+
6.

f ´ (- 1) = 3(- 1) 2 - 2(- 1) 3 = 3 + 2 = 5 0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 - 2 · 1 3 = 3 - 2 = 1 0
f ´ ( 2) = 3 · 2 2 - 2 · 2 3 = 12 - 16 = – 4

f (1,5) = 2 · (1,5) 3 – (1,5) 4 = 2 · 3,375 – 5,0625 ≈ 1,7
f (0) = 0

8.
1,5
0
x
f ´(x)
(- ∞; 0)
f (x)
+
0
0

( 0; 1,5)
+
1,5
0

0
(1,5;+ ∞)
Пе ре гиб
1,7
-

m a x

y
f (x) = 2x 3 – x 4
1, 7
0
x
2
1,5

Электронная тетрадь по алгебре 9 класс...

Алгебра 7 класс

Электронная тетрадь по алгебре 11 класс...

Математика и игры в средней школе

Математика 5 класс ФГОС

Алгебра 10 класс

Электронная тетрадь по геометрии 8...

Алгебра 8 класс ФГОС

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: Прочее

Скачать
Исследование функций с помощью производной

Бесплатное скачивание файла

Введите Ваш Email

Автор: Трушникова Галина Петровна

Дата: 16.06.2019

Номер свидетельства: 514952

Похожие файлы

Урок алгебры в 11 классе с использованием ИКТ "Исследование функций при помощи производной и построение графиков"

object(ArrayObject)#851 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(208) "Урок алгебры в 11 классе с использованием ИКТ "Исследование функций при помощи производной и построение графиков" " ["seo_title"] => string(124) "urok-alghiebry-v-11-klassie-s-ispol-zovaniiem-ikt-issliedovaniie-funktsii-pri-pomoshchi-proizvodnoi-i-postroieniie-ghrafikov" ["file_id"] => string(6) "142253" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1418238970" } }

Исследование функций методами дифференциального исчисления

object(ArrayObject)#873 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(112) "Исследование функций методами дифференциального исчисления" ["seo_title"] => string(69) "issliedovaniie_funktsii_mietodami_diffierientsial_nogho_ischislieniia" ["file_id"] => string(6) "473235" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1528914952" } }

Урок-зачет "Применение производной к исследованию функций"

object(ArrayObject)#851 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(109) "Урок-зачет "Применение производной к исследованию функций" " ["seo_title"] => string(64) "urok-zachiet-primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii" ["file_id"] => string(6) "121702" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1414053528" } }

«Применение производной к исследованию функции и построению графика функции»?

object(ArrayObject)#873 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(146) "«Применение производной к исследованию функции и построению графика функции»? " ["seo_title"] => string(90) "primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii-i-postroieniiu-ghrafika-funktsii-dwaeg" ["file_id"] => string(6) "208795" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii" ["date"] => string(10) "1430910422" } }

Решение задач на применения производной к исследованию функций

object(ArrayObject)#851 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(118) "Решение задач на применения производной к исследованию функций " ["seo_title"] => string(73) "rieshieniie-zadach-na-primienieniia-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii" ["file_id"] => string(6) "181424" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1425352790" } }

Подтверждение авторства

Пожалуйста, введите ваш Email.

Email

Если вы хотите увидеть все свои работы, то вам необходимо войти или зарегистрироваться

Исследование функций с помощью производной

Просмотр содержимого документа «Исследование функций с помощью производной»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Исследование функций с помощью производной»