Программа элективного курса "Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля" в 9-ом классе

Программа

элективного курса

по алгебре

«Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля»

ИвановаВ.И.

учитель математики

МОУ СОШ №14

с. Орловки

Буденновского района

Пояснительная записка.

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-ых классов посвящен задачам с модулем (абсолютной величины), которые представляют для учащихся сложности в логическом и психологическом плане.

В основной школе тема не изучается. Некоторые аспекты темы рассматриваются при решении линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств. Поэтому трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые для решения задач, вообще отсутствуют. Но именно решение задач с модулем открывает перед учащимися большое число эвристических примеров общего характера, применяемых на любом математическом материале. Кроме того, задачи с модулем стали неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов (подобные задания также присутствуют в разделах В и С текстов ЕГЭ).

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных знаний. Создает целостное представление о задачах с модулем, формирует осознанный подход к решению задач с модулем. Необходимо уделить большое внимание психологическому аспекту решения задач, чтобы учащиеся перестали «бояться» модуля в задачах. В ходе изучения курса учащиеся знакомятся с подходами к решению основных типов задач с модулями. Организация работы на занятиях отличается от уроков: ученику необходимо давать время на размышления, учить рассуждать, выдвигать гипотезу. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения. Одной группе учащихся полезно дать возможность самим рассмотреть различные случаи, в другой группе учитель может сузить требования и рассмотреть конкретный алгоритм решения задачи.

Программа содержит три блока, связанные единой идеей. Учитель, в зависимости от уровня математической подготовки группы, может использовать все блоки или один из них.

Первый блок знакомит учащихся с основными понятиями «модуль», «задача с модулем», систематизирует ранее полученные знания о решении линейных уравнений и неравенств. По итогам изучения этого блока можно составить схему, в которой рассмотрены основные случаи, возникающие при решении линейных уравнений и неравенств с модулем.

Цель второго блока- рассмотрение квадратных уравнений и неравенств с модулем, опираясь на способы решения квадратных уравнений и неравенств, изучаемые в курсе алгебры 8-го и 9-го классов.

Третий блок позволяет показать практическое значение курса для построения графиков функций.

На изучение трех блоков отводится 15 часов, на определение успешности усвоения материала-2 часа.

Учебно-тематический план

	Наименование разделов и тем	Всего часов	Форма контроля
1.	Линейные уравнения и неравенства с модулем: понятия о задачах с модулем, решение линейных уравнений с модулем, решение линейных неравенств с модулем.	5	Составление схемы
2.	Квадратные уравнения и неравенства с модулем: количество корней квадратного уравнения, решение квадратного уравнения с модулем, решение квадратного неравенства с модулем.	6	Зачет, контрольная работа
3.	Построение графиков функций: график линейной функции и его расположение на координатной плоскости, график квадратной функции и его расположение на координатной плоскости.	4	Собеседование
4.	Проверка усвоения знаний.	2

Содержание программы

Тема 1. Линейные уравнения и неравенства с модулем.

Учащимся сообщается цель и значение курса, формируется понятие «модуль», «задача с модулем», рассматриваются основные способы решения линейных уравнений и неравенств с модулем. Лучшему осмыслению учебного материала способствует составление схемы, в которой рассмотрены основные типы задач.

Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства с модулем.

Программа общеобразовательных школ рассматривает различные способы решения квадратных уравнений и неравенств, определение количества корней квадратного уравнения. У учащихся имеется некоторый минимум знаний, позволяющий при рассмотрении данной темы обобщить и систематизировать способы решения квадратных уравнений и неравенств с модулем.

Тема 3. Построение графиков функции.

Учащиеся умеют строит график линейной и квадратичной функции, знают свойства рассматриваемых функций. Опираясь на имеющие знания, необходимо рассмотреть различные случаи расположения графиков функций указанного вида, построение на плоскости множеств точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям и неравенствам, содержащим знак модуля.

Проверку усвоения знаний учащимися можно провести в виде контрольной работы, зачета или другой формы по выбору учителя.

Литература

1. Ш.А. Алимов и др. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Просвещение, 2003г.

2. Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Просвещение, 2003г.

3. А.Г. Мордкович. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Мнемоза, 2002г.

4. Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра: Дополнительные главы к учебнику 8 и 9 кл. М: Просвещение, 2002г.

5. М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы.

Уравнения и системы уравнений, М: Аквариум, 1997г,стр.36-43.

6. М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы.

Неравенства и системы неравенства. М: Аквариум, 1997г,стр.196-206.

7. И.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебра 7-

9 кл. М: Просвещение, 1991г. Литература

8. Л.В. Кузнецова и др. Сборник задания для проведения письменного

экзамена по алгебре в 9 кл. М: Дрофа, 2004г.

9. Г.В. Дорофеев и др. Сборник заданий для подготовки и проведения

письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам

анализа (курс В) за курс средней школы. М: Дрофа, 2004г.

10.СимоновА.Я. Системы тренировочных задач и упражнений по

математике, стр.36-38,49-51.

Материалы для оказания помощи учащимся в проведении учебной практики.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля,надо

освободиться от знака модуля, используя его определение:

│х│={х,если х≥0,

-х,если х‹0.

На практике это делается так:

1)находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2)разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3)на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Пример1.Решить уравнение│х+3│=2х-1.

Решение.

Критическая точка находится после решения уравнения х+3=0, х=-3

1) При х‹-3 получаем уравнение –х-3=2х-1, откуда х=-2/3. Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.

2) При х≥-3 получаем уравнение х+3=2х-1, откуда х=4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

Ответ:4.

Пример2.Решить уравнение│х+2│+│х+3│=х.

Решение.

Найдём критические точки:

х+2=0 или х+3=0;

х=-2 или х=-3.

Решаем задачу на каждом промежутке:

1) х‹-3, -х-2-х-3=х

-3х=5

х=-5/3(не входит в рассматриваемый промежуток).

2)-3≤х‹-2, -х-2+х+3=х

х=1(не входит в рассматриваемый промежуток)

3)х≥-2, х+2+х+3=х

х=-5(не входит в рассматриваемый промежуток)

Ответ: решений нет.

Пример3.Решить уравнение│х+5│-│х-3│=8

Решение.

Найдём критические точки:

х+5=0 или х-3=0;

х=-5 или х=3.

1) х‹-5, -х-5-(-х+3)=8,

-х-5+х-3=8

-8=8ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.

2) -5≤х‹3, х+5-(-х-3)=8

х+5+х+3=8( не входит в рассматриваемый промежуток)

2х=6

х=3 ( не входит в рассматриваемый промежуток)

3)х≥3, х+5-(х-3)=8,

х+5-х+3=8

8=8 верно.Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.

Ответ: [3; +∞).

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.

Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Решить неравенство│х+4│≥1

Решение.

Критическая точка находится решением уравнения х+4=0, х=-4.

1)Рассмотрим промежуток х‹-4.На нем исходное неравенство принимает вид

-х-4≥1.Решая это неравенство, найдём х≤-5.Так как х‹-4 и х≤-5, решением исходного неравенства будет промежуток х≤-5.

2) Рассмотрим промежуток х›-4.На нём исходное неравенство будет иметь видх+, откуда х+4≥1, откуда х≥-3. Так как х›-4 и х≥-3,то решением исходного неравенства будет промежуток х≥-3

3) Учитывая случаи 1) и 2) ,окончательно имеем х≤-5 и х≥-3.

Ответ: х≤-5 и х≥-3.

Пример 2. Решить неравенство│х-3│‹1.

Решение.

Найдём критическую точку х-3=0, т.е. х=3.

1)Рассмотрим промежуток х‹3.В этом случае имеем

{ х‹3, откуда{ х‹3,

-х+3‹1, х›2.

Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток(2;3).

2) Рассмотрим промежуток х≥3.В этом случае имеем

{ х≥3, { х≥3,

х-3‹1, или х‹4.

Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток[3;4).

3)Рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток(2;4).

Ответ: (2;4).

Пример 3.Решить неравенство│2х-1│-│х-2│≥4.

Решение.

