Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность.

Общий случай: в некоторой ограниченной области  случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А ? На прямую L ?

L

А



Геометрическое определение вероятности

• Если предположить, что попадание в любую точку области  равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей:

• Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
• Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.

Площадь закрашенной части квадрата 16см 2 – 4см 2 = 12см 2 .

Значит,

Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии?

1

рубль

• Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями.

Опыт 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?

Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

Решение тренировочных задач.

Задачи 1 – 3.

Задача №1. Дано: АВ =12см, АМ =2см, МС =4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х . Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ ; 2) АС ; 3) МС ; 4) МВ ; 5) АВ ?

А М С В

Решение.

• A ={точка Х попадает на отрезок АМ }, АМ =2см, АВ =12см,

2) В ={точка Х попадает на отрезок АС }, АС =2см+4см=6см,

3) С ={точка Х попадает на отрезок МС }, МС =4см, АВ =12см,

4) D={ точка Х попадает на отрезок МВ } , МВ =12см–2см=10см,

5) Е= { точка Х попадает на отрезок АВ } ,

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?

Решение.

а)

б)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Решение.