Задача учителя при изучении темы «Квадратные уравнения» - добиться безусловного усвоения её каждым учащимся, поскольку умение решать квадратные уравнения относится к числу важнейших умений в курсе алгебры 8 класса. Без этого умения учащиеся не смогут усваивать материал следующих тем. Кроме того, умение решать квадратные уравнения необходимо и при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных, показательных уравнений и неравенств в курсе «Алгебра и начала анализа».Сообщение ученика по теме «Графическое решение квадратных уравнений». Ученик приводит несколько способов графического решения одного и того же квадратного уравнения» и делает выводы о корнях этого уравнения.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Графическое решение квадратных уравнений »
Графическое решение квадратных уравнений
1 способ х2 – 2х – 3 = 0
Построим график функции y=x2 – 2x– 3
1)Имеем: a = 1, b = -2,
x0 = -b ÷ 2a = 1,
y0 = f(1) = 12 – 2 – 3 = -4.
Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4),
а осью параболы – прямая x = = 1.
2) Возьмём на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3.
3) Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
4) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболы.
Построим прямую y=0
Корнями уравнения x2 – 2x – 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы x1 = -1 и x2 = 3
Ответ: х = -1 и х = 3
2 способ. х2 – 2х – 3 = 0
Преобразуем уравнение к виду x 2 = 2 x + 3. Построим в одной системе координат графики функций y=x2 и y= 2x + 3 . Они пересекаются в двух точках А (-1; 1) и В (3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х 1 = -1, х 2 = 3. Ответ: х = -1 и х = 3
3 способ. х2 – 2х – 3 = 0
Преобразуем уравнение к виду х2 – 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у =х2 – 3 и у = 2х . Они пересекаются в двух точках А (-1; -2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = -1, х 2 = 3. Ответ: х = -1 и х = 3
4 способ х2 – 2х – 3 = 0
Преобразуем уравнение к виду
х 2 – 2 х +1 – 4 = 0 и далее х 2 – 2 х + 1 = 4, т.е. (х– 1)2 = 4 Построим в одной системе координат параболу у = ( х – 1)2 и у = 4. Они пересекаются в двух точках А (-1; 4) и В (3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, х 1 = -1, х 2 = 3. Ответ: х = -1, х = 3
5 способ х2 – 2х – 3 = 0
Разделив почленно обе части уравнения на х , получим
х– 2 – 3 /х= 0.
И далее х– 2 = 3/х. Построим в одной системе координат гиперболу у = 3 /х и
у =х– 2. Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В (3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х 1 = -1,
х 2 = 3. Ответ : х = -1, х = 3
Итак, квадратное уравнение x 2 – 2 x – 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов
1 способ
Строят график функции у = a x 2 + b x + c = 0 и находят точки его пересечения с осью х .
2 способ
Преобразуют уравнение к виду а х 2 = - b x – с, строят параболу у = а х 2 и прямую у = - b x – c , находят точки их пересечения ( корнями уравнения служат абсциссы точки пересечения, если, разумеется, такие имеются ).
3 способ
Преобразуют уравнение к виду а х 2 + с = - b x , строят параболу у = а х 2 + с и прямую у = - b x (она проходит через начало координат); Находят точки их пересечения.
4 способ
Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду а ( х + l )2 + m = 0 и далее а ( х + l )2 = - m . Строят параболу у = а ( x + l )2 и прямую у = - m , параллельную оси х ; находят точки пересечения параболы и прямой.
5 способ
Преобразуют уравнение к виду а х 2 ÷ х + b х ÷ х + с ÷ х = 0 ÷ х , т. е. а х + b + c ÷ x = 0 и далее с ÷ х = -а х – b . Строят гиперболу у = с ÷ х (это гипербола при условии, что с не равно 0) и прямую у = -а х – b ; находят точки их пересечения
Я решал одно и то же уравнение графически, строя различные графики, но получил одни и те же корни. Это говорит о том, что независимо от выбора способа решения уравнения, корни не изменяются.
Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида а х 2 + b х + с = 0, а пятый - только к тем, у которых с не равен 0. На практике можно выбирать тот способ, который нам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который нам больше нравится (или более понятен).
Графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.
