Развитие математических способностей учащихся 6 классов основной школы посредством решения занимательных задач

«Развитие математических способностей учащихся 6 классов основной школы посредством решения занимательных задач»

Дипломная работа

Содержание.

Ведение ……………………………………………………………………

Глава I. Теоретические основы развития математических способностей учащихся 6 классов посредством применения занимательных задач

1. Психолого-педагогический основы развития математических способностей. ……………………………………………………………

2. Особенности развития математических способностей учащихся 6 классов……………………………………………………………….....

3. Занимательные задачи как средство развития математических способностей учащихся 6 классов.

Глава II. Опытно-экспериментальная работа по развитию математических способностей учащихся 6 классов посредством занимательных задач.

2.1. Изучение показателей развития математических способностей 6 классов.

2.2. Опытно-экспериментальная работа по развитию математических способностей учащихся 6 классов посредством применения занимательных задач.

2.3. Итоги опытно- экспериментальной работы.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложение.

Введение.

Актуальность выбранной темы работы состоит в том, что в современных условиях ускоряющего развития общества необходимо развивать математические способности подрастающего поколения. В математике заложены огромные возможности для развития мышления детей в процессе их обучения.

В этих непростых условиях педагогу необходимо стремиться сделать процесс обучения интересным и максимально гуманным для каждого ребенка, помогать ученикам обрести чувство собственного достоинства, достигнуть успеха в освоении знаний.

В школе обычно считается, что задачей школьного курса является лишь освоение теоретических знаний (правил действий над буквенными выражениями, решение уравнений и неравенств, исследование свойств геометрических фигур и т.д.), а о процессе возникновении математических понятий и их практическом приложении речь, как правило, не идет. В результате учащиеся не осознают практическую значимость математической

науки и ее место в системе наук. Их деятельность на уроках математики становится формальной, теряет личностный смысл.

На уроках математики по традиционной программе при решении школьных задач учащиеся применяют для их решения определенные знания, умение и навыки. Их роль заключается в обработке и закреплении конкретных умений и навыков. При этом известная схема применения способов их решения ограничивает самостоятельный поиск учащихся. Учащиеся, постоянно следуя жестко предписанным операциям, привыкают к однотипным действиям, начинают мыслить и действовать по стандарту, что естественно, тормозит развития у них математических способностей.

Роль математики в развитии математических способностей исключительно велика, так как математический материал содержит высокий уровень абстракции, и знания в курсе математики изложены способом восхождения от абстрактного к конкретному. Одним из эффективных способов развития математических способностей является решение учащимися занимательных задач. Решение занимательных задач способно привить интерес ребенка к изучению математики.

Актуальность и недостаточная разработанность проблемы развития математических способностей учащихся, обусловили выбор темы:

«Развитие математических способностей учащихся 6 классов основной школы посредством решения занимательных задач».

Объект исследования: Учебный процесс учащихся в общеобразовательной школе.

Предмет исследования: развитие математических способностей учащихся 6 классов посредством применения занимательных задач.

Цель исследования: изучить особенности применения занимательных задач как средство развития математических способностей учащихся 6 классов.

Исходя из поставленной цели, была определена рабочая гипотеза: процесс развития математических способностей учащихся 6 классов посредством использования занимательных задач, будут наиболее эффективным, при условии, если:

- необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения;

- задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

• систематически прослеживать развитие математических способностей.

Задачи исследования.

1. Изучить и проанализировать научно-методическую, психолого-педагогическую литературу по развитию математических способностей.

2. Исследовать особенности применения занимательных задач с целью развития математических способностей учащихся 6 классов;

3. Разработать систему занимательных задач, развивающих математические способности учащихся 6 классов;

4. Провести анализ результатов эксперимента, на основе этого предложить методические рекомендации.

Научно-теоретические основы исследования. Наше исследование основывается на трудах известных психологов (Л.С. Выготского, Л.В.Занкова, Д.Н Богоявленского, П.Я. Гальперина, З.И. Калмыковой, Н.А. Менчинской, Я.А. Пономарева, С.Л. Рубинштейна, Н.Ф. Талызиной), где обоснованы психологические закономерности развития математических способностей школьников. Вопросы развития математических способностей учащихся при обучении математике исследовали ученые математики-методисты (А.Н.Колмогоров, В.А. Крутецкий, Л.К.Максимова, А.А. Маркушевич, М.В. Потоцкий, О.С.Медведева, Пиаже Ж., Пойа Д., Б.В. Гнеденко, Л.М.Фридман).

Методы исследования: изучение и анализ научно-методической, психолого-педагогической литературы по теме исследования; проведение педагогического эксперимента и количественно-качественная обработка результатов исследования; изучение реального складывающегося опыта через наблюдение, тесты, беседа; экспериментальные методы (констатирующий и формирующий этапы эксперимента); теоретическая и методическая интерпретация педагогического эксперимента, анализ, статистическая обработка результатов исследования.

Практическая значимость работы заключается в том, что даны практические рекомендации по развитию математических способностей, подобраны занимательные задачи, которые могут быть использованы учителем математики при изучении темы.

Экспериментальной базой исследования были учащиеся 6 «а» и 6 «б» классов МОУ «Харбалахской средней общеобразовательной школы им. Н.Е. Мординова – Амма Аччыгыйа» с охватом 14 детей.

Структура исследования дипломной работы состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Глава I. Теоретические основы развития математических способностей учащихся 6 классов посредством применения занимательных задач.

1. Психолого-педагогический анализ развития

математических способностей.

Способности рассматривается как продукт исторического развития общественной практики, как особая теоретическая форма человеческой деятельности. Проблема способностей – одна из наиболее интересных и важных для педагогической практики. Именно проблемы способностей лежат в основе обучения математики. Школа призвана всесторонне развивать всех школьников и тем самым выявлять и учитывать наиболее яркие способности у каждого.

С.Л. Рубинштейн писал, что «под способностями обычно понимают свойства или качества человека, делающие его пригодным к успешному выполнению какого-либо из видов общественно-полезной деятельности, сложившегося в ходе общественно-исторического развития».

Б.М. Теплов включал три признака в понятие «способности»: «Во-первых, под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого… Во-вторых, способностями называются не всякие, вообще, индивидуальные особенности, а лишь такие, которые имеют отношение к сущности выполнения какой-либо деятельности или многих деятельностей… В-третьих, понятие «способность» не сводится к тем знаниям, навыкам или умениям, которые уже выработаны у данного человека».

Способности бывают общими и специальными. Развитие общих способностей необходимо не только для достижения успеха в конкретной деятельности человека, но и обуславливает возможность достижений одновременно в разных областях.

Для характеристики общих способностей С.Л. Рубинштейн ввел понятие ядра способностей. «Ядром, или общим компонентом различных умственных способностей, каждая из которых имеет и свои специальные особенности, является свойственное данному человеку качество процессов анализа (а, значит, и синтеза) и генерализации, особенно генерализации отношений».

Специальные способности – это способности к отдельным конкретным видам деятельности. Их можно определить как индивидуально-психологические особенности человека, отвечающие требованиям данной деятельности и являющиеся условием ее успешного выполнения.

Таким образом, математические способности относят к специальным способностям. Процесс развития математических способностей – очень сложный процесс. Ученик обладая какими-то общими способностями и задатками, развиваясь, развивает их. С другой стороны, так как каждый ученик изучает математику и развивается при этом, то он развивает некоторые общие математические способности, которые в определенной мере присущи всем или почти всем. В процессе обучения математике при определенных задатках у части учащихся развиваются специальные способности к математике. При этом каждый из перечисленных видов способностей у каждого человека развивается индивидуально. Каждый ученик обладает в определенной мере математическими способностями. Оценить и развить эти способности – задача педагогов. (Гусев)

Исследования многих отечественных и зарубежных психологов (П.П. Блонского, Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, В.А. Крутецкого, Я.А. Пономарева, С.Л. Рубинштейна, Н.Ф. Талызиной, Л.М. Фридман, Н. Майер, Ж. Пиаже, Г. Хемли и др.) показывают, что без целенаправленного развития математического мышления, математических способностей, являющиеся одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности, невозможно достичь эффективных результатов в обучении, систематизации знаний, умений и навыков. Обычно развитие способностей в процессе обучения математике сводят к развитию лишь логического мышления, что неправомерно. Поэтому для нашего исследования необходимо: дать определение математического мышления в аспекте конкретных целей обучения; адаптировать критерии развития математических способностей к выбранному направлению.

Наиболее распространена такая характеристика математического мышления, когда основными его компонентами называют абстрактность, гибкость и другие качества. Так, Г. Хемли выделил три вида операций: классификацию, порядок и соответствие, считая, что они наиболее полно характеризуют действия с любым математическим материалом [49, c.35].

В результате исследования структуры математического мышления В. Хаекер и Т. Циген выделили компоненты, составляющие его "ядро":

1) пространственный — понимание пространственных фигур, образов и их составляющих, память на пространственные образы, пространственные абстракции;

2) логический — образование понятий и понятий-абстракций: понимание, запоминание и самостоятельное выведение общих понятийных связей, заключений и доказательств по правилам формальной логики, образование числовых представлений, память на число, числовые решения;

3) символический — понимание и запоминание символов, операции с ними [49, c.93].

Специфика математического мышления и его особенности рассматриваются во многих работах математиков-педагогов. Так, А. Пуанкаре и Ж. Адамар, с одной стороны, отмечали специфичность мышления математика, проявляющуюся в свойственной математикам "математической индукции", подсознательной творческой работе, указывая, что математическое творчество связано с общим интеллектом, творчеством вообще; с другой стороны, говорили о необходимости особого логического мышления [49, c.186].

Пониманию сути, содержания и способов математического мышления помогают выделенные специалистами личностные и мыслительные качества, характеризующие математическое мышление при решении математических проблем, задач. А.Н. Колмогоров таким качеством считал "нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила ("алгоритмические способности"), геометрическое воображение или "геометрическая интуиция", искусство последовательного расчлененного логического рассуждения, в частности понимание и умение правильно применять принцип индукции" [20, с.10]. Б.В. Гнеденко основным требованием к математическому мышлению выдвигает способность улавливать нечеткость рассуждений, необходимость полноценного логического аргументирования, четкую расчлененность рассуждений, лаконизм, точность символики. [12, c.30].

Особого внимания в аспекте нашего исследования заслуживает идея Д. Пойа. Отмечая один из возможных путей развития мышления детей при решении математических задач, он указывал: "...Преподавателю математики представляются великолепные возможности. Если он заполнит отведенное ему учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие, упустит свои возможности. Но если он будет пробуждать любознательность учащихся, предлагая им задачи, соизмеримые с их знаниями, и своими наводящими вопросами будет помогать им решать эти задачи, то он сможет привить им вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности" [45, с. 65].

Этой идеи придерживается и В.А. Крутецкий. Он считает, что основой обучения должно стать не запоминание учениками информации, которой снабжает их учитель, а активное участие в процессе ее приобретения, самостоятельное мышление школьников, постепенное формирование способности к самообучению. "Развитие активности в умственной деятельности происходит в результате перехода ученика от действий, совершаемых по заданию учителя, к самостоятельным действиям, творческим поискам проблем и разрешению их. Самостоятельное открытие учениками того, что уже известно человечеству, но неизвестно самому ученику, является субъективно творческим процессом" [21, с. 84].

В.А. Крутецкий отмечает, что мышление способных к математике учеников отличается: быстрым и широким обобщением; стремлением мыслить свернутыми умозаключениями; большой подвижностью мыслительных процессов; свободным переключением от одной умственной операции к другой; тенденцией к ясности; простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения [21, c.192].

Самое главное при обучении математике — формировать у учащихся

обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. Существуют разные пути достижения этого в зависимости от индивидуально-типологических особенностей школьников. При обучении учителю следует руководствоваться теми особенностями мышления ученика, которые у него наиболее выражены, и, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфические слабые черты его математического мышления.

По определению А.Н. Колмогорова и В.А. Крутецкого, основными характеристиками математического мышления является способность:

1) к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

2) обобщению математического материала, вычленению главного, отвлекаясь от несущественного, видению общего во внешне различном;

3) оперированию числовой и знаковой символикой;

4) "последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению", связанному с потребностью в доказательствах, обоснованиях, выводах;

5) сокращению процесса рассуждения, мышлению свернутыми структурами;

6) обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

7) гибкости мышления, переключению от одной умственной операции к другой, свободе от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов (эта особенность нужна в творческой работе математика);

8) математической памяти на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

9) пространственным представлениям, которая прямым образом связана с геометрией (особенно с геометрией в пространстве) [20, 21].