Критическими точками являются х-1/2 и х=2.

1)Рассмотрим промежуток х‹1/2. На нём исходное неравенство имеет вид

-2х+1-(-х+2) ≥4, откуда х≤-5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток х≤-5.

2) Рассмотрим промежуток 1/2≤х‹2. На нём исходное неравенство имеет вид

(2х-1)-(-х+2) ≥4, откуда х≥7/3. Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения.

3) Рассмотрим промежуток х›2. На нём исходное неравенство имеет вид

(2х-1)-(х-2) ≥4, откуда х≥3.

4)Объединение полученных решений х≤-5 и х≥3 будет решением исходного неравенства.

Ответ:-∞ ‹х≤-5 и 3≤х‹+∞.

Построение графиков функций.

1.Построить график функции у=│f(х) │.

По определению имеем:

│f(х) │={ f(х),если f(х) ≥0

- f(х),если f(х) ‹0.

Поэтому график функции у=│f(х) │совпадает с графиком функции f(х) на тех промежутках,где f(х) ≥0,а на тех промежутках, где f(х) ‹0, график функции у=│f(х) │получается из графика функции у=f(х) спомощью симметрии относительно оси Ох.

2. Построить график функции у=f(│х│) .

Если х≥0, то│х│=х, поэтому f(│х│) =f(х),т.е. при х≥0 графики функций у=f(│х│) и у=f(х) совпадают.Функция у=f(│х│) является чётной, так как│х│-чётная функция; поэтому её график при х ‹0 симметричен относительно оси Оу графику этой функции.Другими словами, для построения графика функции у=f(│х│) надо построить график функции у=f(х), затем оставить только его часть, лежащую справа от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.

3. Построить график функции у=f(-│х│) .

Функция f(-│х│) также является чётной.Чтобы построить график функции

f(-│х│), оставим часть графика функции у=f(х), лежащую слева от оси Оу и отобразим эту часть симметрично относительно той же оси.

4. Построить график функции│ у│=f(х) .

Чтобы по известному графику функции у=f(х) множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению│ у│=f(х),надо взять ту часть графика у=f(х) ,которая расположена над осью Ох, и добавить к ней её симметричное отбражение относительно оси Ох.

5. Построить график функции│у │=│f(х) │.

Построим график функции у=f(х).Тогда, осуществляя уже известные преобразования графиков, построим сначала график функции у=│f(х) │,а затем –множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

│у │=│f(х) │.

Тестовый материал уровневого контроля знаний.

Отметьте номер правильного ответа

1)Произведение корней уравнения х²-12=│х│ равно

а)-16 б)144 в)-12 г)-9 д)-144

2)Сумма корней уравнения │х+1│=2│х-2│ равна

а)4 б)5 в)-2 г)6 д)7

3)Решение неравенства │х²-2,5│‹1,5 имеет вид

а) (-2;-1);(1;2) б) (-2;-1) в) (1;2) г)(-2;2) д) (-2;0);(0;2)

4)Если х€(-4;4), то множеством значений функции у=│х²-9│ является промежуток

а)[0;7] б) [7;9] в)(7;9] г)[0;9] д)(0;9)

5) Наименьшее решение неравенства │х²-6х-6│≤3х принадлежит

промежутку

а)[7;+∞) б)Ǿ в)(- ∞;-1) г)[-1;6] д) (6;7)

Б)Напишите правильный ответ.

1)Найдите сумму корней уравнения х²-4х+2=(│5х-4│)/3

2)Решите неравенство │х²-5,5│‹4,5

С)Найдите наибольшее натуральное значение параметра с, при котором решение││2х+4│-7│-13≤2с² удовлетворяет условию х

Методическое обеспечение элективного курса по алгебре «Задачи с модулем»

Линейные уравнения с модулем

Условие Ответ

│ х │=3 3;-3

│ х +4│=0 -4

│ х +4│=2х 4

│ 2х+1│=2х решений нет

│ 2х-3│=х 1;3

│ х-5│=3 2;8

│ х+5│=-3 решений нет

│ х+1│=-3х -0,25

│ 2х+1│=х решений нет

│ х │=│2х-5│ 5/3;5

│х+3│=2х-1 4

│х+2│+│х+3│=х решений нет

│ х+5│-│х-3│=8 [3;+∞)

