Курс позволит повторить алгоритмы решений некоторых типов задач, рассматриваемых в школьном курсе алгебры, ликвидировать пробелы в знаниях, подготовить учащихся к решению аналогичных заданий на ОГЭ и ЕГЭ.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Решение сюжетных задач»
ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 8 КЛАССА
РЕШЕНИЕ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Составитель: Заруцкая Н.В.
Учитель математики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В школьном курсе алгебры решению задач уделяется не так много времени, в основном, это делается как иллюстрация применения того или иного изученного материала. Однако, как показывает практика, часто трудности у учащихся возникают уже при понимании смысла задачи, а затем уже при выборе алгоритма решения. В виду ограниченности времени, выделенного на данный курс, невозможно рассмотреть все типы задач, встречающихся в программе школьного курса алгебры. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь некоторых типов задач.
Цель курса:
Повторить алгоритмы решений некоторых типов задач, рассматриваемых в школьном курсе алгебры , ликвидировать пробелы в знаниях, подготовить учащихся к решению аналогичных заданий на ОГЭ и ЕГЭ.
Задачи курса:
Обобщение и систематизация знаний
Расширение спектра задач, доступных учащимся.
Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление их математических способностей.
Содержание программы:
В данном курсе предусмотрено решение задач объединенных по темам «Проценты» (включая задачи на определение концентрации сплавов и растворов, «потери», выраженные в процентах), «задачи на движение» (в том числе, на движение по воде с учетом течения реки), «задачи на выполнение работы» (в их число входят и задачина «заполнение водойбассейна»).
При решении задач на движение рассматривается метод вспомогательного параметра, т. е. при рассмотрении задачи неизвестное расстояние объявляем известным, обозначаем за S, выражаем остальные величины через S, составляем уравнение, а затем сокращаем на S.
Тематическое планирование курса
(1 час в неделю во втором полугодии, всего 18 часов)
№
п/п
Наименование разделов тем.
Количество часов
1
Проценты от процентов целого. Оставшиеся проценты целого
1
2
Сложение процентов. Уменьшение (увеличение) на несколько процентов
1
3
«Потери», выраженные в процентах. Концентрация раствора. Процент вещества в сплаве
2
4
Сравнение цен
1
5
Доход по вкладу
1
6
Средняя скорость
1
7, 8
Движение в одном направлении с разной скоростью
2
9, 10
Движение навстречу друг другу
2
11, 12
Движение по реке
2
13, 14
Совместная работа, производительность труда
2
15, 16
Заполнение бассейна
1
17
Итоговая диагностика
1
18
Заключительное занятие: работа над ошибками, решение разных задач
1
Список литературы:
Минаева С.С., Дроби и проценты. 5-7 классы / С.С. Минаева. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 125, [3] с.
Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012. – 288 с. – (ГИА-9)
Лаппо Л.Д. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика: сборник заданий / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 159, [1] с.
Математика 9 класс. ГИА 2014: учебно-методическое пособие / Под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2013. – 272 с.
Математика 9 класс. ОГЭ 2016: учебно-методическое пособие / Под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2015. – 334, [1] с.
Приложение
Проценты от процентов целого
Задача 1.
Четверть тиража новой газеты раскуплена в первый же день её выпуска, причем 64% этой газеты продано в газетных киосках. Сколько процентов всего тиража продано в газетных киосках?
Комментарий к решению
Четверть тиража новой газеты составляет его 25%. Найдём 64% от 25%, получим 0,16, т.е. 16%.
Ответ: 16% тиража.
Задача 2.
В голосовании на выборах в окружную администрацию приняло участие 65% избирателей округа, 40% из них проголосовало за кандидата А. Сколько процентов избирателей данного округа отдало голоса за этого кандидата?
Ответ: 26% избирателей.
Задача 3.
Легковые автомобили составляют 60% всего транспорта автопарка, 90% из них – автомобили, выпущенные в России, причем 50% из них – автомобили «ВАЗ». Какой процент автомобилей всего автопарка составляют автомобили «ВАЗ»?
Ответ: 27% всего автопарка.
Задача 4.
Детская литература составляет 80% продукции некоторого издательства, 60% из них – книги для дошкольников, причем из них 50% составляют сказки. Какой процент всей книжной продукции составляет выпуск сказок для детей?
