"Вписанная и описанная окружности"

Презентация

Вписанная и описанная

окружности

Автор: кучкильдина виктория ученица 9 класса.

Вписанные многоугольники

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Теорема. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

C

D

C

.

a

b

O

B

A

A

B

c

Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD. Требуется доказать, что

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют  360°.  Отсюда

Аналогично доказывается, что и

В

C

.

O

А

D

Описанные многоугольники

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

AB+CD=BC+AD.

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

AB+CD=BC+AD,

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Вписанные и описанные треугольники

Теорема . Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности .

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов 

Теорема. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

Теорема. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

Задача №1

Сторона равностороннего треугольника равна 2.Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник .

C

Решение

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности найдем по формуле r=а:2√3  r= 2√3:2√3=1см

O

r

A

B

Ответ: 1

Задача №2

Сторонаравностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника .

С

Решение cos30˚=

R=2

О

R

В

А

Е

Ответ: 2

Задача №3

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

C

5

Решение 

Треугольники HOB и KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3

PABC=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+6=22

Ответ: 22

K

O

3

r

A

B

Ответ: 22

H

Задача №4

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной

Решение

Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата находим по теореме Пифагора: Диагональ квадрата равна 4, значит радиус описанной окружности равен 2. 

Ответ:2

39

К

Задача №5

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30, радиус описанной окружности равен 39. Найдите высоту трапеции.

B

D

30

Решение

Опустим высоту через центр окружности, тогда KH - высота, а OB и OC - радиусы описанной окружности. Получаем 2 равнобедренных треугольника в которых есть по 2 прямоугольных треугольника и по теореме Пифагора получаем: KH=KO+OH, = и так же = После несложных вычислений получаем: КН=36+15=51 .

O

А

C

H

72

Ответ: 51