│ х+5│=│10+х│ -7;5

│х+3│+│ 2х-1│=8 -10/3;2

│3х+1│+х=9 -5;2

│5-х│=2(2х-5) 3

│х-3│+2│х+1│=4 -1

│5-2х│+│х+3│=2-3х (-∞;-3]

│5-х│+│х-1│=10 -2

│4-х│+│х-2│=2 [2;4]

│х-2│+│ х+5│=3 -3

│-х+2 =2х+1 1/3

│х-3│=│ х+1│ 1

│2х+3│=│2х-5│ ½

(1-2х)/(3-│х-1│)=1 -1/3

│х-│4-х││-2х=4 0

│3х-8│-│3х-2│=6 (-∞;2/3)

│х│+│7-х│+2│х-2│=4 решений нет

│ х-1│=-х+2 2

│ х-1│=х+2 -1/2

│ х-1│=5 -4;6

│х+1│=2,5 -3,5;1,5

2│ х-1│=3 -0,5;2,5

│3х+2│=4 -2;2/3

│-3-2х│=1 -2;-1

│х-2│+│х+8│=10 [-8;2]

│4-х│+│5+х│=19 -10;9

│-2х-1│+2│-х+3│=7 [-1,5;3]

│х-3│=5 -2;8

│х+4│+1=0 решений нет

│3х+2│-4=0 -2;2/3

│(3-х)/(х-1) │=1 2

││2х-5│-3│=2 0;2;3;5

│х+5│=3 -8;-2

│4-3х│-2=0 2/3;2

││х-2│-3│=1 -2;0;4;6

││3х+6│+1│=5 -10/3;-2/3

│х-4│=3 1;7

│х+2│=7 5;-9

│х-2│+│х+3│=7 -4;3

│х-5│-│х-2│=3 [2; +∞)

3│х-1│-2│х-2│+│х+3│=2 [-3;1]

│х│+3│х+2│=2│х+1│ -2

│2х+4│+│х-3│=х+7 [-2;3]

│х+3│+│3х-2│=4х+1 [2/3;+ ∞)

2 │х+1│+│х│=х+2 [-1;0)

│х-3│+3│х+1│=4х [3; +∞)

2/ │х-2│+1=│х/(х-2) │ (2; +∞)

│х-1│=3-│х│ -1;2

│х-3│+2│х+1│=4 -1

│ х-4│ =5-2х 1

│ х-1│ +│ х-2│ +│ х-3│ =2 2

│ 5х+3│ =1 -4/5;-2/5

│ 2х+5│ +│ 2х-3│ =8 - 2,5≤х≤1,5

│2х-3│ =5 4;-1

│ х-3│ =│ х│ -3 х≥3

2│ х+6│ -│ х│ +│ х-6│ =18 -12; [0;6]

│х+1│=3 -4;2

│х-1│-│х-2│=1 х≥2

│ х│ -2│ х+1│ +3│ х+2│ =0 -1;4

│ 3х-4│ =0,5 7/6;3/2

│ 2х+1│ -│ 3-х│=│ х-4│ 3/2

│ (2х-1)(х+2)^-1│ ≤4 х≤-9/2;х≥-7/6

│ 2х-1│ +х=3 -2;4/3

│ 1-х│ +2=│ 3-х│ х≤1

│ х-1│ +│ 1-2х│ =2│ х│ 2;2/5

│ х│ -│ х+2│ =0 -1

│ х│ -2│ х+1│ +3│ х+2│ =0 -2

│ 2х-3│ -│ 5х+4│ =0 -1/7;-7/3

2│ 3х+1│ -5│ 2-х│ =4│ х+8│ -7 -7;4

│ │ 3-2х│ -1│ =2│ х│ ½

│ х+1│ =│ 3-2х│ 2/3;4

Линейные неравенства с модулем

Условие Ответ

│ х+4│ ≥1 х≤-5;х≥-3

│ х-3│ ‹1 2‹х‹4

│ 2х-1│ -│ х-2│ ≥4 -∞ ‹х≤-5; [3;+ ∞)

