Что такое "модуль числа"

Модуль числа

Солодова Елена Сергеевна

Учитель математики СОШ №24 имени Бориса Рукавицына

Г. Рыбинск

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты. Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления  0 .

Итак, ты делаешь  3  шага вперёд и оказываешься в точке с координатой  3 . Это означает, что ты удалился от места, где стоял  на  3  шага  ( 3  единичных отрезка).

Если от отправной точки с координатой  0  сделать  3  шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой  −3 .

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки ( 3  и  −3 ), в которых ты оказался, одинаково удалены от точки, из которой было начато движение ( 0 ).

Модуль показывает   расстояние от начала координат до любой точки на координатной прямой

Так, модулем числа   5   будет   5 . Модуль числа   −5   также равен   5 .

Потому что расстояние   не может быть отрицательным ! Модуль – это   абсолютная величина .

Обозначается модуль просто:

| a |,   ( a  — любое число).

Найдём модуль числа   3   и   −3 :

| 3 |= 3, |− 3 |= 3 .

  0 ,  то  | a |= a . Если  a   то  | a | = − a Если  a =0 , то  |0|=0 . Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть: |−4| = |4| = 4; |−7| = |7| = 7." width="640"

Основные свойства модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом  | a | ≥  0

Если  a    0 ,  то  | a |= a .

Если  a   то  | a | = − a

Если  a =0 , то  |0|=0 .

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

|−4| = |4| = 4; |−7| = |7| = 7.

Тренировка на примерах

1.  Найдите значение выражения  | x | + | y | , если  x = −7,5 , y = 12.

2.  У каких чисел модуль равен  5 ?

3.  Найдите значение выражений:

а)  |3| + |−9|;

б)  |−5| − |6|;

в)  |15| ⋅ | − 3|;

г)  |8|:|−2| .

0 ; Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:  | x |2= x 2 ." width="640"

Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а |

Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:  | cx |= c ⋅ | x |  при  c 0 ;

Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:  | x |2= x 2 .

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть:  | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b |

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

| 5 ⋅ 7 | = | 5 | ⋅ | 7 | =  5 ⋅ 7  =  35 ; | 3 ⋅ ( − 2 )| = | 3 | ⋅ | − 2 | =  3 ⋅ 2  =  6 .

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

| a:b |=| a | : | b |  при условии, что  b ≠ 0  (так как на ноль делить нельзя).

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

| a + b |   ≤   | a |+| b |

Допустим, что числа   a   и   b   оба положительные.

Тогда левое выражение будет равно правому выражению.

Рассмотрим на примере

|3+7| = |10| = 10

|3|+|7| = 3+7 = 10

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно,

  левое выражение всегда окажется меньше правого :

|−3+(−7)| = |−3−7| =|−10|=10

|−3|+|−7| = 3+7 = 10

|−3+7| = |4| = 4

|−3|+|7| = 3+7 = 10

Правило сравнения отрицательных чисел

В основе правила – сравнение модулей исходных данных. Сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.

Определение

При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; большим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.

 23. Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим:  −65 Ответ:  -65 

Пример 1

Необходимо сравнить отрицательные числа  −65  и  −23 .

Решение

Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. |-65| = 65 и  |−23| = 23 . Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65  23. Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим:  −65 

Ответ:  -65 

y= Ix+3I

y=IxI+3

y=-2IxI

y=6-Ix-5I

y=1/3Ix-6I-3

Применение модуля числа в математике и повседневной жизни

Модуль числа – это его абсолютное значение. В математике он используется, например, для вычисления расстояния между двумя точками на числовой прямой. Также модуль часто используется при работе с дробными числами или при создании графиков.

В повседневной жизни модуль числа может быть полезен при работе с финансами. Например, когда мы снимаем наличные в банкомате и нам выдают отрицательную сумму, мы можем применить модуль, чтобы узнать, сколько денег было списано со счета в действительности

Также модуль числа может быть использован для оценки экономических показателей, таких как процентные ставки или изменения цен на товары. Например, если ставка по кредиту увеличилась на 2%, то мы можем применить модуль, чтобы увидеть, на сколько процентов выросла ставка относительно изначального значения