А.И. Маркушевич в характеристике математической способности выделяет умение вычленять сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей, абстрагироваться, строить такую схему явления, в которой присутствует только то, что нужно для математической трактовки вопроса, а именно: отношения порядка, принадлежности, количества и меры, пространственного расположения; схематизировать; выводить логические следствия из данных предпосылок; анализировать данный вопрос, вычленяя из него частные случаи, различать, когда они исчерпывают все возможности или являются только примерами из всех частных случаев; к конкретным вопросам применять выводы, полученные из теоретических рассуждений, и сопоставлять результаты с тем, что теоретически предполагается, оценивать влияние изменяющихся условий по надежности результата; обобщать полученные выводы и ставить новые вопросы в обобщенном виде [27, с. 7].

Одним из важнейших качеств математического мышления М.В. Потоцкий считает "умение расчленять комплексы, в частности, обнажить логическую структуру, рассуждения, умение отделить то, что доказано, от всего привнесенного...", а также умение "оторвавшись от проторенных путей, или иногда идя по ним, сразу заметить тот путь, который ведет от исходных предпосылок к намеченным конечным выводам" [47, с. 130]. При этом "математическое мышление надо развивать путем преодоления трудностей... в решении целесообразно подобранных задач" [47, с. 136].

Анализ методической литературы показал, что существуют три основные формы управления мыслительной деятельностью учащихся:

1. Учитель выбирает ту информацию, которая должна действовать на их органы чувств. При мыслительной обработке этой информации ученики, как правило, осознают содержание мыслительных процессов, а методы мышления остаются неосознанными.

2. Учитель, ставя перед учащимися цель деятельности, развивает мотивы, которые побуждают учеников стремиться к ней. Ученики пробуют различные методы и средства решения, находят более целесообразные и запоминают их.

3. Учитель систематически развивает средства, которые нужны для решения определенного типа задач, т.е. формирует некоторые алгоритмические и эвристические программы деятельности. Для этого он, пользуясь примерами и предписаниями, доводит до сознания учеников не только содержание, но и методы мыслительной деятельности.

По нашему мнению, не вызывает сомнений необходимость целенаправленного развития мышления учащихся для формирования личности, способной мышление надо развивать путем преодоления трудностей в решении целесообразно подобранных задач.

Математическое мышление как процесс, характеризующий активность личности, получает свое наибольшее развитие в деятельности. При изучении математики такой деятельностью является решение учебных задач, т.е. процесс непрерывного взаимодействия познающего субъекта с познаваемым объектом [53, c.39].

Математическое мышление является составной частью мышления вообще. Тем не менее оно обладает некоторыми особенностями, прежде всего связанными с особенностями отражения математикой реальной действительности. Если в естественных науках, с которыми математика наиболее связана, результаты получаются на основе эксперимента, то в математике эксперимент играет лишь вспомогательную роль и служит средством построения гипотез. Математика, абстрагируясь от конкретного, обладает высокой степенью общности за счет построения многоступенчатых абстракций. В математике тот или иной факт либо доказывается с исчерпывающей обоснованностью, либо беспощадно отбрасывается. Такие жесткие требования в некоторых случаях путают детей, и сложность состоит в постоянном приучении их к полноте и обоснованности аргументации[26, c.52].

Под критериями развития математического мышления необходимо понимать показатели (существенные признаки), свидетельствующие о достижении того или иного уровня развития математического мышления учащихся, а уровень — это степень осознанности изучаемого материала. Анализ психолого-педагогической литературы [26, c.57] свидетельствует о том, что в процессе обучения школьники не только усваивают знания, но и совершенствуют свои умственные способности.

Как отмечает, Вейль Г. «Развитие математического мышления — это внутренний процесс изменения его содержания и формы. Содержание математического мышления составляют умственные операции, которые развиваются в процессе их применения, когда "происходит формирование отдельно взятых самостоятельных операций, приемов решения задач. Затем формируются группы, последовательности этих операций — умственных действий, выступающие в качестве единиц мыслительного процесса. И лишь после этого происходит формирование умений построения умственных действий, предназначенных для решения той или иной задачи» [6, c.13].

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированностью умений выявлять, усваивать и запоминать основное из того большого объема

информации, который содержит школьный курс математики.

У школьников должны быть сформированы определенные качества математических способностей, твердые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес. Поэтому естественно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в средней школе большое значение имеет проблема формирования у учащихся математического мышления.

Таким образом, под математическим способности необходимо понимать процесс опосредованного отражения в человеческом сознании количественных отношений и пространственных форм действительного мира; познавательную деятельность личности, обобщенно и опосредованно отражающую действительность. Математическое мышление связывает теорию и практику, конвергентный и дивергентный типы мышления, и характеризуется оригинальностью и изобретательностью. Математические способности (их развитие) есть непосредственное продолжение и развитие общих задач математического образования.

1.2. Особенности развития математических способностей

учащихся 6 классов.

Учащихся 6 классов называют вершиной детства. Ребенок сохраняет много детских качеств - легкомыслие, наивность, взгляд на взрослого снизу вверх. Но он уже начинает утрачивать детскую непосредственность в поведении, у него появляется другая логика мышления.

Именно этот возраст наиболее ответственный период в жизни человека. В 11-12 лет начинается целенаправленное обучение и воспитание, основным видом деятельности ребенка является учебная деятельность, которая играет решающую роль в формировании и развитии всех его психических свойств и качеств.

Учение для детей 6 класса – значимая деятельность. В школе он приобретает не только новые знания и умения, но и определенный социальный статус. Меняются интересы, ценности ребенка, весь уклад его жизни.

К началу 11 лет психическое развитие ребёнка достигает достаточно высокого уровня. Все психические процессы: восприятие, память, мышление, воображение, речь – уже прошли достаточно долгий путь развития.

Очень большие изменения в процессе обучения претерпевает способность математически мыслить школьника. Развитие математических способностей приводит к качественной перестройке восприятия и памяти, к превращению их в произвольные, регулируемые процессы. Важно правильно воздействовать на процесс развития, так как долгое время считалось, что способности ребенка - это как бы «недоразвитое» способности мышления взрослого, что ребенок с возрастом больше узнает, умнеет, становится сообразительным. А сейчас у психологов не вызывает сомнения тот факт, что способности ребенка качественно отличается от способности взрослого, и что развивать способности возможно, только опираясь на знание особенностей каждого возраста. Способности ребенка проявляется очень рано, во всех тех случаях, когда перед ребенком возникает некоторая задача. Задача эта может возникнуть стихийно (придумать интересную игру), а может быть предложена взрослым специально для развития математических способностей ребенка. В этот период именно математические способности в большей степени влияет на дальнейшем обучении математики.

По мнению ученого А. Кеймерон учащиеся должны быть способны анализировать математические структуры и перекомбинирования ее элементов, способны к сравнению и классификации численных и пространственных данных, способны применять принципы и оперировать абстрактными количествами, силу воображения.

Выдающийся ученый В.Коймерел выделял следующие компоненты математических способностей: 1) ясное логическое мышление, 2) силу абстракции, 3) комбинаторные способности, 4) способность к пространственным представлениям и операциям, 5) критичность мышления, 6) память.

Г. Томас определил такие параметры математических способностей, как: 1) способность к абстракции, 2) способность к логическому рассуждению, 3) специфическое восприятие, 4) силу интуиции, 5) умение использовать формулы, 6) математическое воображение.

Э. Торндайк на это смотрит по другому, он сначала выделяет общие алгебраические способности: 1) способность обращаться с символами, 2) способность выбора и установления соотношений, 3) способности к обобщению и систематизации, 4) способность приводить в систему идеи и навыки. Он также выделяет непосредственно алгебраические способности: 1) способность понимать и составлять формулы, 2) способность выражать в виде формулы количественные соотношения, 3) способность преобразовывать формулы, 4) способность составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения, 5) способность решать уравнения, 6) способность выполнять тождественные алгебраические преобразования, 7) способность графически выражать фундаментальную зависимость двух величин и т.д.

В. Хаскер и Т. Циген выделяли четыре основных «ядро» математических способностей: пространственный, логический, числовой, символический. В этих компонентах они различали понимание, запоминание, ориентирование.

А. Блекуэлл особо выделяет способность к манипулированию пространственными объектами – вербальную способность; способность сохранять в памяти данные в их точном и строгом значении.

Ф. Митчел указывает, что математическое мышление характеризует следующими процессами: классификацией, пониманием символов и оперированием ими, дедукцией, манипулированием идеями и понятиями в абстрактной форме, без опоры на конкретное.

М. Баракат выделил с помощью факторного анализа шесть факторов математических способностей: общий, вербальный, пространственный, вычислительный, память и собственно математический фактор, который истолкован как способность манипулировать математическими схемами и отношениями.

М. Хэмза установил, что отсталость детей в математическом развитии проявляется, как правило, во всех трех математических предметах, и рассматривал это как доказательство существования группового математического фактора.

Русские психологи С.Л. Рубинштейн и А.М. Матюшкин выделили следующие математического мышления: 1) склонность к операциям с числами и на еще более высоком уровне склонность и интерес к математическим проблемам, 2) быстроту усвоения счетных и арифметических правил, 3) особенно сильное проявления развития абстрактного мышления, аналитико-синтетических комбинационных способностей в области оперирования числовой и знаковой символикой, 4) развивающуюся самостоятельность и оригинальность в решении математических проблем и усиление творческого мышления, 5) волевую активность и трудоспособность в области математического труда, 6) переход склонности и интереса в увеличение, когда математическая работа становится призванием, 7) продуктивную по количеству и качеству деятельность, позволяющую обнаружить все более опережающие сверстников показатели.

Н.А. Менчинская выделила три «свойства обучаемости», которым соответствуют следующие способности к изучению математики: 1) быстрота усвоения учебного математического материала, 2) гибкость мыслительного процесса, выражающаяся в перестройке работы, приспособление к изменяющимися условиям задач, 3) тесная связь наглядных (образных) и отвлеченных компонентов мышления.

Итак, мы рассмотрели компоненты математических способностей. При помощи этих математических способностей можно сказать, что: шестиклассники хорошо обобщают – движение от частного к общему, подвести частный случай под общее правило. Абстрагирование у этих детей выражено ярче. Большое влияние на их рассуждения оказывают несущественные признаки. Поэтому с детьми нужно работать тщательнее, усерднее. Способность к оперированию числовой и знаковой символикой детям дается легко, дети с легкостью запоминают определения, формулировки, общие схемы рассуждений.

Анализ перечисленных точек зрения приводит к выводу, что эффективнее изучать не параметры отдельных способностей – арифметических, алгебраических, геометрических, а рассматривать математические способности в целом. Однако учащиеся обладая математическими способностями, может иметь их в большей степени по отношению к одной из математических наук, к одному из конкретных видов математической деятельности. (Гусев)

Анализ содержания математического образования в средней школе показывает, что особое место среди всех математических знаний, которыми должны овладеть 6 классы, занимают теоретико-числовые вопросы, в частности, вопросы теории делимости целых чисел. Их изучение оказывает положительное влияние на качественное усвоение учащимися школьного курса алгебры, способствует расширению и углублению теоретико-числовых представлений учащихся, развитию математических способностей, воспитанию устойчивого интереса к занятиям математикой.

Таким образом, шестиклассники должны уметь решать различные задачи занимательного типа:

Логические задачи

Задачи на проценты

Задачи с дробями

Комбинаторные задачи

Числовые ребусы и головоломки

Задачи с конца

Задачи на переливания

Задачи решаемые принципом Дирихле

Задачи решаемые инвариантами

1.3. Занимательные задачи как средство развития

математических способностей учащихся 6 классов.

Математика даёт реальные предпосылки для развития математических способностей, задача учителя – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы для развития приемов математических способностей, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием математических способностей идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математические способности учащихся.

Занимательная задача: она ни по форме, ни по сути не должна быть искусственной. В частности, формулировка занимательной задачи не должна создавать решающему трудностей, не связанных с сутью задачи.

Занимательные задачи способны выявить и развить математические способности, так как они большинстве случаев содержат сюжет, доступный и понятный учащимся на начальных стадиях изучения математики. В структуре этих задач заложено проявление, например, таких параметров математических способностей, как догадка, смекалка, сообразительность, любопытство, любознательность и т.п. (Гусев,300)

В качестве материала для выявления математических способностей, для удовлетворения спроса учащихся, обладающих этими способностями, и вообще для показа увлекательности математики человечеством накоплено огромное количество задач. Когда потребовалось учить и учиться математике, люди прежде всего обратились к забавным задачам и к загадочным историям: «учить играя» - вот первое методическое указание.

