Математическая газета

математическая газета. Можно использовать при проведении недели по математики . Можно использовать на уроках для развития УУД в пятых, шестых, седьмых классах. Рассматриваются задачи на принцеп Дирехле, логические задачи. Все задачи приведены с решениями и пояснениями, что намного упрощает работу любого учителя.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Математическая газета »

Занимательная задача на логику.

Для 4 - 8 классов

Секретное число

Дети играли в игру. Водящий загадал число, находящееся между

1 и 300 (1 и 300 входят в число задуманных).

Трое ребят пытались отгадать это число.

Они сделали следующие утверждения относительно "секретного" числа:

(А) Антон: это число между 1 и 100;

(Б) Борис: это число не между 101 и 200;

(В) Володя: это число не между 1 и 100;

Но двое из этих мальчиков признались вскоре, что они сказали неправду.

В каком интервале находится "секретное" число?

(a) от 1 до 100; (b) от 101 до 200; (c) от 201 до 300;

(d) от 101 до 300; (e) Невозможно определить

Решение задачи на логику «Секретное число»

Для 4 - 8 классов

Правильный ответ :(b)
Решение:
Антон утверждает, что число между 1 и 100, а из утверждения Володи ("это число не между 1 и 100") следует, что число между 101 и 300.
А так как известно, что число лежит в интервале от 1 до 300, то кто-то из двоих обязательно говорит правду.
По условию задачи говорят неправду два человека. Следовательно, утверждению третьего мальчика - Бориса ("это число не между 101 и 200") верить точно не надо, и считать, что число лежит между 101 и 200.

Еще вариант решения. Как сказано выше, Антон или Володя говорит правду.
Предположим, что Антон говорит правду и число лежит между 1 и 100, тогда и Борис, сказавший, что число не между 101 и 200, тоже говорит правду,
а по условию задачи только один мальчик сказал правду. Противоречие.
Следовательно, прав Володя, а если учесть, что Антон и Борис говорят неправду, следует ответ (b).

Логическая задача на сообразительность

Для 4 - 8 классов

Сколько истинных?

На лодочной станции можно взять на прокат 24 снаряда:

 8 водных велосипедов

 10 байдарок

 6 сёрфов

Шесть каких-то снарядов кто-то уже взял на прокат.

Какие из высказанных ниже утверждений относительно снарядов, еще не снятых: всегда истинные, какие утверждения могут быть истинными, а могут быть и ложными, а какие всегда ложные:

Сёрфов не осталось
Любой из трех видов снарядов еще можно взять на прокат
Остался еще по крайней мере один сёрф, который можно взять на прокат
Осталась еще по крайней мере один водный велосипед, который можно взять на прокат.
Водных велосипедов уже не осталось
По крайней мере остались еще 2 байдарки, которые можно взять на прокат.

Сколько высказано утверждений, которые наверняка истинные?

(a)5; (b) 4; (c) 3; (d) 2; (e) 1;

Решение занимательной логической задачи

Сколько истинных?

Правильный ответ :d= 2 выск.(истинные высказывания: №4 и №6)

Эта задача учит, что существуют три вида высказываний: истинные, ложные и такие, про которые нельзя наверняка сказать, что они истинные или ложные. Они могут быть иногда ложными, а иногда истинными.
Например:

Сёрфов не осталось.
Утверждение истинное, если все снаряды, которые уже сняли - сёрфы, и ложное, если - не все сёрфы.
Любой из трех видов снарядов еще можно взять на прокат.
Утверждение истинное, если не все снаряды, которые уже сняли - сёрфы, и ложное, если все - сёрфы.
Остался еще по крайней мере один сёрф, который можно взять на прокат. Утверждение истинное, если не все снаряды, которые уже сняли - сёрфы, и ложное, если все снятые снаряды - сёрфы.

А вот утверждение №5: - всегда ложное
5. Водных велосипедов уже не осталось - .
Ведь даже в самом худшем случае, (все снятые снаряды - водные велосипеды) останется 8 - 6 = 2 велосипеда.

Оба утверждения (№4 и №6) - всегда истинные:

 Остался еще по крайней мере один водный велосипед, который можно взять на прокат и

 По крайней мере остались еще 2 байдарки, которые можно взять на прокат -
Ведь из 8 педальных лодок в самом худшем случае (все снятые снаряды - водные велосипеды), останутся 8 - 6 = 2 велосипеда, а из 10 байдарок останутся 4 (10 - 6 = 4).

Логическая задача про лжецов

Для 4 - 8 классов

Сколько честных людей?

На острове живут два типа людей : честные и лжецы.
Честные всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

Однажды мы спросили каждого из 5-ти человек, живущих на этом острове, которые хорошо знали друг друга :

"Сколько среди Вас честных людей ?"
Мы получили следующие ответы:

0, 1, 2, 3, 4.