│ х+1 │ ‹ │ х-3│ х ‹ 1 ( 2х-1)( │х+1│-│х-3│) ‹ 0 1/2 ‹ х ‹ 1

│ х+1│ +│ х-3│›6 х‹-2;х ›4

│х+2│ ›│х-4│ х ›1

│2х+ 3│ ‹│2х-5│ х ‹ ½

(х-2)( │х+5│-│х-1│) ‹0 -2‹х‹2

│х+3│+│х-1│›5 х ‹ -7/2; х ›3/2

│х-2│≤4 [-2;6]

│х+3│ ≥ 1,5 (-∞ ;-4,5] ; [-1,5; +∞)

3│ х-2│ ‹ 5 (1/3;11/3)

│2х+1│›3 (-∞ ;-2] ; [1; +∞)

│ -4-3х│ ‹ 1 (-5/3;1)

│ 1-х│ +│ 2-х│›1 (-∞ ;+ ∞)

│1-х│+│-х-3│ ≤4 [-3;1]

│1+3х│+│1-3х│ ‹ 4 (-∞ ;0] ; [2/3; +∞)

│3х+1│ ‹ 2х+3 (-4/5;2)

│ 5х-1│›3-х (-∞ ;-0,5) ; (2/3; +∞)

│ 2х+5 │›3-5х (8/3; +∞)

│ -х-3│›13+х (-8; +∞)

1≤ │ 3х-2 │ ≤2 0≤х ≤1/3; 1≤х ≤4/3

│(3х+1)(х+3)^-1│ ‹ 3 х›-5/3

│(х+2)^-1│ ‹2│(х-1)^-1│ х ‹-5; -1 ‹х ‹1; х›1

Решить неравенство и указать наименьшее положительное решение для каждого из них.

Условие Ответ

│х│ ‹3 1

│х-3│‹2 2

│х+2│›-2 (-∞ ;+ ∞)

│х-7│ ≤0 7

│3х-2,5 │ ≤2 1

│х│›1 2

│х+1│› 1 1

│х+3│‹ -1 решений нет

│х-2│(х-1) ›0 3

│5-2х│› 1 1

Квадратные уравнения с модулем

Условие Ответ

│х+2 │=2/(3-х) (1-√33)/2;(1+√17)/2

│х²-1 │+х=5 -3;2

│х²+х │+3х-5=0 -5;1

│(х+1)/(х-1) │=1 0

х²+ │х-2 │-10=0 3; (1-√33)/2; (1+√33)/2

│х²+4х+2│=(5х+16)/3 -1/3;1

│х-6│=│х²-5х+9│ 1;3

5/(3-│х-1│)=│х│+2 3;-3;-2+√5

│х²-4х│=5 -1;5

│х-4,2│(х-4,2)=-1 3,2

х² +2х-3=3│х+1│ 3;-5

│х²-х-1│+│х²-х-3│=6 (1-√21)/2; (1+√21)/2

│х²+х│+│х+2│=х²-2 х ≤-2

х²-4х-4=2│х-2│ -2;6

│х²+х+1│+│х²+х-3│=6 -(1+√17)/2; (√17-1)/ 2

│х³-3х²+х│=х-х³ 0;2/3

│х²-х│+│х+1│=х²-2х-1 х ≤-1

√(х-1)+ │х-2│=│х-3│ 2

(3х²+2-│2х+3│)/(│х│-1)=0 -1/3

х² -5│х│+6=0 -3;-2;2;3

2│х²+2х-5│=х-1 1,5; (-5+√113)/4

│7х²-х-3│+ │7х²-х-5│=4 -6/7;(1-√57)/14;( 1+√57)/14

│6х²-7х+2│=2-х 0;1

│2х²-х-1│=2х²+х+1 -1;0

│х³-х-1│= х³-х²+1 -0,5;0;1;2

│х²-2х-1│=2 -1;1;3

│х²+3х-4│=6 -5;2;-1;-2

4/│х²-4│+1=│х²/(х²-4) │ (-∞ ;-2) ; (2; +∞)