Известный популяризатор математики Я.И. Перельман рассматривал одну из особенностей занимательной науки, которая по его мнению, заключается в том, что «приемы ее не исключают работы ума, а, на против, пробуждают мысль работать». (Гусев300)

В практике школы не предусмотрено решение задач занимательного характера непосредственно на уроке (нет прямого указания в программе, нет рекомендаций в методической литературе, отсутствует соответствующий материал в учебниках). Учитель по своему усмотрению может использовать или не использовать подобные задачи, но «ведь большинства людей, интересующихся математикой. Первые живые впечатления от этой науки связываются с задачами или с целыми книгами «развлекательного» плана». (гусев300)

В современных работах психологов, математиков-методистов, направленных на изучение мыслительной деятельности в процессе усвоения математических знаний, не только высказывается определенное положительное отношение к занимательному математическому материалу, но делается попытка дать психолого-педагогическую характеристику различного рода задач-смекалок, проанализировать процесс их решения детьми, выявить их значение для умственного развития.(Гусев301)

Работы С.Л. Рубинштейна направлены на изучение процесса мышления. Отмечая роль процессов анализа и синтеза в решении занимательных задач, С.Л. Рубинштейн указывает на то, что «так называемые задачи-головоломки это не особый курьез, стоящий особняком от общих закономерностей мышления… они своеобразным неразрывным образом связаны с общими закономерностей мышления». Определяя таким образом природу этих задач, С.Л. Рубинштейн подчеркивает сходство головоломок с творческими задачами, так как те и другие оставлены на основе знания законов мышления, и в том, что существенные условия, ведущие к решению, в головоломках замаскированы привходящими обстоятельствами, толкающими мысль в надлежащем направлении: «… по существу, мы за догадкой находим анализ, продуктом которого она является». Таким образом, С.Л. Рубинштейна, решение задач-головоломок происходит в результате четкого анализа их условий, в ходе которого и осуществляется поиск пути решения. (гусев301)

В исследованиях, проведенных под руководством А.Н. Леонтьева ставили проблему нахождения специфического звена мыслительной деятельности. В качестве такого звена он указал на возникновение догадки, идеи решения. выполненные под его руководством экспериментальные работы были направлены на выяснение условий, при которых «опыт испытуемого наводит его на правильное решение, что и выражается в догадке».

Последнее не значит, что формулировка всегда обязана быть легкодоступной. Бывает, что ее осмысление составляет суть решения, как, например, в такой задаче: «Сейчас Ивану вдвое больше лет, чем было Петру тогда, когда Ивану было столько лет, сколько Петру сейчас. Когда Петру будет столько лет, сколько Ивану сейчас, вместе им будет 63 года. Сколько сейчас лет Ивану и сколько – Петру?»

Задача 1. В некоторой деревне есть три колодца. Трое жителей, живущие в трех стоящих рядом домиках перессорились, и решили так протоптать тропинки от своих домов к каждому из трех колодцев, чтобы они не пересекались. Удастся ли им выполнить свой план?

Попробуем решить эту задачу. Проведем тропинки так, как это показано на рисунке. Как видно, нам удалось провести только восемь тропинок, а девятая должна пересечься хотя бы с одной. Можно доказать (мы не будем приводить строгое доказательство), что эта задача не имеет решения. Дело в том, что по мере проведения тропинок из двух первых домиков, будет получаться некоторый замкнутый контур, внутри которого будет стоять один из колодцев, при этом третий домик будет находиться снаружи от этого контура. Для того чтобы соединить этот домик с колодцем, обязательно потребуется пересечь новой тропинкой одну из уже проложенных.

Первое правило. Давая задачу, мы должны быть уверены, что все ученики владеют (или, говоря корректнее, обязаны владеть) знаниями, необходимыми для ее решения. Здесь обязательно должны быть как арифметико-алгебраические, так и геометрические задачи, очень желательно наличие задач комбинаторных и логических. У каждого ученика свои склонности и тип дарования: один – прирожденный геометр, другому больше нравится вычислять, третий тяготеет к дискретной математике, и каждый должен найти в варианте задачу по душе. Поэтому тематически однообразный вариант не только скучен и утомителен – он дает неоправданное преимущество одним и не позволяет выступить в полную силу другим.

Вот пример:

1. Найти все двузначные числа, не содержащие цифры 0 и делящиеся на сумму своих цифр.

2. Только одна из цифр четырехзначного числа – нуль. Если его зачеркнуть, число уменьшится в 9 раз. Найдите это число.

3. Четное пятизначное число не содержит цифры 0. Первые три его цифры образуют точный квадрат, а последние три – точный куб. Найдите это число.

Второе правило. Занимательные задачи должны быть разнообразны по трудности. Ни однородно легкий, ни однородно трудный вариант сделать этого не позволяют: в первом слишком многие решат все или почти все, во втором решат слишком мало. Кроме того, в обоих случаях (особенно в первом) возрастает роль случайности, что может сделать результаты необъективными и несправедливыми. Нормальной следует считать ситуацию, когда средний результат учеников составляет 25–40% от максимально возможного (при условии, что все задачи оцениваются в одно и то же число баллов).

Чтобы никто не ушел разочарованным, в варианте задачи обязательно должна быть «утешительная» задача для слабых учеников и трудная задача для самых сильных. Забавный парадокс состоит в том, что трудные задачи придумывать проще, чем утешительные, ибо нелегко придумать простую задачу, которая была бы достаточно интересной и не выглядела явной «подставкой». Нередко «утешительными» бывают задачи, где надо что-то найти, сконструировать и т.п., ибо они часто решаются простым подбором, да и действовать детям всегда проще, чем абстрактно рассуждать.

Учителя часто спрашивают, как готовить учеников к решению занимательной задачи. Между тем, сначала стоило бы спросить, надо ли вообще делать это специально. Лучшая подготовка к решению занимательной задачи – систематические серьезные занятия математикой.

Основой для раскрутки задачи может служить как ее результат, так и идея решения. В первом случае рассматриваются аналогичные задачи, обобщения, следствия, факты, использованные при решении и т.п.; в частности, к этому пути располагают многие глубокие задачи. Во втором – другие приложения той же идеи, различные ее вариации, смежные идеи. Подробное обсуждение этого – тема большого отдельного разговора, а здесь мы рассмотри только один пример.

Задача 2 В розыгрыше финальной части турнира участвуют семь команд: шесть команд, набравших наибольшее количество очков в предварительной части турнира и команда – победитель прошлого года. Сначала играют друг с другом первые шесть команд, затем три команды, одержавшие победы и команда, победитель прошлого года, играют друг с другом. Два победителя этого тура встречаются в финале.

Понять о чем идет речь в этом тексте нелегко. Попробуем представить его в виде наглядной схемы (смотри рисунок) и порядок организации финальной части розыгрыша станет очевидным.

Задача 3. Кузнечик, сидящий в начале координат, начинает прыгать по числовой оси. Первый его прыжок – на 1 м, а каждый следующий – вдвое длиннее предыдущего. Направление каждого прыжка кузнечик выбирает сам. Найдите координаты всех точек, в которые он может попасть за конечное число прыжков (не равное нулю).

Ответ: Это все точки с нечетными целочисленными координатами.

Решение. Понятно, что длина n-го прыжка кузнечика равняется 2^n–1. Поскольку после первого прыжка кузнечик окажется в точке с нечетной координатой (1 или – 1), а длины всех следующих прыжков – четные целые числа, то после каждого прыжка кузнечик будет попадать в точку с нечетной координатой. Покажем теперь, что он сможет попасть в любую такую точку. Достаточно рассмотреть случай, когда ее координата положительна: чтобы попасть в точку с равной по модулю отрицательной координатой, достаточно поменять направления всех прыжков.

Пусть k – нечетное число, а n – наименьшее из целых чисел, для которых 2^n–1 k. Покажем, что кузнечик сможет попасть в точку k за n прыжков. Если каждый прыжок рассматривать как вектор, то вектор, соединяющий начальную и конечную точки, будет равен сумме векторов всех совершенных прыжков. Сумма векторов не меняется от перемены мест слагаемых, поэтому точка, куда попадет кузнечик, зависит только от длин и направлений прыжков, но не зависит от порядка, в котором они совершаются. Теперь будем совершать прыжки в обратном порядке: сначала – на 2^n–1, потом – на 2^n–2 и т.д., до 2⁰ = 1, причем прыгать каждый раз будем в ту сторону, где находится точка k (в саму точку k кузнечик не может попасть, пока не прыгнет на 1, ибо до этого его координата постоянно будет четной). Докажем по индукции, что при этом расстояние от кузнечика до точки k будет всегда меньше, чем длина последнего совершенного прыжка. Это очевидно, если кузнечик этим прыжком перепрыгнул через точку k, в частности, для самого первого прыжка. Если же кузнечик недопрыгнул до точки k, рассмотрим длину последнего совершенного прыжка, равную 2^m. По предположению индукции, перед последним прыжком кузнечик был от точки k на расстоянии меньшем, чем длина предпоследнего прыжка, т.е., 2^m+1. После прыжка оно уменьшилось на 2^m и стало меньше, чем 2^m+1 – 2^m = 2^m, что и требовалось доказать. Осталось заметить, что после прыжка длины 1 кузнечик окажется от точки k ближе, чем на 1, т.е. – в самой точке k.

Задача 3 относится к «многоходовкам»: кроме метода последовательных приближений, использованы другие важные идеи: «обратного хода» (рассмотреть прыжки в обратном порядке) и математической индукции.

В двух занимательных задачах на метод последовательных приближений звучат и геометрические, и алгебраические, и комбинаторные мотивы: этот метод находит приложения практически во всех областях математики. Например, его разновидностью является «метод подобия» решения задач на построение, когда сначала строят фигуру, подобную исходной, а потом гомотетией придают ей нужный размер или нужное положение. Другая разновидность, применяющаяся в математическом анализе – метод итераций приближенного нахождения корней уравнений [1]. Метод математической индукции – тоже в известной степени разновидность метода последовательных приближений. Так одна занимательная задача сводит в «пучок» (термин О.А. Иванова) целый ряд важных тем.

Задачи шутки

1. В корзине 4 яблока. Разделите их между четырьмя лицами так, чтобы каждое лицо получило по яблоку и одно яблоко осталось бы в корзине. Решение задачи: Это легко сделать, если одно лицо возьмет свое яблоко вместе с корзиной.

2. Два отца и два сына съели за завтраком 3 яйца, причем каждому из них досталось по целому яйцу. Как это могло случиться? Решение задачи: Дело в том, что завтракали только три лица: дед, его сын и внук, т.е. два отца и два сына.

3. Две богомолки отправились из Москвы в Троице-Сергееву лав­ру. Обе они прошли 60 верст. Сколько верст прошла каждая, если шли они с одинаковой скоростью? Решение задачи: Каждая богомолка прошла 60 верст.

4. Сколько концов у 4 палок? У 5 палок? А у 5 с половиной палок? Решение задачи: У 4-х палок 8 концов, у 5-ти палок 10 концов, у 5-ти палок с половиной 12 концов, так как у половины палки два конца.

5. От двадцати отнять 88 так, чтобы осталось 22. Решение задачи: Напишите римскими цифрами 20 (XX), под ними - арабскими цифрами 88 и произведите вычитание: XX

-88

22

1. При решении задачи мальчику пришлось делить 40 на 8. Он расположил ход действия так, как показано справа.

Когда его сестра, увидав такое неправильное решение, заметила ему об этом, то он стал проверять деление, умножая делитель на частное, и, производя проверку, как показано слева, получил делимое - число 40.

Указать неправильность в ходе действий мальчика.

Решение задачи

Ошибка в делении: неверно взята цифра частного- вместо 4 надо было взять 5, так как остаток делится на 8; ошибка в проверке деления, т.е. в умножении: цифра, показывающая число десятков (32), написана под цифрой, выражающей число единиц (8)

1. Какие числа (свыше ста) изменяются при перевертывании их?

Решение задачи: 111,619, 689, 818, 888, 986 и др.

1. Число 66 моментально увеличьте на половину этого числа.

Решение задачи: Переверните данное вам число и вы получите 99 - число, равное сумме прежнего числа 66 и его половины 33.

1. Число 666 увеличьте моментально в полтора раза. Решение задачи: Переверните данное вам число и вы получите 1665 - число, равное сумме прежнего числа 666 и его 1,5 равное 999.

2. Разделите на бумаге число двенадцать на две раз: чтобы половина этого числа была семь.

Решение задач: Изобразив число 12 римскими цифрами (XII) и "разрезав" его пополам горизонтальной черточкой по возможности на две равные части, вы получите в верхней половине запись числа 7 римскими цифрами (VII).

1. Как разделить 188 на две равные части, чтобы в каждой из них получилось сто?

Решение задачи: Задача решается так же, как и задача 10: разделите число 188 пополам горизонтальной черточкой.