Сколько же честных людей в этой группе из 5-ти человек ?

0 чел.; (b) 1 чел.; (c) 2 чел.; (d) 3 чел.; (e) 4 чел.; (f) 5 чел.;

Решение задачи на логику про лжецов и честных

Для 4 - 8 классов

Сколько честных людей?

Правильный ответ :(b) = 1 чел.
Человек, назвавший число честных - ноль, лжец, так как честный обязательно назовет число, равное или больше единицы.
Так что верить этому человеку, что честных тут нет, нельзя. В группе должен быть обязательно по крайней мере один честный человек. Предположим, что человек, назвавший число 1 - тоже лжец, тогда в ответах островитян должно появиться два раза число 2 (если честных -2), или 3 раза число 3, (если честных - три).
Но этого не происходит.
Следовательно, в этой группе - 1 честный человек, тот, который назвал число 1.

Логическая задача (принцип Дирихле)

Для 4 - 8 классов

Отделим ложь от истины

Фокусник вынимает шары из шляпы. Мы знаем, что в этой шляпе первоначально было 3 серых, 1 белый и 2 цветных шара.

Сколько среди нижеследующих высказываний Вы можете насчитать наверняка ложных высказываний,

если некоторые из них истинные наверняка, другие высказывания могут быть истинные, а могут быть и ложные, и есть утверждения, наверняка ложные:

А) если он вынет 4 шара, среди них обязательно будет один серый шар;
Б) если он вынет 3 шара, будет по крайней мере по одному шару каждого вида;
В) если он вынет 4 шара,будет по крайней мере два шара одного и того же цвета;
Г) если он вынет 6 шаров, будет по крайней мере два шара каждого цвета;
Д) если он вынет 5 шаров, будет цветных шаров больше, чем серых;
Е) если он вынет 5 шаров, будет серых шаров больше, чем цветных.

(a) 0 выс.; (b) 1 выс. ; (c) 2 выс.; (d) 3 выс.; (e) 4 выс.; (f) 5 выс.; (j) 6 выс.;

Решение занимательной задачи на принцип Дирихле

Для 4 - 8 классов

Отделим ложь от истины

Правильный ответ :с) 2 выск.
(Всегда ложные высказывания : Г и Д)

А) - всегда истинное,так как не серых шаров - только три.
Б)- может быть истинным ( он может вынуть по одному каждого цвета)
или ложным ( так как он может вынуть все три серых шара, или 1 белый и 2 цветных, или по одному каждого цвета)
В)- всегда истинно, потому что шары только трех цветов.
Г) - всегда ложно, так как в шляпе нет 2 белых шаров.
Д)- всегда ложно. Цветных может быть меньше (3 серых и 2 цветных) или столько же (2серых, 2 цветных и 1 белый), сколько серых.
Е) - иногда ложно (2 серых, 2 цветных и 1 белый) , иногда истинно (он может вынуть 3 серых и 2 цветных).

Занимательная арифметическая задача.

Для 4 - 8 классов

Замки в наследство

У короля было 7 сыновей и он завещал им все свои замки.

Самому младшему он дал несколько замков, более старший сын получил вдвое больше, чем самый младший, следующий - втрое больше замков, чем самый младший, и так далее, а самый старший сын получил в 7 раз больше, чем самый младший сын.

Однако, королева подумала, что такое распределение замков несправедливое и вот что она сказала своим сыновьям :

"Каждый из вас должен дать по 2 замка каждому из ваших младших братьев, и только младший сын должен оставить у себя все свои полученные замки."

В результате каждый из сыновей получил одинаковое количество замков.

Чему равна сумма цифр общего числа замков ?

4; (b) 8; (c)10; (d)11;

Решение занимательной арифметической задачи.

Для 4 - 8 классов

Замки в наследство

Примем количество замков, доставшихся младшему сыну, за 1 часть.
Тогда, числа ряда : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
показывают, сколько частей досталось каждому сыну, начиная с младшего.
Все наследство составляет 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 частей.
После вмешательства королевы каждый из сыновей получил одинаковое количество замков, или 28 : 7 = 4 части.

Младший сын получил от каждого из шести братьев по 2 замка,
т.е. количество замков у него увеличилось на 2 · 6 = 12 (замков).
А количество частей у него увеличилось на 4 - 1 = 3 части.

Следовательно, 1 части соответствует 12 : 3 = 4 замка, а все наследство составляет 4 · 28 = 112 замков.
Сумма цифр числа замков (112) равна 4.