Ответ: 24% продукции.
Задача 5.
Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на 80%. Во время поездки было истрачено 25% имеющегося запаса бензина. Какая часть бака заполнена бензином к концу поездки?
Ответ: 60% бака.
Задача 6.
Бак заполнился дождевой водой на 75%. Израсходовали 40% этого объема воды. Сколько процентов объема бака еще наполнено дождевой водой?
Ответ: 45% бака.
Оставшиеся проценты целого
Задача 1.
Автомобиль прошел 40% пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?
Комментарий к решению
Способ 1.
После того, как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. Найдем 30%, т.е. 0,3 от 60%, получим 18%. Значит всего автомобиль прошел 40% + 18% = 58% пути и ему осталось пройти 100% - 58% = 42% пути.
Способ 2.
После того, как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. А когда он пройдет 30% оставшегося расстояния, то ему останется пройти 70% оставшегося расстояния. Найдем 70%, т.е. 0,7 от 60%, получим 42%.
Ответ: 42% пути. Проверьте ответ, считая путь равным конкретному числу, например, 100 км.
Задача 2.
Велосипедист выехал из дома к озеру. Он проехал 30% расстояния до озера и сделал остановку. Затем он проехал еще 30% оставшегося расстояния и сделал остановку. Сколько процентов всего расстояния ему осталось проехать?
Ответ: 49% расстояния.
Задача 3.
Весь книжный фонд библиотеки был размещен следующим образом: 55% расположили на стеллажах, 60% остатка – в книжных шкафах, а оставшиеся книги в хранилище. Сколько процентов всех книг отправлено в книжное хранилище?
Ответ: 18% всех книг.
Задача 4.
Всю сумму денег, выделенную на покупку спортивного инвентаря, распределили следующим образом: 60% всех денег выделили на покупку спортивных снарядов, 40% остатка – на покупку велосипедов, а оставшиеся деньги на покупку ракеток для тенниса. Какой процент всех денег выделен на покупку ракеток для тенниса?
Ответ: 24% всей суммы денег.
Задача 5.
Собранный урожай яблок распределили следующим образом: 75% всех яблок засушили, 40% остатка пошло на варенье, а из оставшихся 3 кг яблок сварили компот. Сколько всего собрали яблок?
Подсказка к решению: выразите в процентах оставшуюся часть яблок и найдите целое по его части.
Ответ: 20 кг.
Задача 6.
Урожай абрикосов распределили следующим образом: из 60% урожая сварили варенье, из 40% остатка – джем, а оставшиеся 6 кг засушили. Каков весь урожай абрикосов?
Ответ: 25 кг.
Сложение процентов
Задача 1.
В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимаются в спортивных секциях, если число мальчиков и девочек в школе одинаково?
Комментарий к решению
Число мальков и девочек в школе одинаково, а значит в школе 50% мальчиков и 50% девочек. Найдем 16%, т.е. 0,16 от 50%, получим 8%. Найдем 28%, т.е. 0,28 от 50%, получим 14%. Сложим проценты: 8% + 14% = 22% - столько процентов составляют учащиеся школы, которые занимаются в спортивных секциях.
Ответ: 22% школьников.
Задача 2.
В школьном хоре участвуют 14% мальчиков и 20% девочек. Сколько всего процентов школьников участвует в хоре, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?
Ответ: 17% школьников.
Задача 3.
В школьном оркестре играют 12% всех мальчиков и 8% всех девочек, учащихся в школе. Сколько всего процентов учащихся школы играет в оркестре, если число мальчиков составляет 3/5 всех учащихся школы.
Подсказка к решению: в школе 100% учащихся и 3/5 от 100% составляют 60% - таков процент мальчиков школы, а значит девочек 40% от всех учащихся школы.
Ответ: 10,4% школьников.
Задача 4.
В школьном шахматном турнире участвуют 8% мальчиков и 6% девочек. Сколько всего процентов учащихся школы участвуют в шахматном турнире, если число мальчиков составляет 2/5 всех учащихся школы.
Ответ: 6,8% школьников.
Задача 5.