1. Четыре брата владели сообща одним ослом: каждому брату принадлежала одна нога этого животного. Случилось, что осел поранил ногу, принадлежавшую брату Ивану. Нога разболелась и осел не мог более работать. Так как от этого страдали и три других брата, то все четверо братьев решили лечить осла сообща, вздумали приложить к больной ноге паклю и поджечь ее. Когда они это сделали, осел, испугавшись огня и почувствовав боль, вырвался и бросился бежать, куда глаза глядят. Вскоре он очутился во владении одного помещика, где были сложены снопы хлеба. От горевшей пакли солома моментально вспыхнула, и весь сложенный хлеб сгорел. Помещик потребовал от братьев возмещения понесенных им убытков в размере 300 рублей.

Кто из братьев и в каком размере должен уплатить эту сумму?

Решение задачи

Сумму 300 рублей должны заплатить помещику те три брата, которым принадлежали три здоровые ноги осла, потому что осел бежал только на здоровых ногах. (Забавная арифметика 32)

1. Три мальчика Коля, Петя и Ваня отправились в лавочку. По дороге у лавочки они нашли 3 копейки.

Сколько бы денег нашел один Ваня, если бы он отправился в лавочку?

Решение задачи

Ваня нашел бы те же 3 копейки.

1. Шла баба в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них нес по мешку, в каждом мешке по коту.

Сколько существ направлялось в Москву?

Решение задачи

В Москву шла только одна баба

1. Длина бревна 5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпиливают по одному аршину.

Во сколько минут будет распилено все бревно? (1 аршин = 16 вершкам = 71,12 см)

Решение задачи

В первую минуту отпиливается 1-й аршин, во вторую минуту отпиливается 2-й аршин, в третью минуту отпиливается 3-й аршин, в четвертую минуту отпиливается 4-й аршин и 5 аршин остается. Следовательно, для распилки бревна потребуется четыре минуты.

1. В комнате 4 угла. В каждом углу сидит кошка. Против каждой кощки сидят по три кошки.

Сколько кошек всего в комнате?

Решение задачи

Очевидно, только те 4 кошки, которые сидят по углам

1. Мальчик, придя в магазин, спросил себе грушу. Ему предложили на выбор две груши, одну за 5 копеек, а другую за 10 копеек. Мальчик выбрал более дешевую грушу, заплатил торговцу 5 копеек и побежал домой. Только что он собрался приняться за свою грушу, как ему в голову пришла следующая мысль: «Ведь я уже заплатил торговцу 5 копеек, да у мене еще есть, которая стоит 5 копеек. Значит, если я отдам теперь эту грушу торговцу, то он получить от меня всего 10 копеек. Тогда я могу взять из магазина ту лучшую грушу, которая стоит 10 копеек. Это славно!». И мальчик побежал в лавку…

Сбылась ли его мечты о дорогой груше?

Решение задачи

Конечно нет! Если мальчик возвратить торговцу грушу, то получить обратно 5 копеек. Чтобы получить 10 копеечную грушу, мальчик должен прибавить к этим 5 копейкам еще 5 копеек. (забавная арифметика 12)

1. На некотором острове необычайно регулярный климат:
   по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно.

Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?

Решение задачи

В 44 днях 6 полных недель и еще 2 дня. В течении 6 недель число солнечных дней постоянно и не зависит от выбора дня начала отдыха. Два оставшихся дня выбираем четверг и пятницу - солнечные дни. Следовательно, отправляем туристов утром в четверг.

1. Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10,12, и 15 лет.

Как скоро сумма возрастов сыновей сравняется с возрастом матери ?

Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10, 12, и 15 лет. Как скоро сумма возрастов сыновей сравняется с возрастом матери ?

Решение задачи
Сегодня мать опережает сыновей по возрасту на величину 47 - (10 +12 + 15 ) = 10 лет.

Ежегодно мать становится старше на один год, а сыновья "стареют" совместными усилиями на 3 года, сокращая на 2 года прошлогодний разрыв в возрастах. Для того, чтобы "догнать" мать, сыновьям потребуется 10 : 2 = 5 лет.

Сегодня мать опережает сыновей по возрасту на величину 47 - (10 +12 + 15 ) = 10 лет. Ежегодно мать становится старше на один год, а сыновья "стареют" совместными усилиями на 3 года, сокращая на 2 года прошлогодний разрыв в возрастах. Для того, чтобы "догнать" мать, сыновьям потребуется 10 : 2 = 5 лет.

1. Два года назад сестра была младше брата во столько раз, сколько лет было тогда брату.
   Сколько лет сестре ?

Решение задачи

Два года назад возраст сестры был равен возрасту брата, деленному на число его лет, то есть составлял 1 год. Сейчас сестре 3 года.

1. Отцу 36 лет, сыну 7 лет.

Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?

Решение задачи
Способ 1. Когда отец станет вдвое старше сына, возраст сына сравняется с разностью их возрастов (с одной стороны, возраст отца будет равен удвоенному возрасту сына, с другой стороны - возрасту сына плюс разность их возрастов). Сын на 29 лет младше отца. 29 лет сыну исполнится через 22 года. К этому времени отец достигнет возраста 36+22=58 лет и станет вдвое старше сына (58:2=29).

Способ 2. Разность между знаменателем и числителем дроби 7/36, выражающей отношение возраста сына к возрасту отца, составляет 29 и не меняется с течением времени. Чтобы получить дробь, равную 1/2 и имеющую ту же разность 29 между знаменателем и числителем (т.е. привести дробь 1/2 к тому же масштабу, что и дробь 7/36, равному единице), нужно числитель и знаменатель дроби умножить на 29: 1/2=29/58. Дробь 29/58 может быть получена из дроби 7/36 увеличением числителя и знаменателя ее на 22. Следовательно, через 22 года отец будет вдвое старше сына.

Способ 3. Когда родился сын, отцу было 29 лет. Когда отцу добавится 29 лет, он станет вдвое старше. Сын, которому к этому времени исполнится 29 лет, окажется вдвое младше отца. Случится это через 22 года (29-7).

1. Два года назад брат был старше сестры в два раза,

а 8 лет назад – в 5 раз.

Сколько лет брату и сколько – сестре?

Решение задачи
Способ 1. Два года назад возраст сестры был равен разности возрастов брата и сестры; восемь лет назад возраст сестры был в 4 раза меньше этой разности. Значит, за 6 лет возраст сестры увеличился в 4 раза, т.е. к ее первоначальному возрасту добавилось еще 3 ее возраста. Отсюда следует, что 8 лет назад сестре было 6 : 3 = 2 года, сейчас ей 10 лет. Брату 8 лет назад было 2 · 5 = 10 лет; сегодня ему 18 лет.

Способ 2. Два года назад возраст брата выражался четным числом (он был равен удвоенному возрасту сестры). Очевидно, 8 лет назад возраст брата также выражался четным числом, а также, согласно условию, был кратен 5. Следовательно, 8 лет назад возраст брата был кратен 10. Проверкой убеждаемся, что 8 лет назад брату было 10 лет. Проверку начинаем с минимального значения возраста, поскольку столь существенные изменения соотношения возрастов могут иметь место лишь в области малых значений искомых величин.

Способ 3. Отношение возраста сестры к возрасту брата два года назад - 1 : 2,
8 лет назад - 1 : 5. Разность возрастов брата и сестры с течением времени не меняется. Преобразуем дроби, выражающие отношение их возрастов в разные моменты времени так, чтобы обеспечить равные разности знаменателей и числителей в обеих дробях. В дроби 1/2 знаменатель на 1 больше числителя, в дроби 1/5 - на 4. Умножим числитель и знаменатель дроби 1/2 на 4: 1/2 = 4/8. Рассмотрим дроби 1/5 и 4/8, выражающие отношения возрастов сестры и брата в разные моменты времени в одном и том же масштабе (иными словами, исходные дроби сокращены на одну и ту же величину). Числитель второй дроби больше числителя первой на 3, такова же разность знаменателей двух дробей. На самом же деле интервал времени между двумя рассматриваемыми моментами - 6 лет, т.е. вдвое больше указанной разности. Умножим числители и знаменатели полученных дробей на 2. 1/5 = 2/10, 4/8 = 8/16. Числители, равно как и знаменатели полученных дробей разнятся на 6 и представляют соответственно возрасты сестры и брата в рассматриваемые моменты: первая дробь - отношение восьмилетней давности, вторая - двухлетней. Два года назад сестре было 8 лет, брату - 16; ныне им соответственно 10 и 18 лет.

1. В примере на сложение:

► + ► + ○○ = Δ Δ Δ

различные фигурки заменяют различные цифры.

Какую цифру заменяет квадратик?
Решение задачи

Максимальное значение суммы трех наших слагаемых равно 9 + 9 + 99 = 117. Значит,  Δ Δ Δ = 111. Минимальное значение числа ○○ равно 111 - 9 - 9 = 93, а само число равно 99.

На долю одного квадратика приходится (111 - 99) : 2 = 6.

1. Заполните свободные клетки "шестиугольника" целыми числами от 1 до 19,

чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

Сумма чисел от 1 до 19 равна (1+19)· 19:2=190.
Все числа требуется расставить в пять рядов по одному из трех направлений (одна вертикаль и две диагонали). Следовательно, сумма чисел в одном ряду равна 190:5=38. Заполнение свободных клеток начинаем с рядов, в которых нехватает одного числа. Это число должно дополнить сумму имеющихся в ряду чисел до 38. 1) 16+3=19; 38-19=19. 2) 18+3=21; 38-21=17. 3) 18+9=27; 38-27=11. Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

1. Расставьте цифры 1, 2, 3, ..., 8

в клетки неполного квадрата так, чтобы получить одинаковые суммы по горизонталям, вертикалям и большой диагонали.

Решение задачи Сумма цифр, которые надо расставить в клетках квадрата, равна : 1 + 2 + 3 + ... + 8= [(1 + 8) · 8] :2 = 36.

При равенстве сумм в строках, (в столбцах) сумма в строке, в столбце, а также на большой диагонали составит 36 : 3 =12. Сумму 12 в неполных строке и столбце можно набрать из имеющихся цифр двумя способами : 4 + 8 = 5 + 7 = 12. Цифра 8 не может находиться на большой диагонали, поскольку на другом конце диагонали могут быть только цифры 5, либо 7 (оба конца большой диагонали принадлежат неполным строке и столбцу). Ставим на одном конце диагонали цифру 4, на другом - 5 (или 7 - оба варианта идентичны). В центральную клетку квадрата помещаем цифру 3, обеспечивая сумму цифр 12 по большой диагонали. Дальнейшее заполнение не представляет трудности.

1. В турнире по ручному мячу участвовали команды A, B, C, D и E.
   Каждая команда сыграла с каждой ровно один раз.
   За победу в игре дается 2 очка, за ничью 1, за поражение - 0.
   При этом команда B, занявшая второе место, набрала больше очков, чем C, D и E вместе. Отсюда следует, что

Решение задачи Из того факта, что команда В набрала больше очков, чем С, D и Е, следует, что все эти три команды - ниже в турнирной таблице.Следовательно, первое место может быть только у команды А. Оценим очки каждой команды. Сумма очков, полученных в игре между собой двух претендентов равна двум. Так как каждая команда играла с каждой, то общее количество игр равно: 4+3+2+1= 10 игр. Общая сумма всех очков: 2 · 10=20. Три команды: С, D и Е сыграли между собой 2+1=3 игры и "заработали" 6 очков. Следовательно, у команды В - как минимум 7 очков. Тогда на долю команды А остается 20-7-6=7 очков. А это невозможно, так как она должна быть на первом месте.

1. В шахматном турнире было сыграно 66 партий, причем каждый из участников сыграл с каждым по одной партии.
   Сколько шахматистов приняло участие в турнире ?

Решение задачи Пусть всего было n участников. Тогда каждый сыграл (n - 1) партий. Однако произведение n · (n - 1) дает удвоенное число партий.
Ведь для любых двух участников турнира расчетом учтено, что первый играл со вторым, а затем, второй играл с первым, хотя на самом деле была одна партия. Находим удвоенное число партий : 66 · 2 = 132. Число 132 представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. 132 = 12 · 11, следовательно в турнире участвовали 12 человек.

Логические задачи

1. Двое подошли к реке. У пустынного берега стояла лодка, в которой мог поместиться только один человек. Оба они переправились через реку на этой лодке и продолжили свой путь. Как они это сделали.

Схема рассуждений

Задачу мешает решить шаблонное понимание первой фразы: «Двое подошли к реке», которая наталкивает на мысль, что путники шли вместе и в одном направлении.

1. На берегу реки находиться лодочник и одноместная лодка. Двум путникам надо переправиться на другой берег. Как им переправиться на другой берег и вернуть лодку лодочнику?