Правильный ответ :(a)

Нестандартная арифметическая задача

Для 5 - 8 классов

Утренний подъем

Принцесса хочет блинчики на завтрак, поэтому она сказала своему повару,

что она собирается встать и начать кушать в 8 часов утра,
и что она хотела бы иметь на завтрак 20 блинчиков.

Повар выпекает блинчик за одну минуту, а Принцесса съедает блинчик за 30 секунд.

Во сколько должен встать ее повар, если он сразу же начинает выпекать блинчики?

(a) 7час. 40 мин; (b) 7час. 40,5 мин; (c) 7час. 49 мин;

(d) 7час. 49,5 мин; (e) 7час. 50 мин;

Решение нестандартной арифметической задачи

Для 5 - 8 классов

Утренний подъем

Правильный ответ :(d)= 7ч 49,5 мин (время подъема повара)

Принцесса съест все 20 блинчиков за 10 мин, а повар их выпечет за 20 минут, складывается впечатление, что он должен встать на 10 минут раньше принцессы, т.е. в 7 часов и 50 минут.

Однако это не так. Ведь принцесса должна начать кушать последний 20-тый блинчик в 8 час. 9,5 минуты, а повар должен его испечь именно к этому времени. Поэтому он должен встать на полминуты раньше, т.е. в 7 часов 49,5 мин.

Занимательная геометрическая задача.

Для 3 - 5 классов.

Какая часть картины светлая ? (демо-задача №311)

В комнате Сережи на стене висит картина в стиле "модерн".

(Пунктирные линии указывают на сетку, которую можно набросить поверх картины.)

Какая часть этой картины светло-серого цвета ?

1/5; (b) 1/4; (c) 1/3; (d) 1/2;

Решение занимательной задачи по геометрии.

Для 3 - 5 классов

Какая часть картины светлая?

Всю картину можно разбить на светло-серые и фиолетовые треугольники.

При этом, к каждому фиолетовому треугольнику примыкает равный ему светло-серый треугольник.

Поэтому, суммарная площадь всех фиолетовых треугольников равна суммарной площади всех светло-серых треугольников.

Следовательно, половина площади картины окрашена в фиолетовый цвет, и половина - в светло-серый цвет.

Правильный ответ: d = 1/2.

Занимательная задача по комбинаторике.

Для 5 - 8 классов

Игры с кубиком Я выкидывал игральный кубик

(кубик, на сторонах которого написаны числа от 1 до 6, причем, сумма чисел на противоположных сторонах всегда равна 7)

10 раз.

Призведение всех десяти выпавших чисел равно 7776.

Чему равна самая большая возможная сумма этих 10 номеров ?

25; (b) 30; (c) 35; (d) 39; (e) 41;

Решение занимательной комбинаторной задачи

для школьников.

Для 3 - 5 классов

Игры с кубиком

Разложим 7776 на простые множители:

7776 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.

Мы получили 10 сомножителей или 10 возможных выпавших номеров. Их сумма равна:

2 · 5 + 3 · 5 = 25.

Поищем варианты с большей суммой.
Попробуем объединить некоторые сомножители друг с другом, восполняя убыль сомножителей дополнительным сомножителем, равным 1.

Например, вместо двух двоек можно написать 4 · 1. Количество "выпаданий" осталось прежнее - два, а сумма очков увеличилась (стало 5, а было 4).

Три любых сомножителя, а также две тройки нам не удастся объединить, так как выпавший номер не может быть больше 6 (2 · 2 · 2 = 8, 3 · 3 = 9).

Итак, объединение двух двоек дает увеличение суммы очков на 1.
Осталось проверить единственный оставшийся вариант : объединить двойку и тройку:
2 · 3 = 6 · 1.
Сумма двух выпаданий теперь равна 6 + 1 = 7, вместо 5 (увеличение равно 7 - 5 = 2).

Мы видим, что нам выгоднее всего все двойки объединить с тройками.

Объединяем двойку с тройкой 5 раз, и получаем набор из 5 шестерок и единиц:

7776 = 6 · 1 · 6 · 1 · 6 · 1 · 6 · 1· 6 · 1 .

Увеличение суммы выпавших номеров (суммы сомножителей) при этом будет: 2 · 5 = 10.

В этом наборе сумма чисел наибольшая и равна 25 + 10 = 35.

Правильный ответ :с = 35 очков

Занимательная задача "на развитие мышления".

Для 5 - 6 классов

Сколько драконов ?

2-головые и 7-головые драконы собрались на митинг.

В самом начале митинга Король Драконов - 7-головый Дракон пересчитал всех собравшихся по головам.

Он огляделся вокруг своей, украшенной короной средней головы и увидел 25 голов.

Король остался доволен результатами подсчетов и поблагодарил всех присутствующих за их явку на митинг.