В спортивной школе число мальчиков составляет 3/4 всех учащихся школы. Спортивной гимнастикой занимаются 40% мальчиков и 60% девочек. Сколько всего процентов учащихся школы занимаются спортивной гимнастикой?
Ответ: 45% учащихся.
Задача 6.
В спортивной школе число мальчиков составляет 3/4 всех учащихся школы. Волейболом занимаются 60% мальчиков и 40% девочек. Сколько всего процентов учащихся школы занимаются волейболом?
Ответ: 55% учащихся.
Уменьшение (увеличение) на несколько процентов
Задача 1.
На весенней распродаже в одном магазине товар уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. На ярмарке тот же товар уценили сразу на 45%. Где выгоднее покупателю купить эту вещь?
Комментарий к решению
Товар выгоднее купить там, где он дешевле. В магазине после двух уценок цена товара составляет 0,6 · 0,95 = 0,57 его первоначальной цены, а на ярмарке – 0,55 первоначальной цены. Так как 0,57 больше 0,55, то правильный ответ: на ярмарке.
Ответ: на ярмарке.
Задача 2.
В связи с подорожанием зерна, цены на крупу в одном магазине поднялись сначала на 10%, а через неделю еще на 10%. В другом магазине цены на ту же крупу сразу подняли на 20%. В каком магазине выгоднее купить крупу?
Ответ: в другом магазине.
Задача 3.
В середине года тариф на электроэнергию увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Какое из утверждений верно:
тариф увеличился на 100%;
тариф увеличился меньше, чем на 100%;
тариф увеличился больше, чем на 100%.
Подсказка к решению:
Проверьте свой ответ вычислением или с помощью рисунка.
Ответ: утверждение 3.
Задача 4.
В первом квартале тариф на грузовые перевозки увеличился на 60%, а во втором - еще на 40%. Какое из утверждений верно:
тариф увеличился на 100%;
тариф увеличился меньше, чем на 100%;
тариф увеличился больше, чем на 100%.
Ответ: утверждение 2.
Задача 5.
Цены на товар сначала увеличились на 30%, а потом снизили на 30%. Больше или меньше станет цена на товар относительно его первоначальной стоимости?
Ответ: ниже на 9%.
Задача 6.
Цену на товар сначала увеличили на 20%, а потом снизили на 30%. Больше или меньше на товар относительно его первоначальной стоимости?
Ответ: ниже на 16%.
«Потери», выраженные в процентах
Задача 1.
При сушке яблоки теряют 75% своей массы, т.е. ту часть влаги, которая из них выпаривается. Сушеные яблоки содержат 25% влаги. Какова влажность свежих яблок?
Комментарий к решению: масса сушеных яблок составляет 100% - 75% = 25% массы свежих яблок и она содержит 0,25 · 0,2 = 0,05, т.е. 5% влаги. Таким образом, влажность свежих яблок 75% + 5% = 80%.
Ответ: 80% массы.
Задача 2.
При сушке абрикосов получается 40% сушенных. Сколько процентов влаги содержат свежие абрикосы, если в сушенных 25% влаги?
Ответ: 70% массы.
Задача 3.
Из некоторой массы свежей травы получается 60% сена, содержащего 20% влаги. Какова влажность свежей травы?
Ответ: 52% массы.
Задача 4.
Из некоторой массы свежих грибов получается 20% сушеных грибов, влажность которых 15%. Какова влажность свежих грибов?
Ответ: 83% массы.
Задача 5.
При сушке сливы теряют 75% своей массы. Сушеные сливы содержат 16% влаги. Какова влажность свежих слив?
Ответ: 79% массы.
Задача 6.
При сушке вишни теряют 80% своей массы. Сушеные вишни содержат 10% влаги. Какова влажность свежих вишен?
Ответ: 82% массы.
Задача 7.
Влажность свежескошенной травы составила 70%. Сколько кг сена, влажность которого 20%, получится из 6 тонн этой травы?
Ответ: 2250 кг.
Задача 8.
На хранение было отправлено несколько тонн фруктов, с содержанием воды 95%. За время хранения содержание воды в фруктах понизилось на 1%, в результате чего их вес стал составлять 10 тонн. Сколько тонн фруктов было отправлено на хранение?
Ответ: 12 тонн.