Схема рассуждений

Говоря о синтетической деятельности, т.е. о тех выводах, которые можно сделать при ознакомлении с текстом задачи, отметим, что таких выводов совсем немного:

• оба путника подошли к одному берегу реки, где были и лодки и лодочник;

• оба путника подошли к одному берегу реки, где не было ни лодки, ни лодочника;

• путники подошли к разным берегам реки по одному.

Каждую из полученных ситуаций следует изучить отдельно. Например, если путники подошли к одному берегу, где не было ни лодки, ни лодочника, то задача не имеет решений.

Если на одном берегу находятся трое мужчин и одном мест­ная лодка, вывод, к которому следует придти, таков: кто бы ни сел в лодку, чтобы переправиться на противоположный берег, вернуть ее он не сможет. Такое заключение есть пример четко­сти, ясности, краткости словесного выражения мысли.

Каковы могут быть рассуждения по существу третьей си­туации, когда путники подошли к разным берегам реки, т. е. на одном берегу одном берегу два человека и лодка, на другом берегу один человек? Как будут поступать в этой ситуации мужчины?

Очевидный и важный вывод - лодка может отправиться с того берега, где она находится, на лодке может поплыть либо лодочник, либо путник. Первым надо плыть путнику, а другой вернет лодку лодочнику.

Эта задача подводит ученика:

• к рассмотрению различных случаев;

• к умению рассуждать, правильно делать выводы;

• к выдвижению идей рассуждений, установлению их истин­ности и ложности.

1. Крестьянину нужно перевезти через реку вол­ка, козу и капусту. Как осуществить перевоз, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту?

Схема рассуждений и ход решения

Рассудительный ученик должен потребовать такое уточне­ние текста задачи: при крестьянине никто никого не ест! Без этого уточнения решать задачу невозможно.

Ознакомившись с текстом задачи, учащиеся могут следовать следующие выводы.

1. Крестьянин может сначала перевезти козу, оставив вол и капусту на одном берегу (волк не ест капусту!).

2. Крестьянин после этого может перевезти либо волка, ли капусту, но он должен с противоположного берега козу увести назад, чтобы волк не съел ее, или она капусту. В этой комбинации перевоза козы назад и заключается необычность идеи, помогающей решить задачу.

3. После этого крестьянин перевозит соответственно капусту или волка.

4. Наконец крестьянин снова перевозит козу. При решении данной задачи учащемуся прежде всего необходим «жизненный опыт», так как решение задачи не предполагает каких-либо сложных математических выкладок. Главное в этой задаче - «увидеть», что коза ест капусту, волк не ест капусту, но может съесть козу, значит, не следует оставлять на одном берегу волка с козой и козу с капустой. По-видимому в данной задаче проявляется навык проведения логических рассуждений и характерных для дедуктивного мышления умений находить логические следствия из данных начальных условий. Конечно, при решении этой задачи и при решении любой другой, необходимы навык полноценной логической аргументации стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

При формировании аналитико-синтетической деятельности у учащихся представляют интерес так называемые задачи - головоломки или, как называет их английский профессор Смаллиан, «дурацкие штучки».

1. Имеются две монеты на сумму 15 копеек ( из них не пятак. Что это за монеты?

Схема рассуждений и ход решения

Практика показывает, что эта задача ставит в тупик человека достаточно часто, поскольку увидеть ответ не так уж легко. Это совершенно не страшно, надо просто подробно исследовать ситуацию. Как это делать?

1. На опрос, какими могут быть две монеты, составляющие сумму 15 копеек, ответ для системы монет нашей страны однозначный 10 копеек и 5 копеек.

2. Необычность формулировки задачи состоит в том, что указано: этих двух монет одна не пятак, т. е. десятикопееч­ная - пятак. При решении данной задачи должно проявиться такое качество мышления, как умение абстрагировать.

Нестандартность мышления проявляется и при решении 1, в которых встречаются слова одного рода, а под­разумевается противоположный пол.

1. Сын отца полковника беседовал с отцом сына полковника. Кто с кем беседовал, если полковника при этом не было?

Схема рассуждений

Стандартное понимание слова «полковник» приводит к стереотипном­у выводу, что полковник - мужчина, но в задаче «полковник» - женщина, т. е. брат полковника беседовал с му­жем полковника.

Выше отмечалось, что приведенные задачи требуют для своего решения определенного «здравого смысла», но следует указать и на такие задачи, которые содержат в условиях очень много данных. Удерживать в памяти все факты, приведенные в условиях задачи, трудно, поэтому следует использовать вспомогательные записи или таблицы. Эти записи помогают исклю­чить смотрения нерешаемые варианты (противоречащие условию). В соответствующие клетки заносят цифры, показы­вающие на основании какого условия исключена та или иная возможность. Предположим, что в задаче речь идет о двух множествах и некоторых парах, в каждой из которых один элемент взят из одного множества, а другой - из другого. Если составить таблицу, поместив у одного входа элементы одного множества, а у другого входа - элементы второго множества, то поля таблицы представит декартово произведение этих множества. Иногда приходится составлять таблицы с большим числом входов или рассматривать несколько таблиц. Ниже при­ведены задачи, решение которых требует использования вспо­могательных таблиц.

1. Олег, Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть лучший математик, лучший спринтер и лучший художник класса. Известно, что:

   1. лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

   2. Оля никогда не уступал мальчикам в спринте.

Кто в классе лучший математик, лучший спринтер и лучший художник?

Математик Спринтер Художник

Олег	-	-	+
Игорь	+	-	-
Оля	-	+	-

Из первого условия задачи следует, что Игорь не художник, ставим в таблице "-", во втором строке и в третьем столбце. Из которого условия следует, что Оля лучший спринтер и поэтому ставим знак "+" в третьем строке и во втором столбце, а лучшим математиком может быть только Игорь.

1. Студенты педагогического университета организовали эстрадный квартет. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Леонидом. Михаил не учиться на историческом факультете. Андрей не пианист и не биолог. Валерий учиться не на физическом факультете, - а ударник не на историческом. Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и на каком факультете он учиться?

Схема рассуждений и ход решения

В этой задаче имеется три множества (студенты, инструменты, факультеты) по четыре элемента в каждом. Обозначим студентов первыми буквами их имен: М, А, Л, М; инструменты на которых они играют: С, П, У, К; факультеты, на которых они учатся: Ф, Г, И, Б. Будем соединять элементы двух множеств сплошной линией, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие, и пунктирной линией, если такое отсутствует.

Пианист учиться на физическом факультете, им может быть Леонид, потому что Андрей не пианист. Михаил играет на саксофоне, а Валерий не учиться физическом факультете. Тогда Андрей – ударник, так как Валерий – не ударник, и Андрей учится на географическом факультете, потому что ударник учится не на географическом и Андрей – не биолог. Михаил – биолог, а Валерий играет на контрабасе и учиться на историческом факультете.

1. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15.

Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу

( A )1;   (B) 2;   (C) 3;    ( D ) 9;   ( E ) 15;

Рассуждения задачи

Предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи.

Остается, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число.
Остается предположить, что искомое число простое и четно (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.
Итак верно (В).

1. У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Йозефа ?
   (A) 1;   (B) 49;   (C) 50;   (D) 99;   (E) невозможно определить

Рассуждение задачи

Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь серая (упомянутая в условии), а другая - какая придется.

Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: (А) (одна мышь серая).

Вариант 2. Предположим, что имеются две, или более серых мышей.

В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит условию.

Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йосефа имеется лишь одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием.

1. На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари ?
   (A) Мари;   (B) бабушка;   (C) Мари и бабушка;   (D)Мари и кукла;   (E) бабушка и кукла.

Рассуждение задачи
С бабушкой, по условию, сидит внучка.То есть остается пристроить куклу и маму.Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ - (В).

1. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы","Цветы" и "Ромашки".
   Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными.
   Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"?
   Рассуждения задачи

В силу своей рассеянности, хозяйка не могла посадить в ящик с названием "Цветы" ни ромашки, ни колокольчики. Следовательно, она посадила в этом ящике огурцы. Теперь осталось ей посадить ромашки и колокольчики. Для них осталось два ящика с надписями: "Ромашки" и "Огурцы". Но рассеянная хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием "Ромашки", как они того они заслуживали, а посадила их в ящик под названием "Огурцы". А колокольчики она посадила в ящик с надписью "Ромашки".

Так что в ящике с названием "Ромашки" у нее вырастут колокольчики. Ответ: колокольчик

Задачи геометрического характера

1. Сколько отрезков вы видите? Назовите их.

1. Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.

1. Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рисунке?

Схема рассуждений

Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая В к случаю, изображенному на рисунке Г усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например из треугольника, а в случае В все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).

1. Начертите треугольник. Пересеките его двумя прямыми так, чтобы на рисунке оказалась:

а) Пять треугольник

б) Восемь треугольников

Решение:

а) Надо получить пять треугольников. Один треугольник уже есть, он построен по условию задачи. Если из любой вершины провести прямую, пересекающую противоположную сторону, то получим еще два треугольника. В одном из полученных треугольников через вершину, лежащую на стороне исходного треугольника, проведем прямую, пересекающую противоположную сторону этого треугольника, получим еще два треугольника.

б) Чтобы получить семь треугольников (один уже есть), достаточно провести прямые через две вершины, пересекающие противоположные им стороны исходного треугольника

1. а) Из спичек выложенного изображения дома. Переложите три спички так, чтобы изображения дома оказалось повернутым другой стороной.

Решение задачи

б) Переложив три спички в фигуре, измените направление движение «краба». Начальное направление указано стрелкой.

Решение задачи

в) Изображение греческого храма выполнено из 11 спичек. Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось 15 квадратов.

Решение задачи

г) Из спичек составлена «корова». Предложите три спички так, чтобы корова «смотрела» в обратную сторону.

Решение задачи

Задачи на комбинаторике

1. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: - У нас в классе 35 человек. И представь каждый из них дружит ровно с 11-тью одноклассниками… - Не может этого быть, - сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил?

Решение

Представьте число, что между каждыми двумя друзьями протянута ниточка. Тогда каждый из 35 учеников будет держать в руке 11 концов ниточек, и значит, всего у протянутых ниточек будет 11 * 35=385 концов. Но общее число не может быть нечетным, так как у каждой ниточки 2 конца.

1. В магазине «Все для чая» есть 5 равных чашек и 3 равных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение

Выберу чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 равных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15.

1. Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке?
   (A)64;      (B) 28;     (C) 16;      (D) 8;     (E)4.

Решение

Начнем перебирать варианты по столбцам слева направо:
1. Располагаем первую шашку в первом столбце – 2 варианта (шашка может лежать или в верхней или в нижней клеточке) .

2. Располагаем вторую шашку во втором столбце – 3-1=2, (2 варианта) где 3 – высота столбца, а 1- количество уже занятых строк.

3. В третьем – 4-2=2 (аналогично).
4. В четвертом – 5-3=2 (аналогично). Итого 2*2*2*2=16. Верный ответ - (С).

1. На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями.
   Сколько было рукопожатий?

Решение
Способ 1. Каждый из 10 человек пожал руки своим коллегам. Однако произведение 10 · 9 = 10 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие).
Итак, число рукопожатий равно:
(10 · 9) : 2 = 45.

Способ 2.Первый участник совещания пожал руки 9-ти коллегам, второй - 8-ми (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий - 7-ми и т.д.
Девятый ограничился одним рукопожатием, а на долю десятого выпала пассивная роль - принимать приветствия.

Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:

N = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 или
N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9.

Сложив почленно обе суммы получаем:
2N = (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + (5+5) + (4+6) + (3+7) + (2+8) + (1+9) = 10 · 9;
N = (10 · 9) : 2 = 45.

1. На дорожках стадиона расставлены барьеры (число барьеров на каждой дорожке указано на рисунке). Кенгуру хочет пробежать от старта до финиша, препрыгивая через наименьшее возможное число барьеров. Сколько раз Кенгуру придется перепрыгнуть через барьеры?
   Решение №1. Дорожек в парке не так много. Перебираем все возможные пути от старта до финиша. Найдем, что ответ равен 10.

Решение №2. Разобьем весь стадион на треугольники. В каждом треугольнике отбросим "невыгодную" сторону. Ту, в которой число барьеров больше (или равно), чем сумма барьеров двух других сторон (это дорожки с числами барьеров 8, 6, 6, 7).
Остается единственный путь : 2+2+3+2+1=10. Ответ: 10.

Глава II. Опытно-экспериментальная работа по развитию математических способностей учащихся 6 классов посредством занимательных задач.

2.1. Изучение показателей развития математических

способностей 6 классов.