│х/(х-1) │+ │х │= │х²/(х-1) │ (1; +∞)

│ х²+2х│ +│ 2-х│=│ х²-х│ ( √5-1 )/2

х² -2│ х│ -8 ≥0 х ≥4;х≤-4

│ х²-1│ =│ х│ -1 1;-1

│ х²-2х│-3=0 3;-1

│2х-х²-8 │ =х²-1 7/6;3/2

│2х-х²-3 │ =2 1

│х²-9 │+ │х-2 │=5 -3;2;(-1+√65)/2

│х²-6х+7│=1/3(5х-9) 3;6

│х²-8х+5│=│х²-5│ 0;5/4;4

6-5│х│=-х² -3;-2;2;3

(х²-5х+6)²-5│х²-5х+6│+6=0 1;4;(5+√13)/2; (5-√13)/2

Квадратные неравенства с модулем

Условие Ответ

Решить неравенства и указать наименьшие целые положительные решения для каждого из них.

│2х²-9х+15│ ≥2 1

х² - │5х+6│›0 7

│3+х│ ≥х 1

│х-9│ ≤0 9

1/х ≥1/3 1

│х²+5х│‹6 решений нет

│х³-1│(х-9) ‹0 2

│х│+│х+3│‹5 решений нет

│х-2│+│х+2│ ≤4 1

│ 2х-1│+│х-3│≤4 1

│2х²+х-3│+│2х²+х-10│≤7 [-2,5;-1,5] ; [1;2]

Решите неравенства

│х²+4х+3│›х+3 х ‹-3;-3 ‹х ‹-2;х›0

2х²-│х-1│≥0 х≥1; х ≤-1

│ (х²-5х+4)(х²-4)^-1│≤1 х≥2,5; 0≤х≤1,6

│х²-6х+8│‹4-х 1‹х‹3

х²-6│х│-7 ≤0 -7≤х≤7

│ (х-6)(х²-5х+9)^-1│›1 1‹х‹3

│х²+3х│+х²-2≥0 х ≤-2/3; х≥1/2

х²+8│х│+7≥0 (-∞ ;+ ∞)

│х²-3│+2х+1≥0 х≤-1-√3; х≥1-√5

х²-4│х│-12≥0 х≥6; х ≤-6

│х²-5х│ ‹6 -1‹х‹2; 3‹х‹6

х²-7│х│+12≤0 3 ≤х≤4; -4≤х≤-3

│(х²-2х+1)(х-3)^-1│›1 х‹-1; 2‹х‹3; х›3

│х³-1│≤х²+х+1 [0;2]

х²-3│х│+2≤0 [1;2]; [-2;-1]

│(х+2)^-1│ ‹2│(х-1)^-1│ х‹-5; -1‹х‹1; х›1

│х²-х-8│≤х 2^2/3 ≤х≤4

х² -7│х│-30 ≥0 х≥10; х ≤-10

│(х-1-х²)(х²-3х+4)^-1│≤1 х ≤2/3

│х²-2х-8│‹2х (-∞ ;2√2 ); (2+2√3; +∞)

х²-2 │х│‹3 (-3;3)

х²+6х-4│х+3│-12 ≥0 (-∞ ;10] ; [4; +∞)

(│х-3│)/(х²-5х+6) ≥0 [1,5; 2)

Построение графиков функции

3│Постройте графики:

*у=│х²-2х-3│

*у=х²-2│х│-3

*f(-│х│)= х²+2│х│-3

*│у│=х²

*│у│=х²+1

*│у│=х²-2х-3

*│у│=│х²-2х-3│

*у=│х²-2│х│-3│

*у=(│х+1│+1)(х-3)

у={((х+1)+1)(х-3)=(х+2)(х-3),если х ≥-1

(-(х+1)+1)(х-3)=-х(х-3),если х‹-1

*у=│х-1│(│х│-1)