Концентрация раствора. Процент вещества в сплаве
Задача 1.
Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, содержащий 20% сахара?
Комментарий к решению: Определим, сколько сахара в данной массе сиропа: 180 · 0,25 = 45 (г). Теперь найдем, сколько граммов 20-процентного сиропа получится, если взять 45 г сахара: 45 / 0,2 = 225 (г). Таким образом, в данную массу сиропа надо добавить 225 – 180 =
= 45 (г) воды.
Ответ: 45 г.
Задача 2.
Сколько граммов воды надо добавить к 200 г сиропа, содержащего 15% сахара, чтобы получить сироп, содержащий 10% сахара?
Ответ: 100 г.
Задача 3.
Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?
Подсказка к решению. Найдите массу в 40 кг морской воды; поскольку она составит массу соли в новой смеси, а это 2%, то теперь можно найти всю массу новой смеси и ответить на вопрос задачи.
Ответ: 60 кг.
Задача 4.
К 24 л раствора, содержащего 30% соли надо добавить воду так, чтобы получился раствор, содержащий 8% соли. Сколько воды потребуется?
Ответ: 66 г.
Задача 5.
Имеются 2 сплава, состоящие из олова и железа. В первом сплаве содержится 55% железа и 45% олова, а во втором – 80% железа и 20% олова. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, в котором масса железа больше массы олова равно в 3 раза?
Ответ: 1 : 4.
Задача 6.
Сплав золота и серебра, содержащий 80% золота, сплавили с некоторым количеством серебра, в результате чего было получено 20 кг нового сплава, содержащего 70% серебра. Определите, сколько килограммов серебра было добавлено?
Ответ: 12,5 кг.
Сравнение цен
Задача 1.
Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?
Комментарий к решению: Способ 1. Пусть а – цена альбома, тогда цена книги 1,25а. Цена альбома составляет а/1,25а = 100/125 = 4/5 цены книги, т.е. на 1/5 (иначе на 20%) дешевле. Способ 2. Решим задачу, используя схематические рисунки. Цену альбома – 100% изобразим каким-либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25%, т.е. на 1/4 его часть; получим отрезок, соответствующий цене книги.
Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.
Ответ: на 20%.
Задача 2.
Блюдце на 20% дешевле тарелки. На сколько процентов тарелка дороже блюдца?
Ответ: на 25% (проверьте ответ, используя схематический рисунок).
Задача 3.
В этом году тарифы на услуги лодочной станции на 20% ниже по сравнению с прошлым годом. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в этом году?
Ответ: нет (сделав рисунок, убедимся, что в прошлом году тарифы по отношению к нынешним были выше на 20%).
Задача 4.
Чашка на 20% дороже блюдца. Какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца? На сколько процентов блюдце дешевле чашки?
Ответ: на 16,2/3%.
Задача 5.
Цена книги была повышена на 10%. В конце года вновь была установлена старая цена. На сколько процентов снизили цену в конце года?
Ответ: на 9,10/11%.
Задача 6.
Конфеты стали продавать в новой упаковке, при этом масса конфет была увеличена на 25% по сравнению с массой прежней упаковки. На сколько процентов подешевели конфеты, если стоимость новой упаковки осталась прежней?
Ответ: на 20%.
Задача 7.
Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. на сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Ответ: на 40%.
Доход по вкладу
Задача 1.
Петр открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 8%. Если бы он добавил 2000 р., то через год получил бы доход 960 р. Какая сумма была внесена им в банк?
Комментарий к решению: Пусть x р. – сумма, которую Петр внес в банк. Тогда (x + 2000) р. было бы на вкладе, если бы он добавил 2000 р. 0,08(x + 2000) р. – доход 8%, который мог бы получить Петр с этой суммы. Так как доход равен 960 р., то имеем равенство: 0,08(x + 2000) =
= 960. Решив уравнение, получим x= 10000.
Ответ: 10000 р.
Задача 2.
Ольга открыла счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 12%. Если бы она добавила 1000 р., то через год получила бы доход 720 р. Какая сумма была внесена её в банк?
Ответ: 5000 р.
Задача 3.