Цель констатирующего этапа нашего исследования: определить и оценить показателей математических способностей учащихся двух 6 классов до формирующего эксперимента.

Анализ научно-исследовательской литературы и выдвинутая в нашем исследовании гипотеза позволили поставит следующие задачи констатирующего этапа:

• изучалась психолого-педагогическая литература, специальная литературы по методике использования занимательных задач; установить критерии оценки уровня развития математических способностей у учащихся 6 классов;

• разрабатывались критерии оценки тестирования, подготавливались тесты, проверочные работы; провести методику по выявлению уровней математических способностей;

• проведение и обработка тестирования по выявлению уровня развития математических способностей каждого учащегося перед началом эксперимента. Провести сравнительный анализ результатов 2 групп учащихся.

Базой исследования явилась МОУ «Харбалахская средняя общеобразовательная школа им. Н.Е. Мординова – Амма Аччыгыйа» Таттинского улуса Республики Саха (Я). В эксперименте принимали участие дети 6 «а» (контрольная группа) и 6 «б» (экспериментальная группа), с которой мы непосредственно работали классов.

При подготовке к педагогическому эксперименту мы исходили из того, что выбранные нами группы детей должны быть с одинаковым количеством учеников, иметь к началу эксперимента равный потенциал и равные возможности.

В опытно-экспериментальной работе мы опирались на выводы, идеи и положения психологов, дидактов (В.В. Давыдова, Щ.Б. Эльконина, Л.В. Занкова, Е.Н. Кабановой-Меллер, Ю.А. Самарина и др.). Они помогли определить методологическую позицию изучаемой проблемы.

При выборе критерий оценки уровня развития математических способностей у учащихся 6 классов, мы обосновывались разработанными критериями для характеристики умственного развития, выдвинутыми Н.А. Менчинской основанной на оценке способности ученика за более короткий срок достигать более высокого уровня знаний. К показателям же математического развития способностей она относит рост любознательности, познавательных интересов, наращивание темпа усвоения знаний, подвижность мыслительных процессов.

Основным критерием развития математических способностей служит активный перенос приемов умственной деятельности, сформированных на одном материале, на новый.

Овладение учеником математическими умениями предполагает:

- потребность в рационализации мыслительной деятельности;

- знание общих правил, согласно которым надо действовать;

- умение практически применять эти правила;

- способность к самоконтролю.

Основываясь на этих положениях, мы определили критерии оценки уровня развития математических способностей у учащихся 6 классов перед экспериментом.

Высокий уровень – У учащихся развито математические способности, располагают необходимыми знаниями, навыками, умеют их практически применять, способны к самоконтролю (8-10 баллов).

Средний уровень – Учащиеся располагают общими знаниями, навыками, согласно которым надо действовать, но иногда не умеют их практически применять, способны к самоконтролю (4-7 балла).

Низкий уровень – У учащихся не развиты познавательные интересы, знания отрывочны, не систематичны, затрудняется в решении задач, определенные навыки не выработаны, способность к самоконтролю низка (1-3 балла).

Оценка результатов: Выполнение всех заданий – 8-10 баллов; выполнение двух - трех заданий – 4-7 балла; выполнение одного задания – 1-3 балла.

Учащимся были предложены следующие проверочные работы:

1 задание. Логика

Цель: проверить развития логических способностей учащихся

У двух кошельках лежат две монеты, причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другого. Как такое может быть?

Таблица 1.

Уровень развития вычислительных навыков

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	2,33	33.3	3,27	46,7	1,4	20
Контрольная	2,33	33.3	3.73	53,3	1	13,4

2 задание. Логика

Цель: проверить логических навыков

1. На острове живут два племени – аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы – всегда лгут. Путешественник нанял туземца – островитянина в проводники. По дороге они встретили какого – то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник – аборигеном или пришельцем?

Таблица 2.

Уровень развития навыков на умножения и деления.

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	2,8	40	3,27	46,7	1	13,4
Контрольная	1,87	26,7	3,27	46,7	1,86	26,6

3 задание. Сравнение чисел.

Цель: проверить умение сравнивать числа

Известно, что р 3 и р – простое число, т.е. оно делиться только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли четными числа (р+1) и (р – 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

Таблица 3

Уровень развития умений сравнивать.

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	2,8	40	3,73	53,3	0,47	6,7
Контрольная	2,33	33,3	3,73	53,3	1	13,4

4 задание. Координатная прямая

Цель: проверить умение оперировать координатной прямой.

В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Таблица 4.

Уровень развития умение оперировать координатной прямой.

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	1,87	26,7	3,73	53,3	1,4	20
Контрольная	2,33	33.3	4,2	60	0,47	6.7

Результаты проверочных работ

Таблица 5.

Уровни развития	Эксперим. Гр.		Контрольн. Гр.
	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Высокий	2,33	33,3	2,33	33,3
Средний	3,27	46,7	3,73	53,3
Низкий	1,4	20	1	13,4

Таблица 6

Карта развития у учащихся в начале эксперимента

Экспериментальная группа Ф.И.	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Сумма баллов.	Уровень	Контрольная группа Ф.И.	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Сумма баллов.	Уровень
001	5	7	8	5	25	с	001а	3	5	3	4	15
002	5	6	7	6	24	с	002а	7	6	6	5	24
003	8	8	8	6	30	в	003а	6	7	6	6	25
004	4	3	4	3	14	н	004а	7	6	6	6	25
005	8	9	8	8	33	в	005а	7	7	7	6	27
006	9	9	8	8	34	в	006а	8	7	7	8	30
007	8	7	8	8	31	в	007а	7	7	7	7	28

При проведении эксперимента, мы констатировали, что учащиеся с низким уровнем развития математических способностей слабо используют свои знания, не полностью учитывают информацию, данную в задаче, поэтому их путь к решению сравнительно не долог и менее рационален.

Таким образом, по результатам констатирующего эксперимента, можно сделать следующий вывод:

1. Учащиеся с низким уровнем развития математических способностей составляют 20 %, что показывает недостаточную подготовленность учащихся.

2. Необходима целенаправленная работа по формированию математических способностей у учащихся 6 классов.

2.2. Опытно-экспериментальная работа по развитию математических. способностей учащихся 6 классов посредством применения занимательных задач.

На основании результатов констатирующего эксперимента мы сделали предложение о необходимых условиях развития математических способностей учащихся 6 классов. Более глубокое изучение особенностей математических способностей учащихся 6 классов проводилось в процессе обучающего (формирующего) эксперимента, направленного на формирование достаточного уровня развития вычислительных навыков, развития навыков на умножения и деления, развития умений сравнивать, развития умение оперировать координатной прямой.

Цель формирующего эксперимента:

- определить основные направления развивающей работы с детьми экспериментальной группы и наметить пути и методы решения этой психолого-педагогической проблемы;

- проследить взаимосвязь между применением занимательных задач и уровнем математических способностей каждого ребенка и его успеваемостью по математике.

При проведении формирующего этапа исследований важно руководствоваться правилом: применение занимательных задач должно быть регулярным, интересным для детей и достаточно частым. Мы их включали в план каждого урока, исключая итоговые работы (самостоятельные, контрольные). В зависимости от темы урока, развивающая (игровая) часть входила отдельным этапом и проводилась или в начале, или в середине урока.

Эффективность обучению младших школьников решению занимательных задач зависит, на наш взгляд, от нескольких условий:

Во-первых, занимательные задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

Во-вторых, необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.

В-третьих, нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных задач.

Обучение 6 классов решению занимательных задач можно разделить на два этапа. На первом этапе проводится специальная работа по выводу и осмыслению общих подходов к решению таких задач. При этом важно, чтобы ученики уже усвоили процесс решения любой задачи (читаю задачу; выделяю, что известно и что надо узнать, и т.д.); познакомились с приемами работы на каждом этапе решения задачи (виды наглядной интерпретации, поиска решения задачи и др.). На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач. Важно научить ребенка анализировать условие задачи, уметь разбить любую задачу на простые. Ребенок не должен бояться задачи.

Мы считаем, что в урок нужно включать задачи разных типов, чтобы ребята не вспоминали, как решаются такого вида задачи, а рассуждали каждый раз по-новому. Мы старались не давать одинаковых задач, а пытались, хоть незначительно, но изменить условие. Ребятам это нравится, они ждут новые задачи, но к сожалению в учебниках разнообразия нет.

Ниже приведена система некоторых занимательных задач.

Задача 1Восстановите пример на сложение, где цифры слагаемых заменены звездочками:  ** + ** = 197.

Задача 2. На сколько частей могут разбивать плоскость четыре различные прямые? Перечислите все возможности, для каждой сделайте чертеж.

Задача 3. На дорожках стадиона расставлены барьеры (число барьеров на каждой дорожке указано на рисунке).

Кенгуру хочет пробежать от старта до финиша, препрыгивая через наименьшее возможное число барьеров.

Сколько раз Кенгуру придется перепрыгнуть через барьеры?

Задача 4. Найдите 19 последовательных целых чисел, сумма которых делится на 91.

Но основную дифференцирующую нагрузку несут на занимательные задачи «средней трудности». Это название условно: опыт показывает, что данный составителями варианта прогноз трудности задач часто не оправдывается, ибо она может зависеть от неожиданных психологических нюансов и неучтенных составителями (а часто и просто неизвестных им) особенностей знаний и умений учеников.

Например, была предложена такая задача: «На окраску кубика ушло 6 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхности?» В действительности она оказалась довольно трудной (по г. Кирову средняя оценка за нее была 2,6 по семибалльной шкале): неожиданно выяснилось, что многим пятиклассникам не хватает пространственного воображения, чтобы представить, как выглядят получившиеся после распила кубики!

При решении занимательных задач, которая длится от 2 до 4 часов, не может быть больше 5-6 задач, среди которых 2-3 утешительных и трудных. Чтобы с помощью оставшихся 2-3 задач, в условиях не вполне ясного прогноза трудности, хорошо продифференцировать учеников, надо, чтобы их решения давали возможно больше информации об уровне авторов. Соответствующее свойство задачи мы назовем ее глубиной: задача тем глубже, чем больше информации об авторе способно дать ее решение. По-настоящему глубокая задача напоминает чемодан с многослойным дном: непосвященный найдет в ней одно, посвященный – совсем другое.

Проще всего добиться глубины, сделав задачу из нескольких пунктов, объединенных общей темой. Поскольку пункты обычно даются разной трудности, каждая такая задача превращается в своеобразную «мини-олимпиаду». Рассмотрим два примера.

Задача 5. Как разрезать: а) квадрат на 8 одинаковых частей; б) квадрат на 5 одинаковых частей; в) треугольник на четыре одинаковые части; г) треугольник на три части, из которых можно сложить прямоугольник?

Задача 6. Имеются 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см, 6 палочек длиной 3 см и 5 палочек длиной 4 см. Можно ли, использовав все эти палочки и не ломая их, сложить: а) какой-нибудь прямоугольник; б) равносторонний пятиугольник; в) прямоугольник, у которого одна из сторон вчетверо длиннее другой; г) квадрат; д) прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое длиннее другой; е) прямоугольник площади 144 см2; ж) прямоугольник площади 90 см²?

Комментарий к задаче. Пункт а) – утешительный, легко решается подбором. Пример в пункте б) тоже можно построить подбором, но лучше сначала найти общую длину палочек (50 см) и заметить, что сторона пятиугольника должна равняться 10 см. В пункте в) также полезно сначала найти стороны искомого прямоугольника, но здесь для этого потребуется составить и решить несложное уравнение (или поработать с «частями», приняв за одну часть длину короткой стороны). Пункты г) и д) аналогичны пунктам б) и в) соответственно, но ответ тут отрицательный, ибо длины сторон получаются дробными. В пункте е) ответ положительный, но идеология культурного подбора усложняется: надо разложить число 144 на два множителя с суммой 25. Ну, а в последнем пункте надо убедиться, что число 90 так разложить нельзя.

В задаче 6 пункты (кроме двух первых) связаны между собой чисто механически: общего у них только то, что все они – «на разрезание». По сути дела, это просто замаскированное увеличение числа задач в варианте: из опыта известно, что дети реагируют на три задачи с тремя пунктами в каждой гораздо спокойнее, чем на девять отдельных задач. Связи между пунктами задачи 7 гораздо органичнее, многие из них носят идейный характер, так что решение одного пункта облегчает решение других. Тот, кто это поймет и использует (а это – важный компонент математических способностей), получит заметное преимущество перед решающим каждый пункт как совершенно новую задачу. В итоге такое преимущество, скорее всего, выразится в баллах (может быть, за другие задачи, которые первый в «сэкономленное» время успел решить, а второй – нет). Вот еще две задачи такого типа.