Сколько всего драконов пришло на митинг?

(a)7; (b) 8; (c) 9; (d) 10; (e) 11;

Решение занимательной арифметической задачи.

Для 3 - 5 классов

Сколько драконов ?

Вычтем из 25 голов, подсчитанных Королем Драконов, 6 принадлежащих ему голов.

Останется 19 голов. Все оставшиеся Драконы не могут быть двуголовыми ( 19 - нечетное число).

7-головый Дракон может быть только 1 (если 2, то для двуголовых останется нечетное число голов. А для троих Драконов нехватает голов : (7 · 3 = 21 19).

Вычтем из 19 голов 7 голов этого единственного Дракона и получим общее количество голов, принадлежащих двуголовым Драконам.

Следовательно, 2-головых Драконов :
(19 - 7) / 2 = 6 Драконов.

Итого: 6 +1 +1 (Король) = 8 Драконов.

Правильный ответ :b = 8 Драконов

Текстовая задача на стратегию

Для 5 - 8 классов

Сколько дней без пищи ?

Марсианский межпланетный корабль прибыл с визитом на Землю.

Марсиане едят самое большое один раз в день, либо утром, либо в полдень, либо вечером.

Но едят они только тогда, когда испытывают чувство голода. Они могут обходится без пищи несколько дней.

За время пребывания Марсиан на Земле, они ели 7 раз.

Нам также известно, что они провели без пищи 7 раз утром, 6 раз в полдень и 7 вечеров.

Сколько всего дней за время своего визита Марсиане провели без пищи ?

(a) 0 дней; (b) 1 день; (c) 2 дня; (d) 3 дня; (e) 4 дня; (а) 5 дней;

Решение занимательной арифметической задачи

Для 5 - 8 классов

Сколько дней без пищи ?

Правильный ответ : (c) 2 дня (марсиане провели без пищи)

Решение.
Марсиане ели 7 дней по одному разу в день, а число дней, когда они обедали, было на единицу больше числа дней, когда они завтракали или ужинали.

Исходя из этих данных, можно составить график приема пищи марсианами. Вероятная картина такая.

Инопланетяне в первый день обедали, во второй день ужинали, в третий завтракали, в четвертый обедали, в пятый ужинали, в шестой завтракали, в седьмой обедали.

То есть марсиане завтракали 2 дня, а 7 дней провели без завтрака, ужинали - 2 раза, а без ужина провели 7 дней, 3 раза обедали, а без обеда прожили 6 дней.

Итак, 7 + 2 = 9 и 6 + 3 = 9 дней. Значит прожили они на Земле 9 дней, а 2 из них обошлись без пищи (9 - 7 = 2) .

Нестандартная задача на движение

Для 4 - 8 классов

Сколько времени ?

Велосипедист и Пешеход покинули пункт А в одно и то же время и с постоянной скоростью направились в пункт В.

Велосипедист приехал в пункт В и тут же отправился в обратный путь и встретил Пешехода спустя час от того момента, когда они выехали из пункта А.

Здесь Велосипедист снова развернулся и они оба стали двигаться в направлении пункта В.

Когда велосипедист достиг пункта В, он снова повернул назад и снова встретил Пешехода через 40 минут после их первой встречи.

Чему равняется сумма цифр числа, выражающего время (в минутах), необходимое Пешеходу, чтобы из пункта А придти в пункт В?

(a)2; (b) 14; (c) 12; (d) 7; (e) 9.

Решение занимательной нестандартной задачи

Для 4 - 8 классов

Сколько времени?

Правильный ответ : е) 9 (сумма цифр числа 180 мин. - столько времени Пешеход путешествует из А в В)

Все становится понятным, если начертить чертеж.
Найдем разность двух путей Велосипедиста ( один путь - от А до первой встречи (сплошная зеленая линия), второй путь - от первой встречи до второй (пунктирная зеленая линия) ).

Получим, что эта разность в точности равна расстоянию от пункта А до второй встречи.
Это расстояние Пешеход проходит за 100 минут, а Велосипедист проезжает за 100 мин - 40 мин = 20 минут. Значит Велосипедист едет в 5 раз быстрее.

Обозначим расстояние от пункта А до точки, в которой произошла 1 встреча , за одну часть, а путь Велосипедиста до 1-ой встречи - за 5 частей.

Вместе они преодолели к моменту первой встречи двойное расстояния между пунктами А и Б, т. е. 5 + 1 = 6 частей.

Следовательно, от А до Б - 3 части. Пешеходу останется после первой встречи пройти еще 2 части до пункта В.

Все расстояние он пройдет за 3 часа, так как 1 часть он проходит за 1 час, или за 180 минут.