Магазин приобрел партию товара и от его продажи получил доход 60%. Если бы он приобрел этого на 20 тыс. рублей больше и продавал на тех же условиях, то доход составил бы 72 тыс. рублей. На какую сумму денег был приобретен товар?
Ответ: на 100 тыс. р.
Задача 4.
Магазин приобрел партию товара по оптовой цене, с тем, чтобы, продав товар, получить прибыль 50%. Когда магазин продал 50% товара, а потом продал еще товара, приобретенного на 10 тыс. р., его доход составил 80 тыс. р. На какую сумму денег был приобретен товар?
Ответ: на 300 тыс. р.
Задача 5.
Клиент банка внес некоторую сумму денег на вклад с годовым доходом 6%. Если бы он внес на 5 тыс. рублей меньше, то его годовой доход составил бы 1,5 тыс. рублей. Какая сумма была внесена им в банк?
Ответ: 30 тыс. р.
Задача 6.
Клиент банка внес некоторую сумму денег на вклад с годовым доходом 8%. Если бы он внес на 5 тыс. рублей меньше, то его годовой доход составил бы 1,2 тыс. рублей. Какая сумма была внесена им в банк?
Ответ: 20 тыс. р.
Движение
Средняя скорость
Задача 1.
Автомобиль двигался половину времени со скоростью 80 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. Ответ дайте в км/ч.
Комментарий к решению:
Ответ: 90.
Задача 2.
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Ответ: 53 км/ч.
Задача 3.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 250 км, выехал автобус. Спустя час вслед за ним выехал автомобиль, который прибыл в пункт B на 40 минут раньше автобуса. Вычислите среднюю скорость движения автобуса (в км/ч), если известно, что она в 1,5 раза меньше средней скорости автомобиля.
Ответ: 50 км/ч.
Задача 4.
Первые 120 км пути автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, следующие 90 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 190 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 80.
Задача 5.
Первые 35 км пути автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 121 км – со скоростью 55 км/ч, а затем 147 км – со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 60,6.
Задача 6.
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие пять часов – со скоростью 90 км/ч, а затем один час – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 81,25.
Задача 7.
Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие восемь часов – со скоростью 70 км/ч, а затем четыре часа – со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 76.
Движение в одном направлении с разной скоростью
Задача 1.
Велосипедист проехал расстояние между двумя поселками за 3 дня. В первый день он проехал 1/6 всего пути и еще 50 км, во второй 1/5 всего пути и еще 15 км, а в третий день 1/20 всего пути и оставшиеся 70 км. Найдите расстояние между поселками.
Ответ: 324 км.
Задача 2.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда. Скорость пассажирского
поезда равна 80 км/ч, и, догнав товарный поезд, он прошел мимо него за 90 секунд. Найдите скорость товарного поезда (в км/ч), если его длина составляет 600 метров, а длина пассажирского поезда – 300 метров.
Ответ: 44.
Задача 3.
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 100 км/ч и 80 км/ч. Длина пассажирского поезда составляет 360 метров. Найдите длину скорого поезда (в метрах), если поезда прошли мимо друг друга за 12 секунд.
Ответ: 240.
Задача 4.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 25 км, спортсмен во время тренировки планировал добраться за определённое время. Пройдя 5 км, он сделал остановку на 30 минут, а затем, увеличив скорость на 2 км/ч, продолжил движение и прибыл в пункт B вовремя. Определите начальную скорость туриста (в км/ч).
Ответ: 8.
Задача 5.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 110 км, велосипедист планировал добраться за определённое время. Проехав 50 км, он сделал незапланированную остановку на 15 минут, а затем, увеличив скорость на 8 км/ч, продолжил движение и прибыл в пункт B вовремя. Определите скорость велосипедиста (в км/ч) после остановки.
Ответ: 48.
Задача 6.
Из пункта A в направлении пункта B вышел поезд. Пройдя 450 км, что составляет половину пути из A в B, он остановился из-за снежного заноса. Через 1 ч 15 мин поезд продолжил движение, увеличив скорость на 12 км/ч, и прибыл в пункт B без опоздания. Найдите, с какой скоростью (в км/ч) двигался поезд до непредвиденной остановки.
Ответ: 60.
Задача 7.
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобилиста. Проехав 120 км, первый водитель приехал в пункт B на 30 минут раньше второго. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она на 20 км/ч больше скорости второго.