Задача 7. Без вычислительной техники и таблиц выясните, что больше: а) 80²⁰ или 9⁴⁰; б) 81¹² или 512⁸; в) 16³⁵ или 9⁴⁸; г)15¹⁵ или 3⁴⁰; д) 17²¹ или 11²³?

Обсуждение. Решения всех пунктов этой задачи могут быть построены на двух идеях: оценки и преобразования степеней. В пункте а) достаточно одного преобразования: 9⁴⁰ = 81²⁰ 80²⁰, в пункте б) – двух: 81¹² = 9²⁴ 8²⁴ = 512⁸. В пункте в) впервые появляется идея оценки: 16³⁵ 36 = 2¹⁴⁴ = 8⁴⁸ 48. В пункте г) она применяется снова, но оценивать приходится уже основание степени, и растет число преобразований: 15¹⁵ 15 = 2⁶⁰ = 8²⁰ 20 = 3⁴⁰. Наконец, в пункте г) оценку приходится делать дважды: 17²¹ 16²¹ = 2⁸⁴ = 128¹² 121¹² = 11²⁴ 11²³. Тот, кто продвигается от пункта к пункту, руководствуясь этими идеями, сделает задачу быстрее и лучше, чем тот, кто «пробивает» каждый пункт в отрыве от остальных.

Задача 8. Представить число 203 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы их произведение также было бы равно 203.

Поскольку сумма двух, или нескольких чисел (отличных от 1), всегда меньше их произведения ( исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что некоторое число множителей в разложении должно быть равно 1.

Используя такой прием, можно довести сумму сомножителей до нужной величины, не меняя при этом их произведения.

Итак, задача сводится к разложению на множители числа 203. Поскольку ни один из "табельных"признаков делимости (на 2, 3, 5, 11) данному числу не свойствинен, поищем множители, следуя правилу. Оно гласит: среди делителей составного числа обязательно есть числа, меньшие, чем корень квадратный из этого числа.

Корень квадратный из числа 203 близок к 15, поэтому ищем делители среди простых чисел, меньших 15. Таких чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены после проверки).

203 : 7 = 29, поэтому 203 = 29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего 167 единиц).
29 + 7 + 167 = 203.
Число 203 имеет два простых делителя, поэтому найденное решение - единственное.

Задача 9. Две вершины квадрата имеют координаты (0,0) и (6,4). Найдите координаты двух других его вершин.

Обсуждение. На первый взгляд, перед нами простая задача на вычисление: для нахождения координат неизвестной вершины легко составляется система уравнений. Но, чтобы составить ее, надо сначала нарисовать картинку – а их оказывается три.

Задача 10. Какие правильные многоугольники могут получаться в сечении куба плоскостью?

Обсуждение. Вначале заметим, что стороны сечения получаются от пересечения секущей плоскости с гранями куба, поэтому их не может быть больше шести. Нетрудно получить в сечении квадрат и правильный треугольник, несколько сложнее – правильный шестиугольник (провести через середину диагонали куба перпендикулярную диагонали плоскость). А правильный пятиугольник получить нельзя: если секущая плоскость пересекает пять граней куба, то среди них найдется пара параллельных, а у правильного пятиугольника нет параллельных сторон.

Глубина задачи 10 создается необходимостью исследования: кто-то найдет все ответы, кто-то – только два, а кто-то вообще не подумает о возможности нескольких различных ответов и успокоится на одном. Глубина задачи 10 – в разноплановости ее решения. Оно включает оценку возможного числа вершин сечения (от 3 до 6), построение примеров сечений с 3, 4 и 6 вершинами и, наконец, доказательство невозможности получить в сечении правильный пятиугольник. Такие задачи типа «оценка + пример» в последние годы встречаются на математических соревнованиях достаточно часто.

Задача 11 . Дорожки парка образуют квадратную сетку со стороной 10 м. Черепаха, движущаяся со скоростью 10 м/час, выползает по дорожке с одного из перекрестков, а на каждой встретившейся развилке поворачивает налево или направо. На каком расстоянии от начальной точки она может оказаться через 6 часов после начала движения (перечислить все возможности)?

Обсуждение. Глубина этой задачи – в большом числе возможных решений самой разной степени разумности. Самые упорные ученики отслеживали на клетчатой бумаге все шесть «ходов» черепахи, отмечая в итоге все точки, до которых она могла добраться за 6 часов. Другие сокращали перебор, заметив, что симметрия чертежа позволяет начинать его не с первого, а со второго или даже третьего хода. Третьи сокращали его еще больше, приняв в расчет, что два идущих подряд хода по сторонам клетки можно заменить одним ходом по ее диагонали. Но только очень немногие поняли, как можно обойтись вообще без перебора. Введем систему координат и проследим за координатами черепахи. Три часа из шести она ползла вдоль оси абсцисс и три – вдоль оси ординат. За каждый час она проползала 10 м в положительном либо отрицательном направлении оси. Поэтому через 6 часов ее абсцисса и ордината могли независимо друг от друга принять одно из четырех значений: –30, –10, 10 или 30 м. Поскольку знаки координат, как и их порядок на расстояние до исходной точки не влияют, достаточно рассмотреть три случая: (10,10), (10,30) и (30,30), что дает три ответа:

В заключение приведем пример варианта занимательной задачи.

1. На сколько частей можно разбить плоскость четырьмя различными прямыми? Найдите все возможные случаи, для каждого сделайте чертеж.

2. Решите систему уравнений

1. Среди 100 отдыхающих провели анкету. Выяснилось, что 95 из них бывали в Москве, 85 – в Ленинграде, 75 – в Киеве и 65 – в Минске. Докажите, что по крайней мере 20 из них бывали во всех четырех городах.

2. Один мальчик и одна девочка ответили правильно

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.

Коля сказал: "Это число 9".

Роман: "Это простое число".

Катя: "Это четное число".
А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.

1. Два школьника, возвращаясь домой, увидели весы и взвесили на них свои портфели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда же школьники положили на весы оба портфеля, весы показали 6 кг. Осмотрев весы, друзья обнаружили, что стрелка весов сдвинута.

2. Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?

3. Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке?

4. Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на одной улице. Один из них – столяр, другой – маляр, третий - водопроводчик. Недавно маляр хотел попросить своего знакомого столяра сделать кое-что для своей квартиры, но ему сказали, что столяр работает в доме водопроводчика. Известно также, что Федоров никогда не слышал о Давыдове. Кто чем занимается?

5. На памятнике древнегреческому Диофанту имеется надпись: "Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через пять лет у него родился сын, а когда сыну минуло четыре года, Диофант скончался." Сколько лет жил Диофант?

2.3. Итоги опытно- экспериментальной работы.

Цель контрольного этапа – доказать эффективность применения занимательных задач как средства развития математических способностей.

Задачи контрольного этапа:

1. Провести повторную диагностику развития математических способностей учащихся 6 классов;

2. Разработать методические рекомендации по применению занимательных задач как средства развития математических способностей.

На контрольном этапе эксперимента мы изучили уровень развития математических способностей из экспериментальной и контрольной группы детей. Участвовали те же группы детей, использовались задания предварительного эксперимента с целью выявления изменений в уровне развития математических способностей учащихся 6 классов после проведения формирующего этапа.

Результаты по заданию № 1

Таблица 7.

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	3,27	46,7	3,73	53,3	0	-
Контрольная	2,33	33.3	3,27	46,7	1,4	20

Результаты по заданию № 2

Таблица 8.

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	4,2	60	1,87	26.7	0.94	13,4
Контрольная	1,87	26,7	3,73	53,3	1,4	20

Результаты по заданию № 3

Таблица 9

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	4,66	66,6	1,87	26,7	0,47	6,7
Контрольная	2,33	33,3	3,73	53,3	0,94	13,4

Результаты по заданию № 4

Таблица 10

Группа	Высокий		Средний		Низкий
	Кол-во	В %	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Эксперимент.	3,27	46,7	3,27	46.7	0,46	6,6
Контрольная	1,87	26,7	3,73	53,3	1,4	20

Таблица 11

Карта после эксперимента

Экспериментальная группа Ф.И.	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Сумма баллов	Контрольная группа Ф.И.	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Сумма баллов.
001	7	9	8	9	33	001 а	6	7	6	5	24
002	7	7	7	6	27	002 а	7	7	6	6	26
003	9	8	8	8	33	003 а	7	7	8	7	29
004	6	5	5	4	20	004 а	7	6	7	6	26
005	7	6	8	7	28	005 а	7	7	7	7	28
006	8	8	9	8	33	006 а	8	6	8	7	29
007	10	8	9	8	35	007 а	8	8	7	6	29

Итоги контрольного этапа

Таблица 12

Уровни развития	Эксперим. гр.		Контрольн. гр.
	Кол-во	В %	Кол-во	В %
Высокий	3,73	53,3	2.33	33,3
Средний	2,8	40	3,27	46,7
Низкий	0,47	6,7	1,4	20

По показателям контрольного этапа исследования, можно отметить, что результаты ответов учащихся экспериментальной группы намного улучшились: Высокий уровень составил 53,3 %, что выше показателей контрольной группы на 20 %, средний уровень составил 40 %, низкий уровень – 6,7 %; в контрольной группе средний уровень составил 46,7 %, низкий уровень – 20 %.

По итогам опытно-экспериментальной работы можно сделать следующие выводы, что проделанная работа дала свои положительные результаты, поставленная цель достигнута, задачи исследования решены и выдвинутая гипотеза подтвердилась.

По результатам педагогического эксперимента можно констатировать, что используя занимательные задачи и основываясь на личностно-ориентированном подходе к учащимся на уроках математики, развиваются математические способности, повышается познавательная активность; учащиеся получают математические знания не в «готовом» виде, а в результате самостоятельного «открытия» ими свойств и отношений реального мира.

Сравнительная гистограмма уровня развития математических способностей

В начале эксперимента

В конце эксперимента

Сравнительная диаграмма развития математических способностей у учащихся экспериментальной группы

Результаты экспериментального исследования, анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы позволил разработать следующие методические рекомендации:

1. Для формирования математических способностей, осознанного владения вычислительными приемами необходимо структурирование программного материала. Предварительное обобщение позволяет достаточно эффективно осваивать конкретный и разнообразный материал, не теряясь в его деталях и частностях и не тратя на их осмысление лишнего времени.

2. Необходимо добиваться, чтобы школьник осознанно владел математическими способностями. Для этого важно обращать внимание детей на то, каким путем получен тот или иной результат, специально ставить усложняющиеся задачи по овладению навыками выполнения вычислительных операций более высокого уровня, развивая тем самым культуру мышления, формируя навыки самостоятельного подхода. Существенное значение при этом имеет специальная постановка задачи на поиск самостоятельных решений.

3. Следует изменить требования к ответам учащихся: для хорошего и удовлетворительного ответа недостаточно простого воспроизведения правил вычитания и сложения и т.д.; необходимо требовать и проявления самостоятельных навыков интеллектуальной работы. Нужно давать учащимся такие задания, которые предполагают совмещение различных математических способностей. Простая демонстрация и заучивание тех или иных приемов вычисления непродуктивны, особенно в подростковом возрасте. Предлагая какой-либо прием, необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Так, для старших подростков целесообразно практиковать самостоятельное «выведение» того или иного приема.

4. При обучении смысловым приемам запоминания необходимо соблюдать определенную последовательность. В первую очередь ребят следует обучать действиям сравнения (смыслового соотнесения). Лишь после закрепления этого приема возможно полноценное овладение классификацией. И только при достаточно хорошей отработке обоих приступать к формированию следующего по сложности приема - систематизации. Одновременно необходимо учитывать индивидуальные особенности памяти учащихся, что предписывает при изложении материала более полно и четко выделять его логическую и образную стороны, чтобы дети с разным развитием того или иного вида памяти могли лучше воспринимать его. Сказанное, однако, не исключает необходимости тренировки механической памяти как всеобщего базиса памяти, которая должна осуществляться на осмысленном, интересном для учащихся материале. Для развития памяти необходимо специально тренировать детей на удержание в ней возможно большего числа условий, как в непосредственной форме, так и при их трансформировании.

5. Умение работать с книгой должно формироваться при изучении каждой дисциплины на протяжении всех лет обучения. В шестых классах целесообразно формировать и отрабатывать отдельные приемы работы с учебником (выделение существенного; классификация материала по значимости; составление плана, составление приемов-инструкций для решения учебных задач, самоконтроль и т. п.). С этой целью необходимо: создать для учителей дидактические материалы, дающие возможность осуществлять планомерное формирование у школьников умения работать с книгой;

6. Наличие активного интереса к учебным предметам определяется, прежде всего содержанием обучения. Мотивационное воздействие может оказывать лишь тот учебный материал, содержание которого соответствует потребностям ребенка. Так, необходимо иметь в виду, что у всех школьников имеется потребность и в новых впечатлениях, и в постоянной умственной деятельности, упражнении отдельных психических функций (мышления, воображения). Поэтому при разработке тематических и поурочных планов, при подборе учебного и иллюстративного материала педагог обязан всегда учитывать характер потребностей учащихся, с тем чтобы содержание учебного материала удовлетворяло и способствовало развитию школьников.