если х‹0, то у=(-х+1)(-х-1),т.е.у=х²-1

если 0≤х‹1,то у=(-х+1)(х-1), т.е.у=-(х-1)²

если х≥1,то у=(х-1)(х-1), т.е. у=(х-1)²

*у=х³/│х³│-х²

у={-х²-1,если х‹0

-х²+1,если х›0

*у=│6х-5-х²│

* у=6│х│-5-х²

^*│ у│=6х-5-х²

*│у│=│6х-5-х²│

* у=│6│х│-5-х²│

*у=((х-1)(1-х²))/ │х+1│

*у=((х²+3)(х-1))/ │х-1│

*у=(│х-2│(х²-4х+6))/(х-2)

Задачи с модулем

Условие Ответ

Упростите выражение

*(а²-4)/( │а│+2) при а€[0; +∞) а-2

при а€(-∞;0) -(а+2)

*(а²-│а│+1-а)( │а-1│) при а€(-∞;0) (а²+1)(1-а)

при а€[0; 1) 1-а

при а€(1; +∞) а-1

*(│х²-1│+3х²+3)/(2х²+1)+( │х+1│)/(х+1) при х €(-∞;-1) 1

при х €(-1;1) (4х²+5)/(2х²+1)

при х€[1; +∞) 3

*(│х³-1)+ │х+1│)/(х³+х) при х €(-∞;-1) 1

при х €[-1;0) ;(0;1) (2+х-х²)/(х³+х)

при х€[1; +∞) 1

*(m│m-3│)/((m²-m-6) │m│) при m€(-∞;-2) ; (-2;0); [3; +∞) 1/(m+2)

при m€(0;3) 1/(m+2)

* │(│х-2│+4)/(х-2) │(х²-4) при х€(-∞;2) х²-4х-12

при х€(2; +∞) (х+2)²

*( │х+3│)/(х²-9) при х€(-∞;-3) 1/(3-х)

при х€(-3; +∞) 1/(х-3)

*(│х││х-1│)/(х²-х+1-│х│) при х€(-∞;0) (х²-х)(х²+х)

при х€[0; 1) х/(1-х)

при х€(1; +∞) х(х-1)

*(││х-1│-1││х│)/(х²-1) при х€(-∞;-1) х/(х-1)

при х€(-1;0) х/(1-х)

при х€[0; 1) -х(х+1)

при х€(1; +∞) х(х+1)

*(х²-1+│х+1│)/(│х│(х-2)) при х€(-∞;-1) _(х+1)/х

при х€[-1; 0) (х+1)/(2-х)

при х€(0;2) ; (2 +∞) (х+1)/(х-2)

Какая из данных функций чётная, а какая нечётная?

*f(x)= (│х-4│/(х+1))/( │х+4│(х-1)) чётная

*f(x)=x│x│+2^х-2^-х нечётная

*f(x)=(x+5)(x-3)-(x-5)(x+3) нечётная

*f(x)= │3-x│+2│x│+√(x²+6x+9) чётная

Программа предусматривает использование фронтальной, индивидуальной, групповой форм работы обучающихся. Фронтальная форма предусматривает подачу материала всему коллективу учеников. Индивидуальная форма предполагает самостоятельную работу обучающихся. В программе приоритетное место отводится индивидуальной работе. Групповая работа позволяет ориентировать учеников на создание так называемых «творческих» пар или подгрупп с учетом их возраста и опыта исследовательской деятельности.

В процессе обучения предусматриваются следующие формы учебных занятий: типовое занятие (сочетающее в себе объяснение и практическое упражнение), собеседование, консультация, дискуссия, практическое упражнение под руководством педагога по закреплению определенных навыков, самостоятельное исследование, защита исследования.

Процесс обучения предусматривает следующие виды контроля:

• вводный, который проводится перед началом работы и предназначен для закрепления знаний, умений и навыков по пройденным темам;

• текущий, проводимый в ходе учебного занятия и закрепляющий знания по данной теме. Он позволяет обучающимся усвоить последовательность исследовательских операций;

• итоговый, проводимый после завершения всей учебной программы.

Программа данного элективного курса включена в сборник программ элективных кукрсов по математике в предпрофильном обучении учащихся (на основе опыта работы учителей математики ставропольского края)