Ответ: 80 км/ч.
Задача 8.
Из пункта A в пункт B ведут две дороги. По первой дороге длиной 40 км поехал велосипедист. Вторая дорога на 50 км длиннее, и по ней поехал автомобилист. В пункт B автомобилист приехал на 30 минут раньше велосипедиста. Определите скорость велосипедиста, если известно, что она на 40 км/ч меньше скорости автомобилиста.
Ответ: 20 км/ч.
Задача 9.
Рыболов возвращался домой с озера, расстояние от которого до дома 12 км. В середине пути он встретил знакомого, с которым задержался на 12 минут, но, увеличив скорость на 1 км/ч, дошёл домой вовремя. С какой скоростью он прошёл вторую половину пути?
Ответ: 6 км/ч.
Задача 10.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, выехал велосипедист. В середине пути он задержался на 25 минут, чтобы сделать фотосессию. Чтобы прибыть вовремя, он увеличил скорость на 5 км/ч. С какой скоростью он ехал первую половину пути?
Ответ: 15 км/ч.
Задача 11.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, выехал велосипедист. В середине пути он задержался на 25 минут, чтобы сделать фотосессию. Чтобы прибыть вовремя, он увеличил скорость на 5 км/ч. С какой скоростью он ехал первую половину пути?
Ответ: 15 км/ч.
Задача 12.
Автобус изменил график движения, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите, сколько двигался автобус по новому графику, если теперь он
проходит расстояние в 650 км на 80 минут быстрее, чем раньше.
Ответ: 75.
Задача 13.
Из города A в город B, расстояние между которыми 400 км, выехал автобус. Через час вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше, чем скорость автобуса. В город B они выехали одновременно. Найдите скорость автобуса.
Ответ: 80 км/ч.
Задача 14.
Из города A в город B, расстояние между которыми 240 км, выехал автобус. Через 1 час 36 минут вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 40 км/ч больше, чем скорость автобуса. В город B они выехали одновременно. Найдите скорость легкового автомобиля.
Ответ: 100 км/ч.
Задача 15.
Из пункта A круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?
Ответ: 120 мин.
Задача 16.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 90 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 5 часов 24 минуты позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 10.
Задача 17.
Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
Ответ: 32 мин.
Задача 18.
Первый автомобиль проходит в минуту на 200 м больше, чем второй, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на 10 секунд меньше. Сколько километров в час проходит каждый автомобиль?
Ответ: 72 км/ч и 60 км/ч.
Задача 19.
Из пункта A в пункт B выехал автобус. Спустя 40 минут вслед за ним выехал автомобиль, который прибыл в пункт B одновременно с автобусом. Вычислите расстояние (в км) между пунктами A и B, если известно, что средняя скорость движения автобуса составила 60 км/ч, а средняя скорость автомобиля – 90 км/ч.
Ответ: 120.
Задача 20.
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля – 60 км/ч, а скорость второго – 90 км/ч. Спустя 30 минут из города A в город B выехал третий автомобиль, который догнал сначала первый автомобиль, а через час после этого догнал второй автомобиль. Найдите скорость (в км/ч) третьего автомобиля.
Ответ: 120.
Задача 21.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда. Скорость пассажирского поезда равна 80 км/ч, и, догнав товарный поезд, он прошел мимо него за 90 секунд. Найдите скорость товарного поезда (в км/ч), если его длина составляет 600 метров, а длина пассажирского поезда – 300 метров.
Ответ: 44.
Движение навстречу друг другу
Задача 1.
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 100 км/ч и 80 км/ч. Длина пассажирского поезда составляет 360 метров. Найдите длину скорого поезда (в метрах), если
поезда прошли мимо друг друга за 12 секунд.
Ответ: 240 м.
Задача 2.
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,2 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,3 км/ч, а другой – со скоростью 2,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?
Ответ: 4,6 км.
Задача 3.
Пешеход и велосипедист одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 6,4 км от места отправления. Скорость пешехода равна 2,5 км/ч, а скорость велосипедиста – 13,5 км/ч. Доехав до опушки, велосипедист с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от опушки произойдет встреча велосипедиста с пешеходом?