7. Содержание занимательных задач, конечно, должно быть вполне доступно учащимся, но в то же время материал может быть весьма сложным и трудным, чтобы вызвать активную мыслительную работу. В противном случае он не будет удовлетворять потребности учащихся в постоянном развитии психических функций (памяти, мышления, воображения) и вызывать ярких эмоций (не только положительных, но и отрицательных). Информационно бедный материал не обладает познавательным мотивационным эффектом, не вызывает и не формирует положительных устойчивых мотивов учебной деятельности. Поэтому вряд ли правильно поступают те учителя, методисты, которые в основном упрощают содержание занимательных задач, буквально разжевывают все сложные вопросы. Подобный путь приводит лишь к временному, сиюминутному успеху. Чрезвычайно важно, чтобы каждый ученик, в том числе и слабоуспевающий, осознал свою способность преодолевать трудности, испытал эмоциональный подъем в связи с выполнением сложной работы. При этом занимательные задачи должны строиться так, чтобы новая информация могла быть обязательно осмыслена с позиции прошлого знания и опыта.

8. Следует знать, что успешность развитие математических способностей детей возможно только при условии постоянного отслеживания за динамикой продвижения каждого ребенка;

9. Математические способности развиваются интенсивнее, если создавать на уроке атмосферу уважения, поощрять инициативу и стимулировать творчество учащихся.

10. Специальной педагогической и методической задачей должно стать формирование у школьников адекватной самооценки в учебной деятельности, способствующей развитию правильного отношения к собственным успехам и неудачам. Большое значение в этом плане имеет формирование правильного отношения школьников к своим учебным ошибкам. Следует изменить существующее в настоящее время отношение к ошибке как к чему-то недопустимому, наказуемому, сломать привычную ориентацию учителей на единственно возможный, правильный ответ (особенно в начальной школе). Ученик должен усвоить, что ошибки в какой-то мере неизбежны в ходе нормальной познавательной деятельности и (при правильном отношении к ним) могут помочь глубже понять изучаемый материал. Необходимо развивать у учащихся умения самооценки и самоконтроля работы, для чего следует использовать разные формы взаимопроверки и взаимооценки, задания на рефлексию (анализ) своей деятельности. Это формирует правильное и разумное отношение к отметке.

Заключение.

Важнейшей задачей математического образования является вооружение учащихся общими математическими способностями. Каждому школьнику важно научиться анализировать математическую структуру, способность к сравнению и классификацию, способность оперировать, ясное логическое мышление, абстрагировать, критичность мышления, память, умение использовать формулы. Изучены проблемы развития математических способностей учащихся в теории педагогики, психологии и педагогической практике. Одной из важнейших задач, стоящих перед учителем математики, начальных классов, является развитие самостоятельных математических способностей, которое позволило бы детям строить умозаключения, приводить доказательства, высказывать суждения, логически связанные между собой, обосновывая свои суждения, делать выводы, и, в конечном счете, самостоятельно приобретать знания. Математические способности не является врождённым, поэтому его можно и нужно развивать. Решение занимательных задач как раз и представляет собой один из приёмов развития математических способностей.

Проделанная работа по развитию математических способностей учащихся 6 классов, дала свои положительные результаты. Полученные данные дают возможность предположить, что у исследуемых детей произошел прирост в показателях развития математических способностей. Улучшение показателей обусловлено использованием занимательных задач на уроках математики. Стабильная, систематическая работа в данном направлении позволила повысить уровень развития математических способностей учащихся 6 классов, у них был сформирован соответствующий уровень умений и навыков.

На подготовительном этапе эксперимента нами было выдвинуто предположение о том, что изучение особенностей математических способностей учащихся 6 классов можно проводить в процессе обучающего эксперимента. В связи с этим в основу нашего исследования положена гипотеза о том, что применение занимательных задач способствует развитию математических способностей учащихся 6 классов.

Если подходить к школьному обучению и воспитанию как к управляемому процессу познания молодым поколением основ науки и практики, как к процессу формирования всесторонне воспитанной и развитой личности, то содержание обучения и воспитания следует рассматривать как одно из ведущих средств управления этим процессом, как некоторую программу деятельности учителя и учащихся.

В ходе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целью и задачами, получили следующие основные выводы:

1. Результаты экспериментального исследования, анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы позволили утверждать, что использование занимательных задач в курсе математики 6 класса будет наиболее эффективной, если предусмотреть личностно-ориентированный подход в обучении.

2. Раскрыты содержание и особенности занимательных задач.

Выделены принципиальные позиции, определившие наш подход к изучению темы:

• математические способности интенсивно развивается на основе и в процессе усвоения знаний, когда учащиеся получают математические знания не в «готовом» виде, а в результате самостоятельного «открытия» ими свойств и отношений реального мира;

• система занимательных задач, продуктивно развивают математические способности;

• поэтапное формирование умственных действий является рациональным способом развития математических способностей;

• деятельность учащихся активизирует система направляющей помощи учителя.

3. Проведена опытно-экспериментальная работа по формированию математических способностей у учащихся 6 классов. Предложена система занимательных задач, направленная на развитие математических способностей.

4. По итогам опытно-экспериментальной работы можно сделать следующие выводы, что проделанная работа дала свои положительные результаты.

Итак, применение занимательных задач как средства развития математических способностей учащихся 6 классов является эффективным. Мы достигли цели и подтвердили гипотезу нашего исследования.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блонский П.П. Избранные психологические произведения. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. - 695 с.

2. Богоявленский Д. Н. Формирование приемов умственной работы учащихся как путь развития мышления и активизации учения // Вопр. психологии. — 1962. - № 4. - С. 74-82.

3. Брушлинский А.В. Исследование направленности мыслительного процесса: Автореф. дис. канд. пед. наук. — М., 1994. — 16 с.

4. Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989. — 405 с.

5. Выготский Л. С. Мышление и его развитие в детском возрасте // Собр. соч.: В 6 т. / Гл. ред. А.В. Запорожец. — М.: Просвещение, 1992. — Т. 2. — С. 395-415.

6. Газман О.С., Фролова Т.В. Принципы личностно-ориентированного подхода как методологическая ориентация в педагогической деятельности. М., ТЦ Сфера.- 2003. – 123 с.

7. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // М.: Педагогика, 1976. – 277 с.

8. Гальперин П.Я. К. исследованию интеллектуального развития ребенка // Вопр. психологии. — 1979. — № 1. — С. 15-26.

9. Гнеденко Б.В. Прикладные аспекты преподавания математики // Математическое образование сегодня: Пер. с англ. — М.: Знание, 1994. — 124 с.

10. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. — М.: Просвещение, 1982. — 144 с.

11. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 6 класс, части 1-3. М., - 2003.

12. Дункер К. Психология продуктивного (творческого) мышления // Психология мышления: Пер. с нем. и англ. / Под ред. А.М. Матюшина. — М., 1985. — 176 с.

13. Занков Л.В. Вопросы обучения и развития учащихся - М: Педагогика.- 1955.- 260 с.

14. Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знания и навыков школьников. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1972. - 376 с.

15. Калмыкова З.И. Зависимость уровня усвоения знаний от активности учащихся в обучаемости – М.: Педагогика, 1989. – 321 с.

16. Калмыкова З.И. Проблема индивидуальных различий в обучаемости школьников - М.: Педагогика, 1978. — 117 с.

17. Казакова Е.И., Тряпицина А.П. Гуманистические основы личностно-ориентированного подхода.– СПб, «Питер» – 2000.–351 с.

18. Колмогоров А.Н. О профессии математика. — 3-е изд., доп. — М.: Изд-во МГУ, 1970. - 30 с.

19. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. — М.: Просвещение, 1988. — 431 с.

20. Личностно-ориентированный подход в работе педагога: разработка и использование. -М.: ТЦ Сфера. – 2004. – 156 с.

21. Ломова Н.В., Куколевская Г.И. Математика. Система развивающих упражнений. — М.: УЦ "Перспектива", 1996. — 88 с.

22. Люблинская А.А. Учителю о психологии школьника. — М.: Просвещение, 1987.- 280 с.

23. Максимов Л.К. Формирование математического мышления у младших школьников. — М.: Знание, 1997. – 296 с.

24. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе: Докл. на совещании-семинаре учителей математики // Математика в школе. - 1972. - № 2. - С. 3-14.

25. Математика 5-6 класс // Методические рекомендации к учебникам Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсон. М.:Школа 2000. – 240с.

26. Математика 6 класс. Поурочные планы по учебнику Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова / Авт. сост. Л.А.Тапилина, Т.Л.Афанасьева. – Волгоград: Учитель, 2004. – 144с.

27. Математика 6 класс. Учебник. / Э.Р.Нурк, А.Э.Тельгмаа. – М.: Дорфа. –2002. – 272 с.

28. Математика 6 класс. Учебник. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов. – М.: Мнемозина, 2000. – 304 с.

29. Математика 6 класс. части 1-3. // Под. ред. Г.В.Дорофеева, Л.Г. Петерсон., М., - 2003.

30. Машарова Т.В. Педагогическая технология: личностно-ориентированное обучение. М.: Владос. – 2002. – 193 с.

31. Медведева О.С. Решение задач как средство развития мышления учащихся // Математика в школе. — 1995. — № 1. — С. 49-51.

32. Менчинская Н.А. Обучение и умственное развитие // Обучение и развитие. — М.: Просвещение, 1966. — 231 с.

33. Менчинская Н.А. Психологические проблемы преодоления неуспеваемости //Сов. Педагогика, 1980. — № 11. — С. 70-82.

34. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. — М.: Педагогика, 1989. — 218 с.

35. Методика преподавания математике в средней школе. Пособие для учителей // Под ред. Ю.М.Колягина., Г.Н.Луканкина., Е.Л.Мокрушкина. М.: Просвещение, 1990. – 480 с.

36. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие. // Под ред. Рогоновского Н.М. Мн.: Высш. Шк., 1990.- 267 с.

37. Методика преподавания математики в средней школе. : частная методика: учебное пособие для студентов пед. институтов. / Под ред А.Я. Блок, В.А. Гусева – М.: Просвещение. 1987. – 416 с.

38. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления // Формирование элементов научного мышления у учащихся. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 151 с.

39. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия // Вопр. психологии. - 1966. - № 4. - С. 121-127.

40. Пиаже Ж. Психология интеллекта // Избранные психологические труды / Пер. с фр. - М., 1969. - С. 58-231.

41. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975. — 463с.

42. Пономарев Я.А. Психология творческого мышления. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. - 352 с.

43. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике: Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1973. — 200 с.

44. Психолого-педагогическая характеристика развития математического мышления учащихся. / Сбор. научн. трудов. М.: Наука. – 1998. – 476 с.

45. Развитие учащихся в процессе обучения / Под ред. Л.В. Занкова. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1973. - 440 с.

46. Рубинштейн С.Л. О математическом мышлении и путях его исследования. — М.: Изд-во АН СССР, 1968. - 147 с.

47. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его развития. — М.: Изд-во АН СССР, 1968. - 142 с.

48. Смоленцева АЛ. Математическое развитие — М.: Просвещение, 1997. — 96 с.

49. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий // Нар. образование. — 1977. — № 7. — С. 34-42.

50. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. — М.: Просвещение, 1993. — 160 с.

51. Фрибус Е.А., Баврин И.И. Занимательные задачи по математике. М.: Просвещение. 1994. – 127 с.

52. Шварцбурд С.И. О развитии интереса, склонностей и способностей учащихся математике // Математика в школе. — 1984. — № 6. — С. 32-37.

53. Эльконин Д.Б. Психология математической игры. — М., 1988.- 298 с.

Приложение.

Приложение 1.

Список детей экспериментальной группы

Код	Фамилия и имена детей
001	Аянитова Саяна
002	Большаков Айсен
003	Гаврильева Дайаана
004	Никифорова Маша
005	Попова Дарина
006	Рахлеева Аня
007	Слепцова Валя

Приложение 2.

Список детей контрольной группы

Код	Фамилия и имена детей
001 а	Андросов Миша
002 а	Винокурова Айта
003 а	Захарова Айта
004 а	Кулачиков Айал
005 а	Местникова Туйаара
006 а	Сивцева Аня
007 а	Тистяхов Саргылан