Ответ: 4,4 км.
Задача 4.
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
Ответ: 15 ч.
Задача 5.
Велосипедист и мотоциклист выезжают одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 60 км, по одной дороге и встречаются через 1 ч. Чему равна скорость велосипедиста, если мотоциклист проезжает каждый километр на 1,5 минуты быстрее велосипедиста?
Ответ: 20 км/ч.
Задача 6.
Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 54 и 72 км/ч. Пассажир, находящийся во втором поезде, замечает, что первый
поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина первого поезда?
Ответ: 490 м.
Задача 7.
Два поезда длиной по 360 м каждый движутся по прямым параллельным путям навстречу друг другу с одинаковой скоростью 54 км/ч. Какое время пройдет после встречи поездов до того, как разминутся последние вагоны?
Ответ: 24 сек.
Задача 8.
Два автобуса одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов M и N, расстояние между которыми 70 км, и через 40 минут одновременно прибыли в промежуточный пункт P. Найдите расстояние (в км) между пунктами M и P, если известно, что средняя скорость автобуса, выехавшего из пункта M, оказалась на 15 км/ч больше средней скорости автобуса, выехавшего из пункта N.
Ответ: 40.
Движение по реке
Задача 1.
Моторная лодка проплывает по реке расстояние от пункта A до B и обратно за 4 часа 40 минут, сделав вынужденную остановку на 30 минут. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч, а расстояние между пунктами A и B равно 30 км.
Ответ: 3 км/ч.
Задача 2.
Катер с отдыхающими проплыл по течению реки некоторое расстояние. После чего сделал остановку на 1 час и вернулся обратно, затратив на всю прогулку 10 часов. Найдите, какое расстояние проплыл катер, если скорость течения реки 2 км/ч, а его собственная скорость 18 км/ч?
Ответ: 160 км.
Задача 3.
Путешественники отправились вниз по реке на плоту. Проплыв некоторое расстояние они сделали привал на 1,5 часа и вернулись обратно на
лодке, затратив 11,5 часов на всё путешествие. Найдите, какое расстояние путешественники прошли на плоту, если скорость течения 3 км/ч, а собственная скорость лодки равна 10 км/ч.
Ответ: 21 км.
Задача 4.
Катер рыбнадзора патрулирует участок реки длиной 240 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если по течению катер проходит патрулируемый участок на 2 часа быстрее, чем против течения.
Ответ: 22 км/ч.
Задача 5.
Катер рыбнадзора начал преследовать катер браконьеров, когда между ними было 500 м и достиг его через 20 минут. Какова собственная скорость катера рыбнадзора, если скорость течения реки 2 км/ч, скорость катера браконьеров против течения реки 18 км/ч?
Ответ: 21,5 км/ч.
Задача 6.
Геологи проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние по течению реки, затем причалили к берегу и, обследовав берег в течение 4 часов, вернулись обратно через 10 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 4 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч?
Ответ: 18 км.
Задача 7.
Рыболовы отплыли на лодке от пристани по течению реки на некоторое расстояние, бросили якорь, 3 часа ловили рыбу и вернулись обратно через 9 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани отплыли рыболовы, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Ответ: 16 км.
Задача 8.
На путь по течению реки катер потратил 1 час и проплыл 15 км. На обратный путь катер затратил 90 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения (в км/ч).
Ответ: 12,5 и 2,5.
Задача 9.
Спортсмен проплыл на байдарке против течения некоторое расстояние. Затем два часа отдохнул и вернулся обратно. Всё путешествие заняло 5 часов. Определите, на сколько километров спортсмен удалился от исходной точки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч, а
собственная скорость лодки – 6 км/ч.
Ответ: 8 км.
Задача 10.
Спортсмен проплыл на байдарке против течения некоторое расстояние. Затем час отдохнул и вернулся обратно. Всё путешествие заняло 4,5 часа. Определите, на сколько км от исходной точки удалился спортсмен, если скорость течения реки составляет 3 км/ч, а собственная скорость байдарки 7 км/ч.
Ответ: 10 км.
Задача 11.
Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 минут меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: 21.
Задача 12.
Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, одновременно отправились плот и катер. Прибыв в пункт B, катер тут же повернул обратно и вернулся в пункт A. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что к моменту возвращения катера в пункт A плоту оставалось проплыть четвёртую часть расстояния от пункта A до пункта B, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: 9.
Задача 13.
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми 5 км, отправился плот, двигаясь по течению реки со скоростью, равной скорости течения. Одновременно с этим от пристани B к пристани A отправилась моторная лодка. Лодка проплыла мимо плота через 30 минут и прибыла к пристани A на 1 час 20 минут раньше, чем плот прибыл к пристани B. Определите скорость течения реки (в км/ч).
Ответ: 2,5.
Задача 14.
Моторная лодка плыла сначала 6 минут по озеру, в стоячей воде, а затем 10 минут по реке, против течения. Обратный путь, двигаясь с той же собственной скоростью, лодка прошла за 11 минут. Найдите отношение длины пути, пройденного лодкой по озеру, к длине пути, пройденного ею по реке.
Ответ: 0,9.
Выполнение работы
Совместная работа, производительность труда
Задача 1.
Двое каменщиков, работая вместе, за 1 час могут выложить участок стены площадью 2 м2. Работая отдельно, второй каменщик выложит участок стены площадью 4,8 м2 на 2 часа быстрее, чем это сделает первый. За сколько часов, работая отдельно, первый каменщик выложит стену площадью 8 м2?
Ответ: 10 часов.
Задача 2.
Токарь VI разряда и его ученик за час вместе изготавливают 40 деталей. Ученику для изготовления 40 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 96 деталей. Сколько деталей в час изготавливает токарь?
Ответ: 32.
Задача 3.
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за 18 часов. За сколько часов выполнят заказ эти мастера, работая вместе?
Ответ: 7,2 часа.
Задача 4.
Работу по обновлению фасада здания первый маляр выполнит на один день быстрее, чем второй, и на 4 дня быстрее, чем третий. Второй и третий маляры, работая вместе, выполнят эту работу за то же время, что и первый маляр, работая один. За сколько дней выполнит эту работу
первый маляр?
Ответ: 2 дня.
Задача 5.
Первый наборщик набирает за час 5 страниц текста, второй – 6 страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для набора каждому из них, если требуется, чтобы весь текст, объём которого 216 страниц, был набран как можно быстрее.
Ответ: 60 стр., 72 стр., 84 стр.
Задача 6.
Два рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 2 ч 55 мин. Сколько времени каждый из них потратил бы на эту работу, работая в одиночку, если известно, что один из них выполнил бы эту работу на 2 ч быстрее другого?
Ответ: 5 ч и 7 ч.
Задача 7.
Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 15 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
Ответ: 480 мин.
Задача 8.
Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
Ответ: 540 мин.
Заполнение бассейна
Задача 1.
Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй – за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Ответ: 12 минут.
Задача 2.
Бассейн можно наполнять через четыре трубы. Если открыть вторую, третью и четвёртую трубу – то бассейн наполнится за 1 час, если открыть первую, третью и четвёртую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только первую и вторую трубу – бассейн будет наполняться 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Ответ: 50 минут.
Задача 3.
Бассейн можно наполнять через четыре трубы. Если открыть первую, вторую и третью трубу, то бассейн наполнится за 1 час 45 минут, если открыть первую, вторую и четвёртую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только третью и четвёртую трубу –
бассейн будет наполняться 2 часа 55 минут. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы? Ответ выразите в минутах.
Ответ: 70.
Задача 4.
Через первую трубу бассейн наполняется на 6 часов дольше, чем через вторую, и на 8 часов дольше, чем через третью. Если одновременно открыть первую и вторую трубу, то бассейн наполнится за то же самое время, что при открытой только третьей трубе. За сколько часов бассейн наполняется через третью трубу?
Ответ: 4 часа.
Задача 5.
Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй – за 36 минут, а третий – за 1 час 12 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Ответ: 12 минут.
Задача 6.
Бассейн можно наполнить через четыре трубы. Если открыть вторую, третью и четвертую трубу, то бассейн наполнится за 1 час, если открыть первую, третью и четвертую – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только первую и вторую трубу – бассейн будет наполняться 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Ответ: 50 минут.
Задача 7.
Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй – за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
